1、- 1 -天津市南开区南大奥宇培训学校 2018届高三数学上学期第二次月考试题 文一、选择题（本大题共 8小题，共 40.0分）1. 设复数 z1， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1=1+2i， i为虚数单位，则 z1z2=（ ）A. 1-2i B. 5i C. -5 D. 52. 设等差数列 an的公差 d0， a1=2d，若 ak是 a1与 a2k+7的等比中项，则 k=（ ）A. 2 B. 3 C. 5 D. 83. 下列命题错误的是（ ）A. “若 x a且 x b，则 x2-（ a+b） x+ab0”的否命题是“若 x=a或 x=b，则 x2-（ a+b）x+ab=0”B.
2、 若 p q为假命题，则 p， q均为假命题C. 命题“ x0（0， +）ln x0=x0-1”的否定是“ x （0，+），ln x x-1D. “x2”是“ ”的充分不必要条件4. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（ ） A. 9 B. C. D. 5. 设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 S4=8， S8=20，则 a9+a10+a11+a12=（ ）A. 18 B. 17 C. 16 D. 156. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点（ ）A. 横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度B. 横坐标伸长到原来的 2倍
3、（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度- 2 -C. 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度D. 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度7. 已知 sin（+ ）=4cos，则 2sin2-sincos+cos 2 的值等于（ ）A. B. C. D. 8. 在数列 an中， a1=4， a2=10，若log 3（ an-1）为等差数列，且 Tn= + + 等于（ ）A. （3 n-1） B. （1- ） C. （1- ） D. （3 n+1-1）二、填空题（本大题共 6小题，共 30.0分）9. 设 A=x|x2-8x+15=0， B=
4、x|ax-1=0，若 B A，则实数 a组成的集合 C= _ 10. 等比数列 an的前 n项和为 Sn，已知 a1=1， a1， S2，5 成等差数列，则数列 an的公比q= _ 11. 在等比数列 an中，已知 ，则 an的前 10项和 S10= _ 12. 在平行四边形 ABCD中， AD=1， AB=2， BAD=60， E是 CD的中点，则 = ACBE_ 13. 在 ABC中，角 A， B， C的对边边长分别为 a， b， c且满足 csinA=acosC，则 sinA-cos（ ）的取值范围为_ 14. 己知 ABC内一点 P满足 ，过点 P的直线分别交边 AB、 AC于C812
5、M、 N两点，若 ， ，则 + 的最小值为 _ ABN三、解答题（本大题共 6小题，15-18 每题 13分，19、20 每题 14分，共 80.0分）15. 在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c已知 asinA=4bsinB， ac= （ a2-b2-c2） - 3 -（）求 cosA的值； （）求 sin（2 B-A）的值16. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60乙 60 5 2
6、5已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600分钟，广告的总播放时间不少于 30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2倍分别用 x， y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数 （ I）用 x， y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （ II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17. 如图，斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1 平面 BCC1B1， E为棱 CC1的中点，A1B与 AB1交于点 O若AC=CC1=2BC=2， ACC1= CBB1=60 （）证明：直线 OE 平面 ABC；/（）证明：平
