1、2014届甘肃西北师大附中高三 11月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 命题 ，命题 当 时，对任意 恒成立，则 （ ） A “ ”为假命题 B “ ” 为真命题 C “ “为假命题 D “ ”为真命题 答案： D 试题分析：对命题 p，其逆否命题为：若 且 ，则 .显然是真命题，所以命题 P为真命题 .对命题 q， ，所以. 所以当 时， 对任意 恒成立，命题 q为真命题 .所以 “ ”为真命题 考点： 1、逻辑与命题； 2、不等关系 . 设 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若，则展开式中 x3的系数为 . 答案： 试题分析：由题意得： .所以的展开式的通项公式为
2、 ，由，所以 的系数为 . 考点：二项式定理 . 若 ，且函数 在 ， 上存在反函数，则（ ） A B C D 答案： B 试题分析：据题意得： ，所以 ， ， . 函数 在 ， 上存在反函数，所以 或在 ， 上恒成立 . 显然 在 上单调递增，所以 或， 所以 或 .选 B 考点： 1、函数的极限； 2、导数的应用 . 已知函数 满足 :对任意实数 ,当时 ,总有 ,则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：据题意，不等式 恒成立，所以. 又当 时 ,总有 ，结合对数函数与二次函数的单调性知.综上得 . 考点：对数函数及其单调性 的 （ ） A重心 B垂心 C内心 D
3、外心 答案： A 试题分析：由正弦定理得： ，所以，点 P在 BC边的中线上，即点 P的轨迹过三角形的重心 . 考点： 1、向量的基本运算； 2、正弦定理 . 设 为坐标原点， ，若点 满足 ，则取得最小值时，点 的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D无数个 答案： B 试题分析：作出不等式组表示的区域如图所示 .要，只需向量 在 上的投影最小 .从图中可以看出，当 点为 或 时，投影最小，所以有两个点，选B. 考点：线性规划 . 已知数列 是等差数列，且 ，则（ ） A 2 BC 1 D答案： C 试题分析： ， 所以 ，. 考点：等差数列、等比数列及数列的极限 . 已知双曲线 的右焦点
4、为 F，若过点 F且倾斜角为 30的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由已知得，双曲线的渐近线的倾斜角应大于或等于 ， ，选 D. 考点：双曲线的渐近线与离心率 . 把函数 的图象按向量 =（ - ， 0）平移，所得曲线的一部分如图所示，则 ， 的值分别是（ ） A 1， B 2， - C 2， D 1， - 答案： B 试题分析：把函数 的图象按向量 =（ - ， 0）平移， 得 .由图得函数的周期 . 又 .选 B. 考点：三角函数图象的变换 . 已知等差数列 的前 n项和为 ，且 ，则过点 和的直线的一个方向向量
5、的坐标可以是（ ） A B (2， 4) CD（ -1， -1） 答案： A 试题分析：直线的斜率 .又 ，所以它的一个方向向量可以为 ， 与它共线，故选 A. 考点： 1、等差数列； 2、直线的方向向量 . 如图，在正三棱锥 A-BCD中， E、 F分别是 AB、 BC的中点， EF DE，且BC=1，则正三棱锥 A-BCD的体积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：正三棱锥的相对棱互相垂直，所以 .又因为 E、 F分别是AB、 BC的中点， EF DE，所以 .所以 平面 .以因这是一个正三棱锥，所以 ，所以体积 . 考点：几何体的体积 . 已知 A、 B、 C是 ABC的三个内
6、角，向量,则 （ ） A B C D - 答案： C 试题分析： . 考点： 1、向量的数量积； 2、三角函数基本运算 . 复数 ，则实数 a的值是（ ） A B C D - 答案： B 试题分析： ，选 B. 考点：复数 . 填空题 已知命题 函数 在 上是减函数； 函数 的定义域为 R， 是 为极值点的既不充分也不必要条件； 函数 的最小正周期为 ； 在平面内，到定点 的距离与到定直线 的距离相等的点的轨迹是抛物线； 已知 则 在 方向上的投影为 。 其中，正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上） 答案： 试题分析： 错，应该说函数 分别在 上是减函数； 正确 .比如， 在 处
