1、1功和能(二)李仕才1(2016浙江 10 月学考20)如图 1 甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，可抽象为图乙的模型倾角为 45的直轨道 AB、半径 R10 m 的光滑竖直圆轨道和倾角为 37的直轨道 EF，分别通过水平光滑衔接轨道 BC、 C E 平滑连接，另有水平减速直轨道 FG 与 EF 平滑连接， EG 间的水平距离 l40 m现有质量 m500 kg 的过山车，从高h40 m 处的 A 点静止下滑，经 BCDC EF 最终停在 G 点过山车与轨道 AB、 EF 的动摩擦因数均为 10.2，与减速直轨道 FG 的动摩擦因数 20.75.过山车可视为质点，运动中不脱离
2、轨道求：(已知 sin 370.6，cos 370.8， g 取 10 m/s2)图 1(1)过山车运动至圆轨道最低点 C 时的速度大小；(2)过山车运动至圆轨道最高点 D 时对轨道的作用力；(3)减速直轨道 FG 的长度 x.答案 (1)8 m/s (2)7 000 N，方向竖直向上 (3)30 m10解析 (1)设过山车到达 C 点的速度为 vC，由 A 点到 C 点，由动能定理得mgh 1mgcos 45 mvhsin 4512 C2代入数据可得 vC8 m/s.10(2)设过山车到达 D 点的速度为 vD，由 C 点到 D 点，由机械能守恒定律得 mv 2 mgR mv12 C2 12
3、 D2在 D 点，由牛顿第二定律得mg FD mvD2R联立并代入数据可得 FD7 000 N由牛顿第三定律可知，过山车对轨道的作用力 FD7 000 N，方向竖直向上(3)过山车从 A 点到 G 点，由动能定理可得2mgh mg(l x)tan 37 1mgcos 45 1mgcos hsin 4537 2mgx0l xcos 37代入数据可得 x30 m2(2018台州中学第一次统练)如图 2 所示为一遥控电动赛车(可视为质点)和它的运动轨道示意图假设在某次演示中，赛车从 A 位置由静止开始运动，经 2 s 后关闭电动机，赛车继续前进至 B 点后水平飞出，赛车能从 C 点无碰撞地进入竖直平
4、面内的圆形光滑轨道， D 点和 E 点分别为圆形轨道的最高点和最低点已知赛车在水平轨道 AB 段运动时受到的恒定阻力为 0.4 N，赛车质量为 0.4 kg，通电时赛车电动机的输出功率恒为 2 W， B、 C 两点间高度差为 0.45 m， C 与圆心 O 的连线和竖直方向的夹角 37，空气阻力忽略不计， g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8，求：图 2(1)赛车通过 C 点时的速度大小；(2)赛道 AB 的长度；(3)要使赛车能通过圆轨道最高点 D 后回到水平赛道 EG，其半径需要满足什么条件答案 (1)5 m/s (2)2 m (3)0 R m2546解析 (1)赛车在
5、 B、 C 间做平抛运动，则竖直方向 vy 3 m/s.2gh由图可知： vC 5 m/svysin 37(2)赛车在 B 点的速度 v0 vCcos 374 m/s则由 A B，根据动能定理得： Pt FflAB mv ，12 02得 lAB2 m.(3)当赛车恰好通过最高点 D 时，有： mg mvD2R从 C 到 D，由动能定理得：3 mgR(1cos 37) mv mv ，解得 R m，12 D2 12 C2 2546所以轨道半径需满足 0 R m(可以不写 0)25463(2018浙江省名校协作体上学期考试)如图 3 所示，质量 m1 kg 的小物块静止放在粗糙水平桌面上，它与水平桌
