1、12.4 过不共线三点作圆知|识|目|标1通过回顾线段的垂直平分线的作法，理解过不在同一直线上的三点作圆2通过类比圆内接四边形的有关概念，理解三角形的外接圆及圆内接三角形的概念.目标一 过平面内的点作圆例 1 教材补充例题如图 241，点 A， B， C 在同一条直线上，点 D 在直线 AB 外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是( )图 241A1 B2 C3 D4【归纳总结】确定一个圆的条件：(1)过平面内任一点，可以作无数个圆；(2)过平面内两点，可以作无数个圆，这些圆的圆心都在连接这两点的线段的垂直平分线上；(3)过不在同一直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆注意：过在同一直
2、线上的三点不能作圆，因为连接其中任意两点所得的线段的垂直平分线互相平行，它们不能构成圆心目标二 理解三角形的外接圆例 2 教材补充例题已知等腰三角形 ABC，如图 242.(1)用直尺和圆规作 ABC 的外接圆；(2)设 ABC 的外接圆的圆心为 O，若 BOC128，求 BAC 的度数图 2422【归纳总结】三角形外心的“三点必知”：(1)三角形的外心是三边垂直平分线的交点；(2)三角形的外心与三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在其内部；直角三角形的外心在其斜边中点处；钝角三角形的外心在其外部例 3 教材补充例题小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图 243 所示，为了配到
3、与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )图 243A第块 B. 第块 C. 第块 D. 第块【归纳总结】确定三角形外接圆的两个条件：(1)圆心的位置；(2)半径已知一段弧寻找这段弧所在圆的圆心时，我们需在这段弧上任取两条弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，其交点便是所求圆的圆心知识点一 过不在同一直线上的三个点作圆不在同一直线上的三点确定一个圆点拨 (1)“不在同一直线上”是构成圆的基本条件(2)“确定”即“有且只有” ，表示存在过三点的圆且只有唯一的圆知识点二 三角形的外接圆与外心经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作
4、这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的_的交点说明 (1)三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，我们在画图时只要画出两边的中垂线，交点就是该三角形的外心；(2)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点处在ABC 中，ABAC，BC8，ABC 外接圆的半径为 5，求 AB 的长图 2443解：如图 244，连接 OB，连接 AO 并延长交 BC 于点 D，则 AD 垂直平分 BC，BD BC4.12在 RtOBD 中，OD 3，OB2 BD2 52 42ADAOOD538.在 RtABD 中，AB 4
5、.AD2 BD2 82 42 5以上解答是否完整？若不完整，请进行补充4教师详解详析【目标突破】例 1 C例 2 解：(1)如图所示(2)如图，在优弧 BC 上任取一点 D，连接 BD，CD，BOC128，BDC BOC64，12BAC180BDC116.例 3 A备选目标 三角形的外接圆、外心的综合应用例 如图，ABC 内接于O，AD 为边 BC 上的高(1)若 AB6，AC4，AD3，求O 的直径 AE；(2)若 ABAC10，AD4，求O 的直径 AE 的最大值，并指出此时边 AB 的长解析 (1)需要找到 AB，AC，AD，AE 之间的数量关系，连接 BE，则ABE90ADC，EC(同
6、弧所对的圆周角相等)，所以ABEADC，可得 ABADAEAC，进而求出 AE 即可；(2)根据已知得出 AC10AB 的长，利用(1)的结论，将 AE 转化为关于AB 的二次函数，最值可求解：(1)如图，连接 BE.AE 是O 的直径，ADBC，ABE90ADC.又EC，ABEADC， ，ABAD AEACAE 8.ACABAD 463(2)ABAC10，AC10AB.设 ABx，AEy，AD4，由(1)中 ，ABAD AEAC5得 y x (x5) 2 ，x（ 10 x）4 x24 52 14 254O 的直径 AE 的最大值为 ，此时边 AB 的长为 5.254归纳总结 解决这类综合题，大都需要借助垂径定理，圆心角、弦、弧关系定理及圆周角定理及其推论，并利用三角形全等或相似来解决，有时还要结合函数来求最大值或最小值【总结反思】小结 知识点二 三条边的垂直平分线反思 不完整补充：若ABC 是锐角三角形，则 AB4 ；5若ABC 是钝角三角形，如图所示，连接 OA，OB，OA 交 BC 于点 D.此时 ADOAOD532.在 RtABD 中，AB 2 .AD2 BD2 22 42 5AB 的长为 2 或 4 .5 5
