1、12.5.4 三角形的内切圆一、选择题12017广州如图 K201， O是 ABC的内切圆，则点 O是 ABC的( )图 K201A三条边的垂直平分线的交点B三条角平分线的交点C三条中线的交点 D三条高的交点22017怀化模拟在 ABC中， C90， BC3，它的内切圆 O的半径是 1，则 AC的长为 ( ) A6 B3 C4 D53如图 K202， O是 ABC的内切圆， D， E， F为切点， AD13， AC25， BC35，则BD的长度为( )图 K202A23 B22 C21 D204等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为( )A1 B1 C12 D132 35如图 K203，点 E是
2、 ABC的内心， AE的延长线和 ABC的外接圆相交于点 D，连接BD， BE， CE，若 CBD32，则 BEC的度数为( )图 K203A128 B126 C122 D1206如图 K204， O截 ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是( )2图 K204A点 O是 ABC的内心B点 O是 ABC的外心C ABC是正三角形D ABC是等腰三角形二、填空题72018湖州如图 K205，已知 ABC的内切圆 O与 BC边相切于点 D，连接 OB， OD.若 ABC40，则 BOD的度数是_图 K2058如图 K206， O是 ABC的内切圆， O切 BC于点 D， BD3， CD2
3、， ABC的周长为 14，则 AB_图 K2069如图 K207 所示， O是 ABC的内切圆， C90， AO的延长线交 BC于点D， AC4， CD1，则 O的半径是_图 K207三、解答题10如图 K208 所示，有三边分别为 0.4 m，0.5 m 和 0.6 m的三角形形状的铁皮，想要3从中剪出一个面积最大的圆形铁皮，请你根据所学的知识，设计解决问题的方法. 链 接 听 课 例 1归 纳 总 结图 K208112017黄石如图 K209， O是 ABC的外接圆， BC为 O的直径，点 E为 ABC的内心，连接 AE并延长交 O于点 D，连接 BD并延长至点 F，使得 BD DF，连接
4、 CF， BE.(1)求证： DB DE；(2)求证：直线 CF为 O的切线图 K20912已知 Rt ABC的斜边 AB ，两直角边 AC， BC的长分别是一元二次方程 x2(2 m1)5x2 m0 的两个实数根(1)求 m的值；(2)求 Rt ABC的内切圆的半径13已知任意三角形的三边长，如何求该三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作度量论一书中给出了计算公式4海伦公式 S (其中 a， b， c是三角形的三边长，p（ p a） （ p b） （ p c）p ， S为三角形的面积)，并给出了证明a b c2例如：在 ABC中， a3， b4， c5，那么它的面积可以
5、这样计算： a3， b4， c5， p 6， S a b c2 p（ p a） （ p b） （ p c） 6.6321事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决如图 K2010，在 ABC中， BC5， AC6， AB9.(1)用海伦公式求 ABC的面积；(2)求 ABC的内切圆的半径 r.图 K2010素养提升 思维拓展 能力提升阅读与探究题 【阅读材料】如图 K2011，在面积为 S的 ABC中，BC a， AC b， AB c，内切圆的半径为 r，连接 OA， OB， OC， ABC被划分为三个小三角形 S S OBC S
6、 OAC S OAB BCr ACr ABr ar br cr (a b c)r，12 12 12 12 12 12 12 r .2Sa b c【类比推理】如图 K2011，若面积为 S的四边形 ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，各边长分别为 AB a， BC b， CD c， AD d，求四边形的内切圆的半径 r.【理解应用】如图 K2011，在 Rt ABC中，内切圆的半径为 r， O与 ABC各边分别相切于 D， E和 F，已知 AD3， BD2，求 r的值图 K2011教师详解详析【课时作业】课堂达标1 B 2. C53解析 A O 是ABC 的内切圆，D，E，F 为切点，AFA
7、D13，CFCE，BDBE.AC25，CFACAF251312.BC35，BEBCCE351223，BDBE23.故选 A.4解析 C 如图，等边三角形 ABC的内心、外心重合，连接 OB，OD，则在 RtBOD 中，OBD30，ODB90， sinOBD ， ODBO12.ODOB5解析 C 在O 中，CBD32，CAD32.点 E是ABC 的内心，BAC64，EBCECB(18064)258，BEC18058122.故选 C.6解析 A 过 O作 OMAB 于点 M，ONBC 于点 N，OQAC 于点 Q，连接 OK，OD，OF，由垂径定理得 DM DE，KQ KH，FN FG.12 12
8、 12DEFGHK，DMKQFN.ODOKOF，由勾股定理，得 OMONOQ，即点 O到三角形 ABC三边的距离相等，点 O是ABC 的内心故选 A.770 解析 ABC 的内切圆O 与 BC边相切于点 D，BO 平分ABC，ODBC，OBD ABC 4020，12 12BOD90OBD70.故答案为 70.8答案 5解析 如图所示，由切线长定理可知：BEBD3，CDCF2，AEAF.设 AEAFx.根据题意，得 2x332214，解得 x2，AE2，ABBEAE325.9答案 45解析 设 AC切O 于点 E，连接 OE，则 OEAC.BCAC，OEDC，6AOEADC， .代入相应数据即可
9、求得 OE.OEDC AEAC AC OEAC10解：作B，C 的平分线 BM和 CN，交点为 I，过点 I作 IDBC，垂足为 D；以 I为圆心，ID 为半径作I，I 即为面积最大的圆形，沿I 剪下来即可11证明：(1)点 E是ABC 的内心，BAECAE，EBAEBC.BEDBAEEBA，DBEEBCDBC，DBCEAC，DBEDEB，DBDE.(2)连接 CD.AD 平分BAC，DABDAC， ，BD CD BDCD.BDDF，CDDBDF，BCF90，BCCF.又BC 为O 的直径，CF 为O 的切线12解：(1)两直角边 AC，BC 的长分别是一元二次方程 x2(2m1)x2m0 的
10、两个实数根，ACBC2m1，ACBC2m，AC 2BC 2(ACBC) 22ACBC(2m1) 24m4m 21.AC 2BC 2AB 2，4m 215，m1(负值已舍去)，即 m的值是 1.(2)把 m1 代入方程得 x23x20，解得 x11，x 22，可设 AC1，BC2，如图，连接 OD，OF.O 切 AC于点 D，切 BC于点 F，ODCOFC90C.又ODOF，四边形 ODCF是正方形，ODOFCDCF.O 切 AC于点 D，切 BC于点 F，切 AB于点 E，AEAD，BEBF，ACODBCODAB，即 1OD2OD ，解得 OD .53 52故 RtABC 的内切圆的半径是 .
11、3 52713解：(1)BC5，AC6，AB9，p 10，BC AC AB2 5 6 92S 10 ，p（ p a） （ p b） （ p c） 10541 2ABC 的面积为 10 .2(2)S ABC r(ACBCAB)，1210 r(569)，解得 r ，212 2ABC 的内切圆的半径 r .2素养提升解：【类比推理】如图，连接 OA，OB，OC，OD.SS AOB S BOC S COD S AOD ar br cr dr (abcd)r，12 12 12 12 12r .2Sa b c d【理解应用】 如图，连接 OE，OF，则四边形 OECF是正方形，OEECCFFOr.在RtABC 中，AC 2BC 2AB 2，即(3r) 2(2r) 25 2，r 25r60，解得 r1(负值已舍去)