7、导数为 0，但不是极值点； 在处极小值为 0，但导数不存在，所以既不充分也不必要 . 因为 ，所以 ，最小正周期为 ；正确； 错，因为点 在直线 上，所以该轨迹是一条直线； 在 方向上的投影为 ，所以错 . 考点： 1、函数的性质； 2、导数的应用及充要条件； 3、三角函数； 4、点的轨迹； 5、向量的投影 . 设三棱柱 ABCA 1B1C1的所有棱长都为 1米，有一个小虫从点 A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能的选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，则它爬了 4米之后恰好位于顶点 A的概率为 . 答案： 试题分析：爬了 4米共有 种走法 .恰好回到 A点，可分为 以下
8、 3 大类，第一类，只前进不回头，沿两个正方形走，共有 4种走法；第二类，走完两棱条又原路返回，有 6种走法；第三类，走完一条棱又原路返回，总共有种走法 .所以所求概率为 . 考点：古典概型 . 已知函数 的图象如图，则满足的 的取值范 . 答案： 试题分析：因为 . 结合图象知， ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 . 考点： 1、抽象函数； 2、解不等式 . 解答题 已知函数 （ 1）求函数 的定义域； （ 2）若函数 在 上单调递增，求 的取值范围 答案： (1)若 即 时， ； 若 即 时， ； 若 即 时， . （ 2） . 试题分析： (1)对数函数要有意义，必须真数大于 0，即 ，
9、这是一个含有参数的不等式，故对 m分情况进行讨论；（ 2）根据复合函数单调性的判断法则，因为 是增函数，要使得若函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递增且恒正，据些找到 m满足的不等式，解不等式即得 m的范围 . 试题： (1)由 得： 若 即 时， 若 即 时， 若 即 时， （ 2）若函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递增且恒正。 所以 解得： 考点： 1、函数的定义域及单调性； 2、不等关系 . 甲有一只放有 x个红球， y个黄球， z个白球的箱子，乙有一只放有 3个红球， 2个黄球， 1个白球的箱子， （ 1）两个各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜
10、。若 用 x、 y、 z表示甲胜的概率； 2）在（ 1）下又规定当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为 1、 2、 3分，否则得 0分，求甲得分的期望的最大值及此时 x、 y、 z的值。 答案：（ 1） ；（ 2） 时， 最大 . 试题分析：（ 1）甲胜包含甲、乙均取红球，甲、乙均取白球，甲、乙均取黄球三种情况，将这三种情况的概率求出相加即得 .（ 2）设甲的得分为随机变量 ，根据题设 可取 0、 1、 2、 3.由（ 1）可得 取 1、 2、 3 的概率（用 x,y,z表示），用 1减去这三个概率即得 取 0的概率，从而可得 的期望，再根据可得期望的最大值及 x,y,z的值 . 试题：（ 1）
11、P（甲胜） =P（甲、乙均取红球） +P（甲、乙均取白球） +P（甲、乙均取黄球） （ 2）设甲的得分为随机变量 ，则： x、 y、 z N且 x+y+z=6， 0y6 所以 时， 取得最大值 ，此时 . 考点： 1、随机变量的分布列及期望； 2、最值问题 . 如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形， AD BC， BCD=900，PA=PB， PC=PD. (I) 试判断直线 CD与平面 PAD是否垂直，并简述理由； （ II）求证：平面 PAB 平面 ABCD； （ III）如果 CD=AD+BC，二面角 P-CB-A等于 600，求二面角 P-CD-A的大小 . 答案：（ I）不
12、垂直 .理由见；（ II）详见；（ III）二面角 P-CD-A的大小为600. 试题分析：（ I）首先结合条件凭借自己的空间想象力判断 .在本题中， PC=PD，则 PCD= PDC 不为直角，由此可知，直线 CD与平面 PAD 不可能垂直 .（ II）证面面垂直，首先考虑证哪条线垂直哪个面 .结合题设 PA=PB 取 AB的中点 E ，则 PE AB.再结合结论可知必有 PE 平面 ABCD，所以我们就考虑证明 PE平面 ABCD. （ III）取 AB、 CD的中点有 E、 F，连结 PE， PF， EF，则易得 PFE即为二面角 P-CD-A的平面角，且三角形 PEF是一个直角三角形
13、. 利用题设找到边与边的关系，在三角形 PEF中即可 求得 PFE的大小 . 试题：（ I）不垂直 假设直线 CD与平面 PAD垂直，则 CD PD。 而在 PCD中，由 PC=PD得 PCD= PDC PDC 900，这与 CD PD矛盾， 因此 , 直线 CD与平面 PAD不垂直。 （ II）取 AB、 CD的中点有 E、 F，连结 PE， PF， EF， 由 PA=PB， PC=PD, 得 PE AB， PF CD. EF为直角梯形的中位线 EF CD、 又 PF EF=F CD 平面 PEF 由 PE 平面 PEF CD PE 又梯形的两腰 AB与 CD必相交， PE 平面 ABCD
