1、1第 3 课时 相似三角形判定定理 3关键问答从角的角度来说，满足什么条件的两个三角形相似？直角三角形相似的判定方法有哪些？ 1 12 是下列四个图形的共同条件，则四个图形中不一定有相似三角形的是( )图 272322 如图 27233，已知 ABC DFE，则 x_图 27233命题点 1 利用两角对应相等判定两个三角形相似 热度：99%3. 下列说法中不正确的是( )A有一个角是 30的两个等腰三角形相似B有一个角是 60的两个等腰三角形相似C有一个角是 90的两个等腰三角形相似D有一个角是 120的两个等腰三角形相似易错警示已知角要分顶角和底角进行讨论.4. 如图 27234，AD 是直
2、角三角形 ABC 斜边上的中线，AEAD 交 CB 的延长线于点2E，则图中一定相似的三角形是( )图 27234AAED 与ACB BAEB 与ACDCBAE 与ACE DAEC 与DAC方法点拨在同一顶点处有两个直角，往往可以得到两个角相等5 如图 27235，BE，CD 相交于点 O，且12，则图中的相似三角形有( )图 27235A0 对 B1 对 C2 对 D3 对解题突破在判定两个三角形相似时，注意挖掘题目中的隐含条件6 如图 27236，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 相交于点E，CPDAB，BC 交 PD 于点 F，AD 交 PC 于点 G，则图中的相似三角形有( )
3、图 27236A1 对 B2 对C3 对 D4 对模型建立“一线三等角”模型：如图 27237，由 B C EDF，易得 BED CDF， BDE CFD.图 272377. 如图 27238，ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在 CB，AC 的延长线上，ADE60.求证：ABDDCE.图 272383一题多变本题 D，E 两点还可以放在边 BC，AC 上.命题点 2 两个直角三角形相似的判定 热度：92%8. 在 Rt ABC 和 Rt DEF 中， C F90，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )A A55， D35B AC9， BC12， DF6， EF8C AC3， BC4
4、， DF6， DE8D AB10， AC8， DE15， EF9解题突破两直角三角形相似时，斜边与斜边必是对应边，直角边可分两种情况分别对应.9如图 27239， ACB ADC90， BC a， AC b， AB c，要使 ABC 与CAD 相似，则 CD 的长等于( )图 27239A. 或 B. 或b2c b2a b2a a2cC. 或 D. 或abc b2c a2c bc10如图 27240，在矩形 ABCD 中， CF BD 分别交 BD， AD 于点 E， F，连接 BF.(1)求证： DEC FDC；(2)若 DE2 ， F 为 AD 的中点，求 BD 的长3图 27240命题点
5、 3 相似三角形中的条件开放性问题 热度：97%11. 如图 27241，在 ABC 与 ADE 中， BAC D，要使 ABC 与 ADE 相似，还需满足下列条件中的( )4图 27241A. B. ACAD ABAE ACAD BCDEC. D. ACAD ABDE ACAD BCAE方法点拨解答此类问题需要熟练掌握三角形相似的判定方法.12如图 27242，点 P 在 ABC 的边 AC 上，要判定 ABP ACB，需要添加一个条件，则下列所添条件不正确的是( )图 27242A ABP C B APB ABCC. D. APAB ABAC ABBP ACCB13. 如图 27243，在
6、 ABC 中， D， E 分别是边 AC 和 AB 上的点，且 DE BC，请你添加一个条件，使得 ABC 与 AED 相似，你添加的条件是_(任意填一个即可)图 27243一题多变把 DE 平移到经过点 C 的位置呢？命题点 4 通过判定三角形相似求值或证明 热度：96%14 2018永州如图 27244，在 ABC 中， D 是边 AB 上的一点， ADC ACB， AD2， BD6，则边 AC 的长为( )图 27244A2 B4 C6 D8模型建立 ADC 与 ACB 有两个公共顶点 A， C，且有一个公共角 A，由于 ADC ACB，根据两角对应相等的两个三角形相似，易得 ADC A
7、CB.15如图 27245，在四边形 ABCD 中， B90， AC4， AB CD， DH 垂直平分AC， H 为垂足设 AB x， AD y，则 y 与 x 的函数关系用图象大致可以表示为( )5图 27245图 2724616如图 27247，在 ABC 中， BF 平分 ABC， AF BF 于点 F， D 为 AB 的中点，连接 DF 并延长交 AC 于点 E.若 AB10， BC16，则线段 EF 的长为( )图 27247A2 B3 C4 D517 如图 27248，在 ABC 中， AD 平分 BAC， EM 是 AD 的垂直平分线，交 BC 的延长线于点 E.求证： DE2
8、BECE.图 27248方法点拨证明一个等积式，通常先将其转化成比例式，然后再证明横看或竖看比例式的线段所在的两个三角形相似，如果三角形不相似，那么就用等线段转换.18.如图 27249，在 ABC 中，以 AC 边为直径的 O 交 BC 于点 D，在 上取一点AD E，使 EBC DEC，延长 BE 交 AC 于点 G，交 O 于点 H.(1)求 AGB 的度数；(2)若 ABC45， O 的直径等于 17， BD 的长为 15，求 CE 的长6图 27249方法点拨求某条线段的长，可把此线段放入某一个三角形中，通过证明这个三角形与已知三角形相似，实现由已知边求得未知边的目的.19如图 27
