1、1课时训练(十四) 二次函数的图象与性质(二) |夯实基础|1.2018青岛 已知一次函数 y= x+c的图象如图 14-8,则二次函数 y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能ba是( )图 14-8图 14-92.2018包头样题二 二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图 14-10所示,则一次函数 y=bx+b2-4ac与反比例函数 y=在同一坐标系内的图象大致为 ( )a+b+cx图 14-10图 14-113.2018包头样题三 二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图 14-12所示,则化简二次根式 + 的(a+c)2 (b-c)2结果是( )2图 14-12A.a+b
2、B.-a-bC.2b-c D.-2b+c4.2018枣庄 如图 14-13是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点 A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是 ( )图 14-13A.b20C.2a-b=0 D.a-b+c=05.2018威海 二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图 14-14所示,下列结论错误的是 ( )图 14-14A.abc4ac D.2a+b06.2018烟台 如图 14-15,二次函数的图象与 x轴交于点 A(-1,0),B(3,0).下列结论:2 a-b=0;( a+c)20;若 M( ,y1),N( ,y2)是函数图象上的两点,
3、则 y10; a-b+c-2.其中,正确的个数是( )4图 14-17A.1 B.2 C.3 D.49.2016东河区二模 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图 14-18所示,有下列结论: b2-4ac0;4 a+c2b;( a+c)2b2; x(ax+b) a-b.其中正确结论的个数是 ( )图 14-18A.3 B.2 C.1 D.010.2018广安 已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图 14-19所示,对称轴为直线 x=1,则下列结论正确的有 .(填序号) 图 14-19 abc0;方程 ax2+bx+c=0的两根是 x1=-1,x2=3;2 a+b=0;当 x0
4、时, y随 x的增大而减小 .11.如图 14-20是二次函数 y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分,直线 x=-1是对称轴,有下列判断: b-2a=0;4 a-2b+cy2.其中正确的序号是 . 32图 14-2012.2017天水 如图 14-21是抛物线 y1=ax2+bx+c(a0)的一部分,抛物线的顶点坐标是 A(1,3),与 x轴的一个交点是 B(4,0),直线 y2=mx+n(m0)与抛物线交于 A,B两点,下列结论:5 abc0;方程 ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;抛物线与 x轴的另一个交点是( -1,0);当 1y1; x(ax+b) a+b.其中正确的结论是
5、.(只填写序号) 图 14-2113.2017温州 如图 14-22,过抛物线 y= x2-2x上一点 A作 x轴的平行线,交抛物线于另一点 B,交 y轴于点 C,14已知点 A的横坐标为 -2.(1)求抛物线的对称轴和点 B的坐标 .(2)在 AB上任取一点 P,连接 OP,作点 C关于直线 OP的对称点 D.连接 BD,求 BD的最小值;当点 D落在抛物线的对称轴上,且在 x轴上方时,求直线 PD的函数解析式 .图 14-22614.如图 14-23,抛物线 y=ax2+bx+c经过 A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点 .(1)求抛物线的解析式 .(2)P是抛物线 AB段上一动
6、点,过点 P作 PM x轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以 A,P,M为顶点的三角形与 OAC相似?若存在,请求出符合条件的点 P的坐标;若不存在,请说明理由 .(3)在直线 AC上方的抛物线上有一点 D,使得 DCA的面积最大,求出点 D的坐标 .图 14-23|拓展提升|15.2017东河区二模 如图 14-24,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x=-1,与 x轴的一个交点在( -3,0)和( -2,0)之间,其部分图象如图 14-7所示,则下列结论:(1)b2-4ac0;(2)2a=b;(3)若( - ,y1),(- ,y2),( ,y3)是该抛物线上的点,则 y