7、面 ABE 平面 AB1E； （）求直线 A1B与平面 ABE所成角的正弦值- 4 -18. 已知 an为等差数列，前 n项和为 Sn（ n N+）， bn是首项为 2的等比数列，且公比大于 0， b2+b3=12， b3=a4-2a1， S11=11b4 （）求 an和 bn的通项公式； （）求数列 a2nb2n-1的前 n项和（ n N+）19. 如图，在三棱锥 P-ABC中，点 D， E， F分别为棱 PC， AC， AB的中点，已知 PA 平面 ABC， AB BC，且 AB=BC （1）求证：平面 BED 平面 PAC； （2）求二面角 F-DE-B的大小； （3）若 PA=6， D
8、F=5，求 PC与平面 PAB所成角的正切值- 5 -20. 已知数列 an中， a1=a， a2=2， Sn是数列 an的前 n项和，且 2Sn=n（3 a1+an）， n N* （）求 a的值； （）求数列 an的通项公式； （）若 Tn是数列 bn的前 n项和，且 对一切 n N*都成立，求实数 m取值范围- 6 -2017-2018学年南大奥宇学校第二次质量调查-文数【答案】1. C 2. C 3. B 4. C 5. C 6. B 7. D 8. B 9. 10. 211. 12. -13. （1，214. 15. （）解：由 ，得 asinB=bsinA， 又 asinA=4bsi
9、nB，得 4bsinB=asinA， 两式作比得： ， a=2b 由 ，得 ， 由余弦定理，得 ； （）解：由（），可得 ，代入 asinA=4bsinB，得 由（）知， A为钝角，则 B为锐角， 于是 ， ， 故 16. （）解：由已知， x， y满足的数学关系式为 ，即 - 7 -该二元一次不等式组所表示的平面区域如图： （）解：设总收视人次为 z万，则目标函数为 z=60x+25y 考虑 z=60x+25y，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 z变化的一族平行直线 为直线在 y轴上的截距，当 取得最大值时， z的值最大 又 x， y满足约束条件， 由图可知，当直线 z=60x+25y经过可行
10、域上的点 M时，截距 最大，即 z最大 解方程组 ，得点 M的坐标为（6，3） 电视台每周播出甲连续剧 6次、乙连续剧 3次时才能使总收视人次最多17. 解：（）取 BB1的中点 F，连结 OF， EF E， O分别为 CC1， BA1的中点， OF AB， EF BC， OF平面 ABC， EF平面 ABC， AB平面ABC， BC平面 ABC， OF平面 ABC， EF平面 ABC， 又 OF平面 OEF， EF平面 OEF， OF EF=F， 平面 OEF平面 ABC， OE平面 OEF， 直线 OE平面 ABC （） AC=2CE=2， ACC1=60， AE CC1， 平面 ACC1
11、A1平面 BCC1B1，平面 ACC1A1平面 BCC1B1=CC1， AE平面 ACC1A1， - 8 - AE平面 BCC1B1， AE BE BC=CE=EC1=C1B1=1， CBB1=60， CEB=30， C1EB1=60， BEB1=90，即 BE EB1 又 AE平面 AB1E， B1E平面 AB1E， AE B1E=E， BE平面 AB1E， BE平面 ABE， 平面 ABE平面 AB1E （）作 OM AE， M为垂足，连结 BM 由（）知 OM平面 ABE， OBM即为直线 A1B与平面 ABE所成角 OM AE， EB1 AE， OM EB1，又 O为 AB1的中点，
12、OM= EB1= ， EM= AE= ， BM= ，从而 BO=2， sin OBM= ，即直线 A1B与平面 ABE所成角的正弦值为 18. 解：（ I）设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q 由已知 b2+b3=12，得 b1（ q+q2）=12，而 b1=2，所以 q+q2-6=0 又因为 q0，解得 q=2所以， bn=2n 由 b3=a4-2a1，可得 3d-a1=8 由 S11=11b4，可得 a1+5d=16， 联立，解得 a1=1， d=3，由此可得 an=3n-2 所以，数列 an的通项公式为 an=3n-2，数列 bn的通项公式为 bn=2n （ II）设
13、数列 a2nb2n-1的前 n项和为 Tn， 由 a2n=6n-2， b2n-1= 4n，有 a2nb2n-1=（3 n-1）4 n， 故 Tn=24+542+843+（3 n-1）4 n， 4Tn=242+543+844+（3 n-1）4 n+1， 上述两式相减，得-3 Tn=24+342+343+34n-（3 n-1）4 n+1 - 9 -= =-（3 n-2）4 n+1-8 得 Tn= 所以，数列 a2nb2n-1的前 n项和为 19. 证明：（1） PA平面 ABC， BE平面 ABC， PA BE AB=BC， E为 AC的中点， BE AC， 又 PA平面 PAC， AC平面 PA
