1、1课时训练(二十六) 正方形及中点四边形|夯实基础|1.根据下列条件,能判定一个四边形是正方形的是 ( )A.对角线互相垂直且平分B.对角相等C.对角线互相垂直、平分且相等D.对角线相等2.2018滨州 下列命题,其中是真命题的为( )A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形3.2016河北 关于 ABCD 的叙述,正确的是( )A.若 AB BC,则 ABCD 是菱形B.若 AC BD,则 ABCD 是正方形C.若 AC=BD,则 ABCD 是矩形D.若 AB=AD,则 ABCD 是正方形4
2、.2017广安 下列说法:四边相等的四边形一定是菱形;顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;对角线相等的四边形一定是矩形;2经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 .其中正确的个数是 ( )A.4 B.3 C.2 D.15.若顺次连接四边形 ABCD 四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形 ABCD 一定是 ( )A.矩形B.菱形 C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.如图 26-5,正方形 ABCD 的周长为 28 cm,点 N 在对角线 BD 上,则矩形 MNGC 的周长是 ( )图 26-5A.24 cm B.14 cm C.18
3、 cm D.7 cm7.如图 26-6,直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B,点 A,C 到直线 l 的距离分别为 1 和 3,则正方形 ABCD 的边长是( )图 26-6A.2 B.3 C. D.42 108.2018天津 如图 26-7,在正方形 ABCD 中, E,F 分别为 AD,BC 的中点, P 为对角线 BD 上的一个动点,则下列线段的长等于 AP+EP 最小值的是 ( )3图 26-7A.AB B.DE C.BD D.AF9.2017枣庄 如图 26-8,把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为 MN,再过点 B 折叠纸片,使点 A 落在 MN 上的
4、点 F 处,折痕为 BE.若 AB 的长为 2,则 FM 的长为( )图 26-8A.2 B. C. D.13 210.2017泰安 如图 26-9,在正方形 ABCD 中, M 为 BC 上一点, ME AM,ME 交 AD 的延长线于点 E.若 AB=12,BM=5,则 DE 的长为 ( )图 26-9A.18 B.1095C. D.965 25311.2018青岛 如图 26-10,已知正方形 ABCD 的边长为 5,点 E,F 分别在 AD,DC 上, AE=DF=2,BE 与 AF 相交于点 G,H为 BF 的中点,连接 GH,则 GH 的长为 . 4图 26-1012.2018德阳
5、 如图 26-11,将边长为 的正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30得到正方形 ABCD,那么图中3阴影部分的面积为 ( )图 26-11A.3 B. 3C.3- D.3-33213.正方形的对角线长为 2,则正方形的周长为 ,面积为 . 14.2017兰州 在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 DB 相交于点 O.要使四边形 ABCD 是正方形,还需添加一组条件 .下面给出了四组条件: AB AD,且 AB=AD; AB=BD,且 AB BD; OB=OC,且 OB OC; AB=AD,且 AC=BD.其中正确的是 (填序号) . 15.2015无锡 如图 26-12,已知矩
6、形 ABCD 的对角线长为 8 cm,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,则四边形EFGH 的周长等于 cm. 图 26-1216.2015广安 如图 26-13,已知 E,F,G,H 分别为菱形 ABCD 四边的中点, AB=6 cm, ABC=60,则四边形 EFGH 的面积为 cm2. 5图 26-1317.2017宿迁 如图 26-14,正方形 ABCD 的边长为 3,点 E 在边 AB 上,且 BE=1.若点 P 在对角线 BD 上移动,则PA+PE 的最小值是 . 图 26-1418.2017包头样题二 如图 26-15,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,
7、小正方形的顶点均在大正方形的边或对角线上 .若两个小正方形的面积分别为 S1,S2,则 S1与 S2的和为 . 图 26-1519.2017常德 如图 26-16,正方形 EFGH 的顶点在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上,若设 AE=x,正方形 EFGH 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数关系式为 (不必写出自变量的取值范围) . 图 26-1620.2018白银 如图 26-17,已知矩形 ABCD 中, E 是 AD 边上的一个动点, F,G,H 分别是 BC,BE,CE 的中点 .(1)求证: BGF FHC;6(2)设 AD=a,当四边形 EGFH 是正方形时,求矩形 A