7、13时, y8a.23其中正确的结论是 ( )图 14-25A. B.C. D.17.二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且 a0)中的 x与 y的部分对应值如下表:x -1 0 1 3y -1 3 5 3下列结论:(1)ac1时, y的值随 x值的增大而减小;(3)3是关于 x的方程 ax2+(b-1)x+c=0的一个根;(4)当 -10.其中正确的有 ( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个18.2015昆区二模 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图 14-26所示,下列结论: abc0;2 a+b=0;当m1 时, a+bam2+bm; a-b+c0;若 a
8、 +bx1=a +bx2,且 x1 x2,则 x1+x2=2.其中正确的是( )x21 x22图 14-26A. B.C. D.19.2018衡阳 如图 14-27,抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴交于点 A(-1,0),顶点坐标为(1, n),与 y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:3 a+b0. 0,二次函数 y=ax2+bx+c的图象的对称轴在 y轴右ba ba ba b2a侧 . c0,二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 y轴交于正半轴,观察可知选项 A中图象符合描述 .故选 A.2.D 3.D4.D 解析 由图象的开口向上可知 a0,由图象与 y轴
9、交于负半轴可知 c0,即 b24ac,A错误;由对称轴是直线 x=1得 - =1, b=-2a,2a-b=2a-(-2a)=4a0,C 错误;由二次函数图b2a象的对称性可得二次函数图象与 x轴的另一个交点的坐标为( -1,0), a-b+c=0,D正确 .故选 D.5.D 解析 由函数图象的开口向下,判断 a0;由对称轴在 y轴的右侧,判断 0,所以 b0,所以 abc4ac-8a,b24a(c-2), 2,则 c-20,由 a2a,即 2a+b0, b0.抛物线交 y轴于正半轴, c0. abc0,正确 .对称轴为直线 x=2,点 M( ,y1)到对称轴的距离大于点 N( ,y2)到对称轴
10、的距离, y10. x=- 0,b2a b0, abc1时, y随 x的增大而减小 .错误 .故正确的有 .11.1212. 解析 由图象可知: a0,c0,故 abc0,故错误 .观察图象可知,抛物线与直线 y=3只有一个交点,故方程 ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故正确 .根据对称性可知抛物线与 x轴的另一个交点坐标是( -2,0),故错误 .观察图象可知,当 1x4时,有 y2y1,故错误 .因为 x=1时, y1有最大值,所以 ax2+bx+c a+b+c,即 x(ax+b) a+b,故正确,所以正确,故答案为 .13.解:(1)由抛物线的解析式 y= x2-2x,得对称轴为
11、直线 x=- =4.14 b2a由题意知点 A的横坐标为 -2,代入解析式求得 y=5,当 x2-2x=5时, x1=10,x2=-2,14 A(-2,5),B(10,5).(2)连接 OD,OB,利用三角形三边关系可得 BD OB-OD,所以当且仅当 O,D,B三点共线时, BD取得最小值 .由题意知 OC=OD=5,OB= =5 ,102+52 5 BD的最小值 =OB-OD=5 -5.5(i)如图,当点 P在对称轴左侧时,连接 OD,设抛物线的对称轴交 BC于点 M,交 x轴于点 N.在 Rt ODN中, DN= =3,52-4213 D(4,3),DM=2.设 P(x,5),在 Rt
12、PMD中,(4 -x)2+22=x2,得 x= , P( ,5).52 52设直线 PD的函数表达式为 y=kx+b,由 得4k+b=3,52k+b=5, k= -43,b=253.直线 PD的函数解析式为 y=- x+ .43 253(ii)当点 P在对称轴右侧时,点 D在 x轴下方,不符合要求 .综上所述,直线 PD的函数解析式为 y=- x+ .43 25314.解:(1)抛物线过点 C(0,-2),该抛物线的解析式为 y=ax2+bx-2.将 A(4,0),B(1,0)代入,得 解得16a+4b-2=0,a+b-2=0, a= -12,b=52. 此抛物线的解析式为 y=- x2+ x