14、C， PA AC=A， BE平面 PAC，又 BE平面 BED， 平面 BED平面 PAC （2） D， E是 PC， AC的中点， DE PA，又 PA平面 ABC， DE平面 ABC， EF平面 ABC， BE平面 ABC， DE EF， DE BE FEB为二面角 F-DE-B的平面角 E， F分别是 AC， AB的中点， AB=AC， EF= BC= AB=BF， EF BC 又 AB BC， BF EF， BEF为等腰直角三角形， FEB=45 二面角 F-DE-B为 45 （3） PA平面 ABC， BC平面 ABC， PA BC，又 BC AB， PA平面 PAB， AB平面 P
15、AB， PA AB=A， BC平面 PAB CPB为直线 PC与平面 PAB所成的角 PA=6， PE= =3，又 DF=5， EF= =4 AB=BC=8 - 10 - PB= =10 tan CPB= = 20. 解：（）2 Sn=n（3 a1+an）， S1=a1=a， 2 a=4a， 所以 a=0（3 分） （）由（）知 ， （ n-1） an+1=nan 当 n2 时， ， ， an=2（ n-1）， n2 a1=a=0满足上式， an=2（ n-1）， n N*（6 分） （）当 n2 时， （7 分） 又 b1=2， Tn=b1+b2+bn= （9 分） = = 所以 （10 分
16、） 因为 对一切 n N*都成立， 即 对一切 n N*都成立 （12 分） ，当且仅当 ，即 n=1时等号成立 - 11 - （14 分）【解析】1. 解：复数 z1， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1=1+2i， z2=-1+2i z1z2=（1+2 i）（-1+2 i）=-5 故选： C 利用复数的运算法则及几何意义即可求出答案 本题考查了复数的运算法则及几何意义，属于基础题2. 解：等差数列 an的公差 d0， a1=2d， ak是 a1与 a2k+7的等比中项， =a1a1+（2 k+6） d，且 a1=2d， 解得 k=5或 k=-3（舍） 故选： C 利用等差数列通项公
17、式列出方程组，由此能求出 k 本题考查等差数列的项数 k的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用3. 解： A“若 x a且 x b，则 x2-（ a+b） x+ab0”的否命题是“若 x=a或 x=b，则 x2-（ a+b） x+ab=0”，正确， B若 p q为假命题，则 p， q至少有一个为假命题，故 B错误， C命题“ x0 （0，+）ln x0=x0-1”的否定是“ x（0，+），ln x x-1，正确， D由 得 x2 或 x0，即“ x2”是“ ”的充分不必要条件，正确， 故选： B A根据否命题的定义进行判断 B根据复合命题的真假关系进行判断 C根据含有
18、量词的命题的否定进行判断 - 12 -D根据充分条件和必要条件的定义进行判断 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大4. 解：由三视图知几何体的上部为一球体，且球的直径为 2； 下部是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，且圆柱的底面圆的直径为 2，高为 3， 几何体的体积 V=V 球 +V 圆柱 -V 圆锥 = +1 23- 3= 故选 C 由三视图知几何体的上部为球，且球的直径为 2；下部是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，且圆柱的底面圆的直径为 2，高为 3，再根据体积 V=V 球 +V 圆柱 -V 圆锥 计算 本题考查了由三视图求组合体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及判
19、断相关几何量的数据5. 解：设等差数列 an的前 n项和为 Sn， S4， S8-S4， S12-S8成等差数列， 即 8，12， S12-S8成等差数列， 故 S12-S8=16， 即 a9+a10+a11+a12=16， 故选 C 易知 S4， S8-S4， S12-S8成等差数列，从而可得 S12-S8=16 本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题6. 解：要得到函数 = cos（ x- ）的图象，只需将函数 的图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍， 再再向右平行移动 个单位长度，即可， 故选： B 利用函数 y=Asin（ x+）的图象变换规律，得出结论 本题主要考查函数 y=
20、Asin（ x+）的图象变换规律，属于基础题7. 解： sin（+ ）=4cos， 可得： （sin+cos）=4cos，整理可得：tan=3， 2sin 2-sincos+cos 2= = = = 故选： D - 13 -由已知利用两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求 tan 的值，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可代入计算求值得解 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题8. 解：log 3（ an-1）为等差数列， 2log 3（ an-1）=log 3（ an-1-1）+log 3（ an+1-1）（ n2），
