1、1三角形四边形练习题一、选择题(每小题 3 分,共 39 分)1.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( )图 J4-12.下列判断错误的是 ( )A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形3.如图 J4-2,已知 ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是 AC 的垂直平分线, DE 交 AB 于点 D,连接 CD,则 CD 的长为 ( )图 J4-2A.3 B.4 C.4.8 D.54.如图 J4-3,在 ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 的中点,下列说法中不正
2、确的是 ( )图 J4-3A.DE= BC B. =12 ADABAEAC2C. ADE ABC D.S ADE S ABC=125.一个正多边形的内角和为 540,则这个正多边形的每一个外角等于 ( )A.108 B.90 C.72 D.606.如图 J4-4,四边形 ABCD 是菱形, AC=8,DB=6,DH AB 于点 H,则 DH 等于 ( )图 J4-4A. B.245 125C.5 D.47.平面直角坐标系中,已知 ABCD 的三个顶点坐标分别是 A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),则点 D 的坐标是 ( )A.(-2,1) B.(-2,-1)C.(-1,-2) D.
3、(-1,2)8.如图 J4-5, AOB=60,以点 O 为圆心,以任意长为半径作弧交 OA,OB 于 C,D 两点,分别以点 C,D 为圆心,以大于 CD12的长为半径作弧,两弧相交于点 P,以 O 为端点作射线 OP,在射线 OP 上截取线段 OM=6,则点 M 到 OB 的距离为 ( )图 J4-5A.6 B.2 C.3 D.3 39.如图 J4-6,点 D 在 ABC 的边 AB 的延长线上, DE BC.若 A=35, C=24,则 D 的度数是 ( )3图 J4-6A.24 B.59C.60 D.6910.如图 J4-7,P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点,矩形的两条边
4、AB,BC 的长分别是 6 和 8,则点 P 到矩形的两条对角线AC 和 BD 的距离之和是 ( )图 J4-7A.4.8 B.5 C.6 D.7.211.如图 J4-8,在矩形 ABCD 中( ADAB),E 是 BC 上一点,且 DE=DA,AF DE,垂足为 F.在下列结论中,不一定正确的是( )图 J4-8A. AFD DCE B.AF= AD12C.AB=AF D.BE=AD-DF12.矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图 J4-9 所示,点 B 的坐标为(3,4), D 是 OA 的中点,点 E 在 AB 上,当 CDE的周长最小时,点 E 的坐标为 ( )4图 J4-9A
5、.(3,1) B.(3, ) C.(3, ) D.(3,2)43 5313.如图 J4-10,在菱形 ABCD 中, E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD 和 DA 的中点,连接 EF,FG,GH 和 HE.若 EH=2EF,则下列结论正确的是 ( )图 J4-10A.AB= EF B.AB=2EF2C.AB= EF D.AB= EF3 5二、填空题(每小题 3 分,共 21 分)14.若多边形的每一个内角均为 135,则这个多边形的边数为 . 15.如图 J4-11,点 A(3,t)在第一象限,射线 OA 与 x 轴所夹的锐角为 ,cos= ,则 t 的值是 . 12图 J4-115图
6、 J4-1216.如图 J4-12,在 ABC 中,点 D,E,F 分别在 AB,AC,BC 上, DE BC,EF AB.若 AB=8,BD=3,BF=4,则 FC 的长为 . 17.如图 J4-13,将矩形 ABCD 沿 GH 折叠,点 C 落在点 Q 处,点 D 落在 AB 边上的点 E 处, EQ 与 BC 相交于点 F,若 AD=8 cm,AB=6 cm,AE=4 cm,则 EBF 的周长是 cm. 图 J4-1318.如图 J4-14, ABC 的面积是 12,D,E,F,G 分别是 BC,AD,BE,CE 的中点,则 AFG 的面积是 . 图 J4-1419. AOC 在平面直角