9、250，在 Rt ABC 中， ACB90， AC6 cm， BC8 cm.动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 3 cm 的速度向定点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在CB 边上以每秒 2 cm 的速度向点 B 运动，运动时间为 t 秒(0 t )103(1)如图，连接 MN，若 BMN 与 ABC 相似，求 t 的值；(2)如图，连接 AN， CM，若 AN CM，求 t 的值图 27250解题突破根据线段垂直得到两个角相等，进而找到两个直角三角形相似，再利用相似三角形的性质求 t 的值7详解详析1D 2.53A 解析 有一个角是 30的等腰三角形的三个角的度数可以为
10、30，30，120或 30，75，75，显然这两个等腰三角形不相似4C 解析 EAD BAC90， EAB BAD CAD BAD， EAB CAD.又 AD 是直角三角形 ABC 斜边上的中线， AD DC， DCA CAD， EAB DCA.又 E E， BAE ACE.5C 解析 12， EOD COB， ADC ABE， DOE BOC. A A， ADC ABE， ACD AEB.6C 解析 在 PCF 和 BCP 中， CPD B， C 为公共角， PCF BCP.在 APD 和 PGD 中， CPD A， D 为公共角， APDPGD， APD PGD， BPF AGP.又 A
11、B， AGP BPF.故有 3 对相似三角形，故选 C.7证明： ABC 是等边三角形， ABC ACB60， ABD DCE120. ABC DAB BDA， ADE CDE BDA， ABC ADE60， DAB CDE， ABD DCE.8C9C 解析 若 ABC 与 CAD 相似，由图形可知， AB 和 AC 为对应边，当 BC 和 CD对应时，有 ABC ACD，有 ，可得 CD ；ABAC BCCD abc当 AC 和 CD 对应时，有 ABC CAD，有 ，可得 CD .ABAC ACCD b2c10解：(1)证明： DEC FDC90， DCE FCD， DEC FDC.(2)
12、四边形 ABCD 是矩形， DF BC， DEF BEC， .DFBC DEBE DF AF AD BC， ，12 12 DFBC DEBE 12 BE2 DE4 ， BD6 .3 311C 解析 由于 BAC D，要使 ABC 与 ADE 相似，只需使夹这两个角的边对应成比例即可，因此选 C.12D13答案不唯一，如 ADE B 等 解析 由已知可得 A A，添加8 ADE B，可得两角对应相等，故两三角形相似14B 解析 A A， ADC ACB， ADC ACB， AC AB AD AC， AC2 ADAB2816. AC0， AC4.因此，本题选 B.15D 解析 DH 垂直平分 AC
13、， DA DC， AH HC2， DAC DCA. AB CD， DCA BAC， DAC BAC.又 DHA B90， DAH CAB， ，即 ， y .ADAC AHAB y4 2x 8x ABAC， x4.故选 D.16B 解析 AF BF， AFB90. AB10， D 为 AB 的中点， DF AB AD BD5，12 ABF BFD.又 BF 平分 ABC， ABF CBF， CBF BFD， DF BC， ADE ABC， ，即 ，DEBC ADAB DE16 510解得 DE8， EF DE DF3.故选 B.17证明：连接 AE. EM 是 AD 的垂直平分线， AE DE，
14、 EDA EAD. AD 平分 BAC， BAD DAC. EDA B BAD， EAD DAC CAE， CAE B.又 AEC BEA， AEC BEA， ， AE2 BECE，AEBE CEAE DE2 BECE.18解：(1)连接 AD，如图， DAC 与 DEC 都是 所对的圆周角，CD DAC DEC.又 EBC DEC， DAC EBC. AC 是 O 的直径， ADC90，9 DCA DAC90， DCA EBC90， AGB90.(2) BDA180 ADC90， ABC45， BAD45， AD BD15.在 Rt ADC 中， AC17， AD15， CD 8，AC2 A
15、D2 BC BD CD15823. EBC DEC， BCE ECD， BCE ECD， ，即 ， CE2 .BCCE CECD 23CE CE8 4619解：(1)由题意，知 BM3 t cm， CN2 t cm， BN(82 t)cm， BA10 cm.当 BMN BAC 时， ，BMBA BNBC ，解得 t ；3t10 8 2t8 2011当 BMN BCA 时， ，BMBC BNBA ，解得 t .3t8 8 2t10 3223综上， t 的值为 或 .2011 3223(2)如图，过点 M 作 MD BC 于点 D， DM AC， MDB ACB， .DMAC BDBC BMBA
16、BM3 t cm， CN2 t cm， DM t cm， BD t cm，95 125 CD(8 t)cm.125 AN CM， ACB90， CAN ACM90， MCD ACM90， CAN MCD.又 MD CB， MDC ACB90， CAN DCM， ，ACCD CNDM ，解得 t (t0 舍去)68 125t2t95t 131210故 t 的值为 .1312【关键问答】两角分别相等的两个三角形相似一般三角形相似的判定方法均适用于直角三角形另外，直角三角形还有特殊的判定方法，如：有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似；两直角边对应成比例的两个直角三角形相似；一斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