6、面间的动摩擦因数 0.4，且与水平桌面边缘 O 点的距离 s8 m在紧靠桌面边缘右侧固定了一个 圆弧挡板，半径 R3 m，圆心与桌面同高以 O 点为12原点建立平面直角坐标系现用 F8 N 的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板( g 取 10 m/s2)图 3(1)若小物块恰能击中圆弧挡板最低点，求其离开 O 点时的动能大小；(2)在第(1)问中拉力 F 作用的时间；(3)若小物块在空中运动的时间为 0.6 s，求拉力 F 作用的距离答案 (1)7.5 J (2) s (3) m1588 6516解析 (1)小物块离开 O 点后开始做平抛运动，故： R v0t
7、， R gt2，又 EkO mv12 12 02解得 EkO7.5 J；(2)由开始运动到小物块到达 O 点由动能定理得：Fx mgs mv ，得 x m12 02 7916由牛顿第二定律得 F mg ma，得 a4 m/s 2由 x at ，得 t0 s12 02 1588(3)小物块离开 O 点后开始做平抛运动，由下落时间可知下落距离 y gt 2，得 y1.8 m.12若小物块落到半圆的左半边，则平抛运动水平位移x1 R 0.6 mR2 y24v1 1 m/sx1t由动能定理得 FL1 mgs mv12 12得 L1 m6516若小物块落到半圆的右半边，同理可得 v29 m/s由动能定理
8、得 FL2 mgs mv12 2解得 L2 m8 m(舍去)145164(2018浙江 4 月学考20)如图 4 所示，一轨道由半径为 2 m 的四分之一竖直圆弧轨道AB 和长度可调的水平直轨道 BC 在 B 点平滑连接而成现有一质量为 0.2 kg 的小球从 A 点无初速度释放，经过圆弧上 B 点时，传感器测得轨道所受压力大小为 3.6 N，小球经过 BC段所受的阻力为其重力的 0.2 倍，然后从 C 点水平飞离轨道，落到水平地面上的 P 点，P、 C 两点间的高度差为 3.2 m小球运动过程中可视为质点，且不计空气阻力( g10 m/s2)图 4(1)求小球运动至 B 点时的速度大小；(2
9、)求小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；(3)为使小球落点 P 与 B 点的水平距离最大，求 BC 段的长度；(4)小球落到 P 点后弹起，与地面多次碰撞后静止假设小球每次碰撞机械能损失 75%，碰撞前后速度方向与地面的夹角相等求小球从 C 点飞出到最后静止所需时间答案 (1)4 m/s (2)2.4 J (3)3.36 m (4)2.4 s解析 (1)由向心力公式和牛顿第三定律有FN mg m ，解得 vB4 m/s.vB2R(2)小球从 A 到 B 的过程，只有重力和摩擦力做功，设克服摩擦力所做的功为 W 克由动能定理得： mgR W 克 mv 012 B2解得 W 克 2.4 J.5(3
10、)分析运动发现， BC 段长度会影响匀减速运动的时间，继而影响平抛运动的水平初速度以及水平位移设 BC 段小球的运动时间为 t，加速度 a 2 m/s 2Ffm由运动学公式得 vC vB at42 txBC vBt at24 t t212其中，0 t2 s.平抛运动中 h gt 12 12xCP vCt1由可得 xCP3.21.6 t则由可得 xBP xBC xCP t22.4 t3.2根据二次函数单调性以及 t 的范围，可得当 t1.2 s 时， xBP取到最大值代入式，解得 xBC3.36 m.(4)由于碰撞前、后速度方向与地面夹角相等，所以碰撞前、后水平与竖直分速度比例不变每次碰撞机械能损失 75%，故每次碰撞合速度、分速度均变为原来的 .12设第 n 次损失后的竖直分速度为 vyn，第 n 次碰撞到第 n1 次碰撞的时间为 tn.由平抛运动规律得 vy0 8 m/s2ght0 0.8 s2hg则 vyn vy0( )n12tn2 vyng将代入可得 tn0.8( )n1 (n1,2,3)12由等比数列求和公式可得 t 总 t0 t1 tn0.80.81 (12)n1 126当 n 取无穷大，小球处于静止状态解得 t 总 2.4 s.