8、BCD 的面积 .图 26-1721.2018聊城 如图 26-18,在正方形 ABCD 中, E 是 BC 上的一点,连接 AE,过点 B 作 BH AE,垂足为 H,延长 BH交 CD 于点 F,连接 AF.(1)求证: AE=BF;(2)若正方形 ABCD 的边长是 5,BE=2,求 AF 的长 .图 26-18722.2018潍坊 如图 26-19,M 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点,连接 AM,作 DE AM 于点 E,BF AM 于点 F,连接 BE.(1)求证: AE=BF;(2)已知 AF=2,四边形 ABED 的面积为 24,求 EBF 的正弦值 .图 26-1923
9、.2017眉山 如图 26-20,E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点,连接 DE,过顶点 B 作 BF DE,垂足为 F,BF交 AC 于点 H,交 DC 于点 G.(1)求证: BG=DE;(2)若 G 为 CD 的中点,求 的值 .HGGF8图 26-20|拓展提升|24.2018包头样题一 如图 26-21,已知四边形 ABCD 和四边形 DEFG 为正方形,点 E 在线段 DC 上,点 A,D,G 在同一条直线上,且 AD=3,DE=1,连接 CG,AE,并延长 AE 交 CG 于点 H,则 EH 的长为 ( )图 26-219A. B. C. D.105 2105 35
10、5 5525.2018台州 如图 26-22,在正方形 ABCD 中, AB=3,点 E,F 分别在 CD,AD 上, CE=DF,BE,CF 相交于点 G.若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2 3,则 BCG 的周长为 . 图 26-2226.2017青山区一模 如图 26-23,在正方形 ABCD 中, AC 为对角线, E 为 AB 上一点,过点 E 作 EF AD,与 AC,DC分别交于点 G,F,H 为 CG 的中点,连接 DE,EH,DH,FH.下列结论: EG=DF; AEH+ ADH=180; EHF DHC;若 = ,则 3S EDH=13S DHC,其中
11、正确的结论是AEAB23(填序号) . 图 26-2327.2018青山区二模 如图 26-24,在正方形 ABCD 中, BPC 是等边三角形, BP,CP 的延长线分别交 AD 于点 E,F,连接 BD,DP,BD 与 CF 相交于点 H,给出下列结论: BE=2AE; DFP BPH; PFD PDB; DP2=PHPC.其中正确的是 (填序号) . 图 26-241011参考答案1.C2.D3.C4.C 解析 根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四条边相等,由此可判定所得四边形是菱形,
12、故错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故正确 .综上所述,正确的说法有 2 个 .故选 C.5.D 6.B 7.C8.D 解析 如图,取 CD 的中点 E,连接 AE,PE.由正方形轴对称的性质可知 EP=EP,AF=AE, AP+EP=AP+EP. AP+EP AE, AP+EP 的最小值是 AE的长,即 AP+EP 的最小值是 AF 的长 .故选 D.9.B 解析 四边形 ABCD 为正方形, A
13、B=2,M,N 分别为 BC,AD 的中点,过点 B 折叠纸片,使点 A 落在 MN 上的点 F 处, FB=AB=2,BM=1.在 Rt BMF 中, FM= = = ,故选 B.BF2-BM2 22-12 310.B 解析 在 Rt ABM 中,根据勾股定理得 AM= = =13,因为四边形 ABCD 为正方形,所以AB2+BM2 122+52AD=AB=12.因为 ME AM,所以 AME=90,所以 AME= MBA.因为 AD BC,所以 EAM= AMB,所以 ABM EMA,所以 =BMAM12,即 = ,所以 AE= ,所以 DE=AE-AD= -12= .AMAE 51313
14、AE 1695 1695 109511. 解析 四边形 ABCD 是正方形, AB=AD=BC=CD=5, BAD= D= C=90.又 AE=DF, ABE342DAF, DAF= ABE, ABE+ BAG= DAF+ BAG=90,即 BGF=90.在 Rt BCF 中, CF=CD-DF=3, BF= =52+32.在 Rt BGF 中, H 为 BF 的中点, GH= BF= .3412 34212.C 解析 如图,连接 AM.由旋转的性质可知1 =4 =30,2 +3 =60.在 Rt ABM 和 Rt CBM 中, AB=CB,Rt ABMRt CBM,2 =3 =30.在 Rt
15、 ABM 中, AB= ,2 =30,3 AM=tan30AB=1. S ABM=S BMC= ,32 S 阴影 =S 正方形 ABCD-(S ABM+S BMC)=3- .313.4 2214. 解析 有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,故正确; BD 为平行四边形的对角线, AB 为平行四边形的其中一条边,所以 AB=BD 时,平行四边形不可能是正方形,故错误;由 OB=OC,得 AC=BD,由 OB OC 得 AC BD,13 ABCD 为正方形,故正确;由 AB=AD,得 ABCD 为菱形 .又 AC=BD,四边形 ABCD 为正方形,故正确 .15.16
