1、- 1 -四川省成都石室中学 2018-2019 学年高二数学 10 月月考试题 理一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1.已知集合 （ ）2,10,1AxyBxyAB， 则A. B. C. D.01， ， ， ， 0， 10，2.过原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为（ ）3224A. B. C. D. 323.设椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆 交于 两点，则的值是（ ）A. B. C. D. 2 44.下列函数中，与函数 的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）3yxA. B. C. D. yxtan1yxxye5.当曲线
2、与直线 有两个相异的交点时,实数 的取值范围是 24240kxyk（ ）A. B. C. D.30,53,13,13,46.已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 两点，且2:(0)xyCab2lC,AB线段 的中点为 ，则直线 的斜率为（ ）AB,MlA. B. C. D. 1332117.如图所示，在正三棱柱 中， 是 的中点， ，1CBADA12则异面直线 与 所成的角为( )1DA. B. C. D.04560908.数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知 的顶点 ，若其欧拉线的方程为 ，则顶点 的坐标ABC2,0,B2
3、xyC为（ ）A. B. C. D. 4,3,15,04,29.已知三棱锥 四个顶点均在半径为 的球面上，且 ，若DRABA，该三棱锥体积的最大值为 ，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D.815049291010.平行四边形 内接于椭圆 ，直线 的斜率 ，则直线 的斜率 ( )A. B. C. D. - 2 -11.已知双曲线 ： ，点 为 的左焦点，点 为 上位于第一E21xyab0,ab1FEPE象限内的点， 关于原点 的对称点为 ， ， ，则 的离心率为（ POQP13Q）A. B. C. D. 232512.已知椭圆和双曲线有共同焦点 ， 是它们的一个交点， ，记椭圆和12,
4、F1260F双曲线的离心率分别 ，则 的最小值是（ ）12,eeA. B. C. D. 3 33二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13.等比数列 中， 为其前 项和，若 ，则实数 的值为_.nanS2nSa14.设 分别是双曲线 的左、右焦点,点 ,若12,F2:1(0,)xyCbaMab,则双曲线的渐近线方程为_.30M15.在平面直角坐标系 中，点 为圆 上的一动点，直线OQ1)4()3(22yx与直线 相交于点 则当实数 变化时，线段 长的:1kyxl :2kyxl PkPQ最大值是_.16.已知 是椭圆 ： 的右焦点， 是椭圆上一点， ，当 周长最FC156 36(0,)5
5、AAF大时，该三角形的面积为_.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分 10 分)已知公差不为 的等差数列 的前三项和为 ，且 成等比数列.na1248,a（）求数列 的通项公式；n（）设 ，求数列 的前 项和 . ab2bnS18. (本小题满分 12 分)已知曲线 上的动点 满足到定点 的距离与到定点 距离之比为 C,Pxy1,0A1,0B- 3 -（）求曲线 的方程；C（）过点 的直线 与曲线 交于两点 ，若 ，求直线 的方程1,2MlC,MN4l19.(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 1CBA中，底面 为正三角形，侧棱 底面 已A1ABC知 是 的中
6、点， DBC2（）求证：平面 平面 ；1（）求证： 平面 ；D（）求三棱锥 的体积20. (本小题满分 12 分)如图，在 中， ， ， . 是 内一ABC 9060ACB1PABC点，且 .90P（）若 ，求线段 的长度；3P（）若 ，求 的面积.12ACBB1 C1A1D- 4 -21. (本小题满分 12 分)直角坐标系 中，椭圆 ： 的焦距为 ，过点 .xOyC21(0)xyab231,2（）求椭圆 的方程；（）已知点 ，不经过原点的直线 与椭圆 相交于 两点，线段 被直线2,1PlC,AB平分，且 .求直线 的方程.0ABl- 5 -22. (本小题满分 12 分)如图，在平面直角坐
7、标系 中，椭圆 的离心率为 ，过椭圆右焦xOy210xyab12点 作两条互相垂直的弦 与 .当直线 的斜率为 时，FABCDAB.7ABCD（）求椭圆的方程；（）求 的取值范围.- 6 -高二数学理科1.已知集合 （ B ）2,10,1AxyBxyA， 则A. B. C. D.01， ， ， ， ， 0，2.过原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为（ D ）3224A. B. C. D. 23.设椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆 交于 两点，则的值是（ C ）A. B. C. D. 44.下列函数中，与函数 的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ）3yxA. B. C. D. yxtan1
8、yxxye5.当曲线 与直线 有两个相异的交点时,实数 的取值范围是 24240kxyk（ C ）A. B. C. D. 30,53,13,13,46.已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 两点，且2:(0)xyab2lC,AB线段 的中点为 ，则直线 的斜率为（ C ）AB,MlA. B. C. D. 1332117.如图所示，在正三棱柱 中， 是 的中点， ，则异面直线1BADA2与 所成的角为( C )1DA. B. C. D.0456098.数学家欧拉在 1765 年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知 的顶点 ，若其欧拉线的方程为ABC
