1、1专题能力训练 5 基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 ( )A.f(x)=-x|x| B.f(x)=xsin xC.f(x)= D.f(x)=122.已知 a=21.2,b= ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( )(12)-0.8A.c1,A.- B.-C.- D.-6.(2018 全国 ,理 11)已知 f(x)是定义域为( - ,+ )内的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x),若 f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=( )A.-50 B.0 C.2 D.507.已知 ab1,若 loga
2、b+logba=,ab=ba,则 a= ,b= . 8.若函数 f(x)=xln(x+ )为偶函数,则 a= . +29.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间0, + )内单调递增 .若实数 a 满足 f(log2a)+f(lo a)2 f(1),则 a 的取值范围是 . 1210.设奇函数 y=f(x)(xR),满足对任意 tR 都有 f(t)=f(1-t),且当 x 时, f(x)=-x2,则 f(3)0,12+f 的值等于 .(-32)11.设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= . (+1)2+2+112.若不等式 3x2-logax0 时, f
3、(x)= 若 f(-5)4,2+2+3,0f(- ),则2a 的取值范围是 . 17.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 -1,1上, f(x)= 其中+1,-11,(12)-0.8又 c=2log52=log540,排除 A,B;当 x=时, y=- +22.排除 C.故选 D.(12)4+(12)24.D 解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=1,于是 -1 f(x-2)1 等价于 f(1) f(x-2) f(-1).又 f(x)在区间( - ,+ )单调递减,所以 -1 x-21,即 1 x3 .所以 x 的取值范围是1,3 .5.A 解析 f
4、 (a)=-3, 当 a1 时, f(a)=2a-1-2=-3,即 2a-1=-1,此等式显然不成立 .当 a1 时, f(a)=-log2(a+1)=-3,即 a+1=23,解得 a=7.f (6-a)=f(-1)=2-1-1-2= -2=-14 74.6.C 解析 f (-x)=f(2+x)=-f(x),f (x+4) =f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f (x)的周期为 4.f (x)为 R 上的奇函数, f (0)=0.f (2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),f (1)+f(2)+f(3)+f(4)=
5、0.f (1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.4 2 解析 设 logba=t,由 ab1,知 t1.由题意,得 t+ ,解得 t=2,则 a=b2.1=52由 ab=ba,得 b2b= ,即得 2b=b2,即 b=2,2a= 4.8.1 解析 f (x)是偶函数,f (-1)=f(1).又 f(-1)=-ln(-1+ )=ln ,f(1)=ln(1+ ),+1+1+1 +1因此 ln( +1)-ln a=ln( +1),+1 +1于是 ln a=0,a= 1.9 解析 由题意知 a0,又 lo a=log2a-1=-log2a.12,2 12f (
6、x)是 R 上的偶函数,f (log2a)=f(-log2a)=f(lo a).12f (log2a)+f(lo a)2 f(1),12 2f(log2a)2 f(1),即 f(log2a) f(1).又 f(x)在0, + )上单调递增,4| log2a|1, -1log 2a1, a12,2.10.- 解析 根据对任意 tR 都有 f(t)=f(1-t)可得 f(-t)=f(1+t),即 f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-f(t)=f(t),得函数 y=f(x)的一个周期为 2,则 f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f=f =-,所以 f(3
7、)+f =0+ =-(-32) (12) (-32) (-14) 14.11.2 解析 f(x)= =1+ ,(+1)2+2+1 2+2+1设 g(x)= ,则 g(-x)=-g(x),2+2+1故 g(x)是奇函数 .由奇函数图象的对称性知 g(x)max+g(x)min=0,则 M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.12.解 由题意知 3x21,函数 y=logax 的图象显然在函数 y=3x2图象的下方,所(0,13)以不成立;当 00,cos 6x0,则此时 y0,故选 D.14.B 解析 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以
8、f(-5)=f(5)=5a+log55=1+5a,则不等式 f(-5).(12,32)f(- )可化为 f(2|a-1|)f( ),则 2|a-1|0,(1+ 12)g (x)在 R 上单调递增,具有 M 性质;对 ,设 g(x)=ex3-x,则 g(x)=ex(3-+3- 13)=ex3-x 0,g (x)0,g (x)在 R 上单调递增,具有 M 性质 .故填 .19.解 (1) f (x)=ex- ,且 y=ex是增函数,(1)y=- 是增函数, f (x)是增函数 .(1)f (x)的定义域为 R,且 f(-x)= e-x-ex=-f(x),f (x)是奇函数 .(2)由(1)知 f(x)是增函数且为奇函数 .f (x-t)+f(x2-t2)0 对 xR 恒成立,f (x-t) f(t2-x2),t 2-x2 x-t,x 2+x t2+t 对 xR 恒成立 .6又 对一切 xR 恒成立,(+12)2(+12)20,t=-(+12)2 12.即存在实数 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 x 都成立 .12