16、16.9 317. 解析 连接 PC.根据正方形的对称性知 PA=PC,所以当点 C,P,E 在同一条直线上时, PA+PE=PC+PE=CE 最小,根10据勾股定理求得 CE= = = .BC2+BE2 32+12 1018.1719.y=2x2-4x+4 解析 由题中条件可知,图中的四个直角三角形是全等三角形, AE=x,则 AF=2-x.在 Rt EAF 中,由勾股定理可得 EF2=(2-x)2+x2=2x2-4x+4,即正方形 EFGH 的面积 y=2x2-4x+4.20.解:(1)证明: F 是 BC 边的中点, BF=FC. F,G,H 分别是 BC,BE,CE 的中点, GF,F
17、H 是 BEC 的中位线, GF=HC,FH=BG.在 BGF 和 FHC 中,BF=FC,BG=FH,GF=HC, BGF FHC(SSS).(2)当四边形 EGFH 是正方形时, BEC=90,GF=GE=EH=FH. GF,FH 是 BEC 的中位线, BE=CE, BEC 是等腰直角三角形 .连接 EF,则 EF BC,EF= BC= AD= a,12 12 1214 S 矩形 ABCD=ADEF=a a= a2.12 1221.解:(1)证明:四边形 ABCD 是正方形, AB=BC, ABC= C=90. BH AE,垂足为 H, BAE+ ABH=90. CBF+ ABH=90,
18、 BAE= CBF.在 ABE 和 BCF 中, ABE= C=90,AB=BC, BAE= CBF, ABE BCF(ASA), AE=BF.(2) ABE BCF, CF=BE=2.正方形的边长为 5, AD=CD=5, DF=CD-CF=5-2=3.在 Rt ADF 中, AF= = = .AD2+DF2 52+32 3422.解:(1)证明:四边形 ABCD 为正方形, AB=AD, BAD=90, BAE+ EAD=90. BF AM,DE AM, DEA= AFB=90,15 EAD+ ADE=90, BAE= ADE. ABF DAE, AE=BF.(2)设 EF=x,则 AE=
19、x+2,BF=AE=x+2. ABF DAE, S 四边形 ABED=S BEF+S ABF+S DAE=S BEF+2S ABF=24,即 x(x+2)+ 2(x+2)2=24,12 12解得 x1=4,x2=-10(舍去), EF=4,BF=6, BE= =2 ,42+62 13sin EBF= = = .EFBE42132131323.解析 (1)要证明 BG=DE,只需证明 BCG DCE,利用 AAS 或 ASA 证明即可;(2)设正方形 ABCD 的边长为 a,先求出BG 的长,从而得出 CE,DE 的长,分别利用 ABH CGH 和 DFG DCE,得到 HG 和 GF 的长,从
20、而求出 的值 .HGGF解:(1)证明:四边形 ABCD 是正方形, BC=DC, BCD=90, DCE=180-90=90, BCD= DCE, CBG+ BGC=90. BF DE, CBG+ E=90, BGC= E,16 BCG DCE, BG=DE.(2)设正方形 ABCD 的边长为 a. G 为 CD 的中点, CG=GD= a.12在 Rt BCG 中, BG= = = a.BC2+CG2 a2+(a2)2 52 BCG DCE, CE=CG= ,DE=BG= a.a2 52 AB DC, ABH CGH, = =2, = ,BHGHABCG HGBG13 HG= BG= a=
21、 a.13 13 52 56又 DFG= DCE=90, FDG= CDE, DFG DCE, = ,即 = ,解得 GF= a,GFECDGDE GF12a12a52a 510 = = .HGGF56a510a5324.A25.3+ 解析 在正方形 ABCD 中, AB=3,15 S 正方形 ABCD=32=9.阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2 3,空白部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 1 3,17 S 空白 =3.四边形 ABCD 是正方形, BC=CD, BCE= CDF=90.又 CE=DF, BCE CDF(SAS), CBE= DCF. DCF+ BCG
22、=90, CBE+ BCG=90,即 BGC=90, BCG 是直角三角形 .易知 S BCG=S 四边形 FGED= , S BCG= BGCG= ,32 12 32 BGCG=3.在 Rt BCG 中,根据勾股定理,得 BG2+CG2=BC2,即 BG2+CG2=9,( BG+CG)2=BG2+2BGCG+CG2=9+23=15, BG+CG= ,15 BCG 的周长 =BG+CG+BC=3+ .1526. 解析 四边形 ABCD 为正方形, EF AD, EF=AD=DC, ACD=45, GFC=90, GFC 为等腰直角三角形, GF=CF, EF-GF=DC-CF,即 EG=DF,
23、故正确; CFG 为等腰直角三角形, H 为 CG 的中点, FH=CH, EFH= DCH=45.又 EF=DC, EHF DHC,故正确;18 EHF DHC, FEH= CDH, AEH+ ADH= AEF+ FEH+ ADF- CDH= AEF+ ADF=180,故正确; = , AE=2BE.AEAB23在 EGH 和 DFH 中, EG=DF, EGH= DFH=135,GH=FH, EGH DFH, EH=DH, EHG= DHF, EHD= EHG+ AHD= AHD+ DHF= AHF=90, EHD 是等腰直角三角形 .过点 H 作 HM CD 于点 M,设 HM=x,则 DM=5x,CD=6x,DH= x, S EDH= DH2=13x2,2612S DHC= HMCD=3x2,3 S EDH=13S DHC,故正确 .1227.