7、坐标系中的位置如图 J4-15 所示, OA=4,将 AOC 绕点 O 逆时针旋转 90得到 A1OC1,A1C1交 y 轴于点 B(0,2),若 C1OB C1A1O,则点 C1的坐标是 . 图 J4-1520.如图 J4-16,在 ABC 中, ABC=45,BD 为 ABC 的平分线,交 AC 于点 D,M,N 分别是 BD 和 BC 上的两个动点 .若 BC=4,则 MN+MC 的最小值为 . 2图 J4-166三、解答题(共 40 分)21.(6 分)如图 J4-17,在四边形 ABCD 中, B= C=90,ABCD,AD=AB+CD.(1)利用尺规作 ADC 的平分线 DE,交
8、BC 于点 E,连接 AE(保留作图痕迹,不写作法) .(2)在(1)的条件下,求证: AE DE;若 CD=2,AB=4,M,N 分别是 AE,AB 上的动点,求 BM+MN 的最小值 .图 J4-1722.(6 分)为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理,如图 J4-18,正在执行巡航任务的海监船以每小时 50 海里的速度向正东方向航行,在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上,继续航行 1 小时到达 B 处,此时测得灯塔 P 在北偏东 30方向上 .(1)求 APB 的度数;(2)已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁,则海监船继续向正东方向航行是否安
9、全?7图 J4-1823.(8 分)如图 J4-19,正方形 ABCD 中, G 为 BC 边上一点, BE AG 于点 E,DF AG 于点 F,连接 DE.(1)求证: ABE DAF;(2)若 AF=1,四边形 ABED 的面积为 6,求 EF 的长 .图 J4-19824.(9 分)如图 J4-20,在 ABC 中, D 是 AB 上一点, DE AC 于点 E,F 是 AD 的中点, FG BC 于点 G,与 DE 交于点H,FG=AF,AG 平分 CAB,连接 GE,GD.(1)求证: ECG GHD;(2)小亮同学经过探究发现 AD=AC+EC,请你帮助小亮同学证明这一结论;(3
10、)若 B=30,判断四边形 AEGF 是不是菱形,并说明理由 .图 J4-2025.(11 分)如图 J4-21(a),在矩形 ABCD 中, E 是 AD 的中点,以点 E 为直角顶点的直角三角形 EFG 的两边 EF,EG 分别过点B,C, F=30.(1)求证: BE=CE.9(2)将 EFG 绕点 E 按顺时针方向旋转,当旋转到 EF 与 AD 重合时停止转动,若 EF,EG 分别与 AB,BC 相交于点 M,N(如图(b).求证: BEM CEN;若 AB=2,求 BMN 面积的最大值;当停止旋转时,点 B 恰好在 FG 上(如图(c),求 sin EBG 的值 .图 J4-2110
11、参考答案1.C 解析 选项 A,D 都是轴对称图形,但不是中心对称图形;选项 B 是中心对称图形,但不是轴对称图形;选项 C 既是中心对称图形,又是轴对称图形 .2.D 3.D 4.D 5.C 6.A 7.A8.C 解析 由题意得 OP 是 AOB 的平分线,过点 M 作 ME OB 于点 E. AOB=60, MOB=30.在 Rt MOE 中,OM=6, EM= OM=3.故选 C.129.B 10.A 11.B 12.B 13.D 解析 连接 AC,BD 交于点 O. E,F 分别为 AB,BC 的中点, EF= AC.12四边形 ABCD 为菱形, AO= AC,AC BD,12 EF
12、=AO.同理: EH=BO. EH=2EF, BO=2AO.11在 Rt ABO 中,设 AO=x,则 BO=2x, AB= = x= AO.x2+(2x)2 5 5 AB= EF.故选择 D.514.8 15.3 16.2.4 17.8318.4.5 解析 E 是 AD 的中点, EBC 的面积等于 ABC 的面积的 ,四边形 ABEC 的面积等于 ABC 的面积的 .12 12 D,F,G 分别是 BC,BE,CE 的中点, EFG 的面积等于 EBC 的面积的 ,四边形 AFEG 的面积等于四边形 ABEC 的面积的14, AFG 的面积 = ABC 的面积 =4.5.12 3819.