9、2,0,4B，则顶点 的坐标为（A ）20xyA. B. C. D. 4,3,15,4,29.已知三棱锥 四个顶点均在半径为 的球面上，且 ，若DRACA，该三棱锥体积的最大值为 ，则这个球的表面积为（ D ）A. B. C. D.8150492910- 7 -10.平行四边形 内接于椭圆 ，直线 的斜率 ，则直线 的斜率 ( B )A. B. C D. 11.已知双曲线 ： ，点 为 的左焦点，点 为 上位于第一E21xyab0,ab1FEPE象限内的点， 关于原点的对称点为 ，且满足 ，若 为双曲线 的中心，PQ3PQO，则 的离心率为（ B ）ObA. B. C. D. 232512.已
10、知椭圆和双曲线有共同焦点 ， 是它们的一个交点， ，记椭圆和1,F1260FP双曲线的离心率分别 ，则 的最小值是（A ）12,e2eA. B. C. D. 312313.等比数列 中， 为其前 项和，若 ，则实数 的值为 nanSnSa114.设 分别是双曲线 的左右焦点,点 ,若12,F2:1(0,)xyCbaMab,则双曲线的渐近线方程为_ _.30M 3yx15.在平面直角坐标系 中，点 为圆 上的一动点，直线OQ1)4()(22x与直线 相交于点 则当实数 变化时，线段 长的:1kyxl :2kyxl PkPQ最大值是 . 816.已知 是椭圆 ： 的右焦点， 是椭圆上一点， ，当
11、周长最FC156 36(0,)5AAF大时，该三角形的面积为_ _.417.(本小题满分 10 分)已知公差不为 的等差数列 的前三项和为 ，且 成等比数列.na1248,a（）求数列 的通项公式；n（）设 ，求数列 的前 项和 . ab2bnS解：（）设等差数列 的首项为 ，公差为 .依题意有n1d即12348,.24,0.ad由 ，解得0d1,.所以 . 6 分2na（）所以 .4nb因为 ，8 分1,nb所以数列 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列.所以 . 10 分()(1)13nnnS- 8 -18. (本小题满分 12 分)已知曲线 上的动点 满足到定点 的距离与到定点 距离之
12、比为 C,Pxy1,0A1,0B2（）求曲线 的方程；（）过点 的直线 与曲线 交于两点 ，若 ，求直线 的方程1,2MlC,MN4l解：（）由题意得 2 分AB故 3 分 22()(1)xyxy化简得： （或 ）即为所求 5 分602(3)8（）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，l l1x将 代入方程 得 ，12所以 ，满足题意。 8 分4MN当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为l l2yk由圆心 到直线 的距离 3,020kxy2|3|1d10 分解得 ，此时直线 的方程为kl综上所述，满足题意的直线 的方程为： 或 . 12 分xy19. (本小题满分 12 分)如图，在三棱柱
13、 1CBA中，底面 为正三角形，侧棱 底面 已A1ABC知 是 的中点， DBC2（）求证：平面 平面 ；1D（）求证： 平面 ；（）求三棱锥 的体积（）证明：由已知 为正三角形，且 是 的中点，ABC所以 BC因为侧棱 底面 ， ，11/所以 底面 又因为 底面 ，所以 .DAD而 ,1所以 平面 A1BC因为 平面 ，所以平面 平面 4 分1B1C（）证明：连接 ，设 ，连接 11AE由已知得，四边形 为正方形，则 为 的中点.1A因为 是 的中点，DBC所以 1/E又因为 平面 ，1平面 ，1A所以 平面 8 分（）由（）可知 平面 ，C1DAB1ACBB1 C1A1DACBB1 C1A
14、1DE- 9 -所以 与 到平面 的距离相等，1ACDB1所以 BDAV由题设及 ，得 ，且 12132ACDS所以 ，113CABDACACDSB所以三棱锥 的体积为 12 分13V20. (本小题满分 12 分)如图，在 中， ， ， . 是 内一点，且 90601CPABC.90BP（）若 ，求线段 的长度；3AAP（）若 ，求 的面积.12B解：（）因为 ，=6C所以在 中， ， ， ，RtPBA2 =13BC所以 12在 中， ， ， ，A=6 2BPA由余弦定理得 ，2 137+-cos=3+-2=44AB所以 4 分7P（）设 ，则 ，=B=PCB在 中， ， ， ，RtCA21
15、=PB所以 ，Psin在 中， ， ， ， ，B=sinB3A23由正弦定理得 ，8 分si32in-所以 ，131si=cosi2所以 ，in又 ，22s+co1所以 ，3i=7- 10 -所以 . 12 分2113S=sin=sin214ABPABP21. (本小题满分 12 分)直角坐标系 中，椭圆 ： 的焦距为 ，过点 .xOyC21(0)xyab231,2（）求椭圆 的方程；（）已知点 ，不经过原点的直线 与椭圆 相交于 两点，线段 被直线2,1PlCAB平分，且 .求直线 的方程.0ABl解： （）设椭圆方程为 ，代入点 ，得 ，213xyb13,2故椭圆方程为 . 4 分 24（
16、）由条件知 ： ，OPyx设 ： 代入 得lykxm0214y22148， 6 分122xk1224xk中点 在直线 上 ，AB4,OP， 8 分221mkk此时 ，2x21xm， 0PAB1210xxm2121253404xx解得 ，满足 ，m故所求直线方程为 . 12 分 22. (本小题满分 12 分)如图，在平面直角坐标系 中，椭圆xOy的离心率为 ，过椭圆右焦点210xyab12作两条互相垂直的弦 与 ，.当直线 的斜率FABCDAB- 11 -为 时， .07ABCD（）求椭圆的方程；（）求 的取值范围.解：（）由题意知， ，12cea22,4,3.cabc当直线 AB 的斜率为
17、0 时， .AB7CDa解得得 .22, 7,bbCD21,椭圆的方程为 .4 分2143xy（）当两条弦中一条斜率为 0 时，另一条弦的斜率不存在，由题意知.5 分7AB当两弦斜率均存在且不为 0 时，由（1）知， ，1,0F设 直线 AB 的方程为 ，则直线 CD 的方程为12,xyykx.()k将直线 AB 的方程代入椭圆方程，整理得 ，22348410k7 分解得 ， .214613kx261kx.8 分212234AB同理, . 9 分22()1kkCD.2221841343kABk令 ，则 ， .2tkt1t2t设2249(),ft.149, 0, ,.t ftt 8,7ABCDft综合与可知， 的取值范围是 12 分ABCD,7.