14、又 PE 平面 PAB 平面 PAB 平面 ABCD （ III） PFE即为二面角 P-CD-A的平面角 作 EG BC于 G，连 PG。由三垂线定理得 BC PG，则 PGE为二面角 P-BC-A的平面角即 PGE=600 由已知得 EF= （ AD+BC） = ， EG=CF= CD， EF=EG 而 PFE= PGE=600 即二面角 P-CD-A的大小为 600。 考点： 1、空间线面垂直关系； 2、二面角 . 在 中，已知 ，又 的面积等于 6. （ ）求 的三边之长； （ ）设 是 （含边界）内一点， 到三边 的距离分别为，求 的取值范围 . 答案：（ ）三边长分别为 3， 4，
15、 5.（ ） . 试题分析：（ ）对条件 ，由正弦定理和余弦定理可以转化为只含边的等式，这个等式 化简后为 ，由此得 ，所以 .再根据三角形的面积等于 6可得 BC 4，由勾股定理可得 AB 5. （ ）以 C为坐标原点，射线 CA为 x轴正半轴建立直角坐标系，设 P点坐标为（ x, y），则由点到直线的距离公式可将 用点 P的坐标表示出来，然后用线性规划可求出其取值范围 . 试题：（ ）法一、设三角形三内角 A、 B、 C对应的三边分别为 a, b, c， ， ，由正弦定理有 , 又由余弦定理有 ， ，即 ， 所以 为 Rt ，且 3分 所以 又 ，由勾股定理可得 AB 5 6分 法二、设三
16、角形三内角 A、 B、 C对应的三边分别为 a, b, c， ， ，由正弦定理有 , 又由余弦定理有 ， ，即 ， 所以 为 Rt ，且 3分 又 （ 1） （ 2），得 4分 令 a=4k, b=3k (k0) 则 三边长分别为 3， 4， 5 6分 （ ）以 C为坐标原点，射线 CA为 x轴正半轴建立直角坐标系，则 A、 B坐标为（ 3， 0），（ 0， 4），直线 AB方程为 设 P点坐标为（ x, y） ，则由 P到三边 AB、 BC、 AB的距离为 d1, d2和 d3可知 ， 8分 且 故 10分 令 ，由线性规划知识可知 0m8，故 d1+d2+d3的取值范围是 12分 考点：
17、1、解三角形； 2、点到直线的距离； 3、线性规划 ）如图，椭圆 ： ， 、 、 、 为椭圆 的顶点 （ ）若椭圆 上的点 到焦点距离的最大值为 ，最小值为 ，求椭圆方程； （ ）已知 :直线 相交于 ， 两点（ 不是椭圆的左右顶点），并满足 试研究：直线 是否过定点？ 若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由 答案：（ ） （ ）直线 过定点，定点坐标为 试题分析：（ ）由已知得： ， 解这个方程组求出 a、 c即得椭圆的标准方程 （ ）将直线方程与椭圆的方程联立， 将直线方程代入椭圆方程得： 用韦达定理找到点 ， 的坐标与 k、 m的关系 再由 可得 A、 B的坐标间的一个关系式，
18、由此消去 得 m、k之间的关系式，用此关系式将直线 的方程中的参数 m或 k换掉一个，由此即可看出直线是否恒过一个定点 试题：（ ）由已知与（ ）得： ， ， ， ， 椭圆的标准方程为 4分 （ ）设 ， ， 联立 得 ， 又 ， 因为椭圆的右顶点为 ， ，即 ， ， ， 解得： ， ，且均满足 ， 当 时， 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾； 当 时， 的方程为 ，直线过定点 所以，直线 过定点，定点坐标为 考点： 1、椭圆的方程； 2、直线与圆锥曲线的位置关系 已知函数 的反函数为 ，设 的图象上在点 处的切线在 y轴上的截距为 ，数列 满足：（ ）求数列 的通项公式； （ ）在数列
19、中，仅 最小，求 的取值范围； （ ）令函数 数列 满足 ,求证：对一切 n2的正整数都有 答案：（ ） ；（ ） 的取值范围为 ；（ ）详见 试题分析：（ ）将函数 的反函数求出来，可得 ， 再由 得 是以 2为首项， l为公差的等差数列，由此可得数列 的通项公式 （ ）求出函数 的反函数在点 处的切线的截距即得 将 ， 的通项公式代入 得：这是一个二次函数，但 n只取正整数，画出图象可以看出当对称轴介于 与之间的时候，就仅有 最小， ，解这个不等式即可得的取值范围 （ ）由题设可得： 结合待证不等式可看出，可将这个等式两边取倒数，这样可得： ，从而 又递推公式可知， 各项为正，所以 试题：（ ） 函数 的反函数 则 得 是以 2为首项， l为公差的等差数列，故 （ 3分） （ ） 在点 处的切线方程为 令 ， 得 （ 6分） 依题意，仅当 时取得最小值， ，解之 的取值范围为 （ 8分） （ ） 故 又 故 ， 又 故 （ 14分） 考点： 1、数列与不等式； 2、函数的反函数； 3、利用导数求切线