13、-2.12 52(2)存在 .如图,设点 P的横坐标为 m,则点 P的纵坐标为 - m2+ m-2.12 52当 1m4时,AM=4-m,PM=- m2+ m-2.12 52又 COA= PMA=90,14当 = =2时, APM ACO,AMPMAOCO =2,4-m-12m2+52m-2即 4-m=2 ,(-12m2+52m-2)4 -m=-m2+5m-4, m2-6m+8=0,( m-2)(m-4)=0,解得 m1=2,m2=4(舍去), P(2,1).当 = = 时, APM CAO,AMPMCOAO122(4 -m)=- m2+ m-2,12 52 m2-9m+20=0,( m-4)
14、(m-5)=0,解得 m1=4(舍去), m2=5(舍去) .综上所述,符合条件的点 P的坐标为(2,1) .(3)如图,设点 D的横坐标为 t(0t4),则点 D的纵坐标为 - t2+ t-2.12 52过点 D作 y轴的平行线交 AC于点 E.由题意可求得直线 AC的解析式为 y= x-2,12点 E的坐标为 ,(t,12t-2) DE=- t2+ t-2- =- t2+2t,12 52 (12t-2) 1215 S DCA= 4=-t2+4t=-(t-2)2+4.12 (-12t2+2t)当 t=2时, DCA的面积最大 .点 D的坐标为(2,1) .15.C 16.B 17.B 18.
15、D19.D 解析 抛物线开口向下, a0,顶点坐标为(1, n),对称轴为直线 x=1, - =1, b=-2a,b2a3 a+b=3a+(-2a)=a0,故正确 .抛物线与 y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),2 c3 .抛物线与 x轴交于点 A(-1,0), a-b+c=0, a-(-2a)+c=0, c=-3a,2 -3a3, -1 a - ,故正确 .23抛物线的顶点坐标为(1, n),当 x=1时,函数有最大值 n,即 a+b+c=n, a+b+c am2+bm+c, a+b am2+bm,故正确 .抛物线的顶点坐标为(1, n),抛物线开口向下,直线 y=n-1与抛
16、物线有两个交点,即一元二次方程 ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,故正确 .综上所述,结论正确的是,共 4个 .故选 D.1620.解:(1)将 A(-1,0),B(3,0)代入 y=-x2+bx+c,得 解得-1-b+c=0,-9+3b+c=0, b=2,c=3,抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3.(2)如图,连接 PC,交抛物线对称轴 l于点 E,抛物线 y=-x2+bx+c与 x轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点,抛物线的对称轴为直线 x=1.当 t=2时,点 C,P关于直线 l对称,此时存在点 M,使得四边形 CDPM是平行四边形 .抛物线的解析式为 y=-x2+
17、2x+3,点 C的坐标为(0,3),点 P的坐标为(2,3),点 M的坐标为(1,6) .当 t2 时,若四边形 CDPM是平行四边形,则 CE=PE,点 C的横坐标为 0,点 E的横坐标为 1,点 P的横坐标 t=12-0=2.又 t2,此种情况不存在 .综上,在直线 l上存在点 M(1,6),使得四边形 CDPM是平行四边形 .(3)如图,过点 P作 PF y轴,交 BC于点 F.设直线 BC的函数解析式为 y=mx+n(m0),17将 B(3,0),C(0,3)代入 y=mx+n,得 解得3m+n=0,n=3, m= -1,n=3, 直线 BC的函数解析式为 y=-x+3.点 P的坐标为( t,-t2+2t+3),点 F的坐标为( t,-t+3), PF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t, S= PFOB= (-t2+3t)3=- t2+ t(0t3).12 12 32 92 S=- t2+ t=- (t- )2+ (0t3),32 92 32 32 278 - 0,32当 t= 时, S取最大值,最大值为 .32 278点 B的坐标为(3,0),点 C的坐标为(0,3),线段 BC= =3 ,OB2+OC2 2点 P到直线 BC的距离的最大值为 = ,此时点 P的坐标为( , ).278232 928 32154