13、, 438320.421.解:(1)如图所示:(2)证明:如图,延长 DE,AB 相交于点 F. ABC= C=90, ABC+ C=180, AB CD, CDE= F. DE 平分 ADC, ADE= CDE, ADE= F, AD=AF=AB+BF.又 AD=AB+CD, AB+BF=AB+CD, BF=CD.12在 CED 和 BEF 中, DEC= FEB, CDE= F,CD=BF, CED BEF, DE=EF.又 AD=AF, AE DE.如图,过点 D 作 DH AB 于点 H,作点 N 关于 AE 的对称点 N,则 MN=MN. BM+MN=BM+MN.由可得 AE 平分
14、DAB,点 N在 AD 上,当点 B,M,N共线且 BN AD 时, BM+MN有最小值,即 BM+MN 有最小值 .在 Rt ADH 中, AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得 DH= = =4 .AD2-AH2 32 2 DHA= BNA=90, DAH= BAN, DAH BAN, = ,BNDHABAD = , BN= .BN4246 823即 BM+MN 的最小值为 .82322.解析 (1)在 ABP 中,求出 PAB, PBA 的度数即可解决问题;(2)过点 P 作 PH AB 于点 H,求出 PH 的长即可判断 .解:(1) PAB=30, ABP=120
15、, APB=180- PAB- ABP=30.13(2)过点 P 作 PH AB 于点 H. BAP= APB=30, BA=BP=50 海里 .在 Rt PBH 中, PH=PBsin60=50 =25 (海里) .32 325 25,3海监船继续向正东方向航行是安全的 .23.解析 (1)由 DAF+ BAE=90, ABE+ BAE=90得 ABE= DAF,又 AEB= DFA=90,AB=AD,根据 AAS 可证ABE DAF;(2)四边形 ABED 是不规则四边形,可利用 S 四边形 ABED=S ABE+S AED列方程求解 .解:(1)证明:在正方形 ABCD 中,AB=AD,
16、 BAD=90, DAF+ BAE=90. BE AG,DF AG, AEB= DFA=90, ABE+ BAE=90, ABE= DAF, ABE DAF.(2)设 EF=x,则 AE=1+x.由(1)可知 ABE DAF,故 BE=AF=1,DF=AE=1+x,14 S 四边形 ABED=S ABE+S AED= BEAE+ AEDF= (1+x)+ (1+x)2.12 12 12 12又 S 四边形 ABED=6, (1+x)+ (1+x)2=6,12 12解得 x1=-5(不合题意,舍去), x2=2.故 EF 的长为 2.24.解:(1)证明: AF=FG, FAG= FGA. AG
17、 平分 CAB, CAG= FAG, CAG= FGA, AC FG. DE AC, FG DE. FG BC, DE BC, AC BC, C= DHG=90, CGE= GED. F 是 AD 的中点, FG AE, H 是 DE 的中点, FG 是线段 ED 的垂直平分线, GE=GD, GDE= GED, CGE= GDE, ECG GHD.(2)证明:过点 G 作 GP AB 于点 P, GC=GP,易证 CAG PAG, AC=AP.由(1)得 EG=DG,Rt ECGRt DPG,15 EC=PD, AD=AP+PD=AC+EC.(3)四边形 AEGF 是菱形,理由如下: B=3
18、0,DE BC, ADE=30, AE= AD, AE=AF=FG.12又由(1)得 AE FG,四边形 AEGF 是菱形 .25.解:(1)证明:四边形 ABCD 为矩形, A= D=90,AB=DC.又 E 为 AD 的中点, AE=DE, ABE DCE, BE=CE.(2)证明: ABE DCE, AEB= DEC. BEC=90, AEB= DEC=45, ABE= ECB=45. BEM+ BEN= CEN+ BEN=90, BEM= CEN.又 BE=CE, BEM CEN.由可知 ABE 和 DCE 都是等腰直角三角形, E 为 AD 的中点, BC=AD=2AB=4.设 BM=CN=x,则 BN=4-x,0 x2 .16S BMN= BMBN= x(4-x)=- x2+2x=- (x-2)2+2,12 12 12 12当 x=2 时, BMN 的面积最大,最大面积为 2. BC AD, FEG=90, BNG= FEG=90. F=30, NBG= F=30.由可知 EBN=45.设 NG=x,则 BG=2x,BN= x,EN= x,3 3 BE= x = x,3 2 6 S EBG= BEBGsin EBG= EGBN,12 12sin EBG= = = .EGBNBEBG(3x+x)3x6x2x 6+ 24