21、 即 （ n2）， （ n2）， 则数列 an-1为等比数列 首项为 a1-1=4-1=3，公比为 则 则 Tn= + + = = = 故选： B 由log 3（ an-1）为等差数列得到数列 an-1为等比数列，求出等比数列的通项公式后进一步得到 ，然后利用等比数列的前 n项和得答案 本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前 n项和，是中档题9. 解： A=x|x2-8x+15=0， A=3，5 又 B=x|ax-1=0， B= 时， a=0，显然 BA B 时， B= ，由于 BA - 14 - 故答案为： 本题的关键是由 A=x|x2-8x+15=0求出 A的元素，再由 B=x|ax
22、-1=0，若 BA，求出 a值，注意空集的情况 本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征10. 解： a1=1， a1， S2，5 成等差数列，2 S2=a1+5， 2（1+ q）=1+5，解得 q=2 故答案为：2 由 a1， S2，5 成等差数列，可得 2S2=a1+5，即可得出 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11. 解：在等比数列 an中， ， =4（ ）， 解得 q=2， an的前 10项和 S10= = = 故答案为： 由等比数列通项公式得公
23、比 q=2，由此能求出 an的前 10项和 S10 本题考查等比数列前 10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用12. 解：由题意可得 =21cos60=1， =（ ）（ + ）=（ ）（ - ）=- + + =- 4+ 1+1=- ， 故答案为- 由条件利用两个向量的数量积的定义求得 =1，再根据 =（ ）（ - ），运算求得结果 - 15 -本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题13. 解：在 ABC中，角 A， B， C的对边边长分别为 a， b， c且满足 csinA=acosC， 由正弦定理可得 sinC
24、sinA=sinAcosC， sin A0， sin C=cosC， C= ， B= -A，0 A ， sinA-cos（ B+ ）= sinA-cos（ -A+ ） = sinA+cosA=2sin（ A+ ）， A+ ，可得： sin（ A+ ）1， sinA-cos（ ）=2sin（ A+ ）（1，2 故答案为：（1，2 由题意和正弦定理可得 B= -A，0 A ，进而由三角函数公式可得 sinA-cos（ B+ ）=2sin（ A+ ），利用正弦函数的性质即可得解 本题考查三角函数的最值，涉及正弦定理和三角函数公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题14. 解：如图， 由 及
25、题意得，0，0，且，带入 得： ； 又 M， P， N三点共线； ，且 ，0； - 16 - = = = ，当且仅当 ，即 =2= 时取“=”； + 的最小值为 故答案为： 可画出图形，根据题意可知 ，0，从而可由 可得，从而便可得出 ，这样由 M， P， N三点共线便可得出，从而 = ，而由基本不等式即可求出 的最小值，进而便可求出 + 的最小值 考查向量的数乘运算，向量数乘的几何意义， A， B， C三点共线的充要条件：，且 x+y=1，以及基本不等式在求最值中的应用，在应用基本不等式时，注意判断等号能否取到15. （）由正弦定理得 asinB=bsinA，结合 asinA=4bsinB，
26、得 a=2b再由，得 ，代入余弦定理的推论可求 cosA的值； （）由（）可得 ，代入 asinA=4bsinB，得 sinB，进一步求得 cosB利用倍角公式求 sin2B，cos2 B，展开两角差的正弦可得 sin（2 B-A）的值 本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题16. （）直接由题意结合图表列关于 x， y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域； （）写出总收视人次 z=60x+25y化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思
27、想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题- 17 -17. （ I）取 BB1的中点 F，连结 OF， EF利用中位线定理得出 OF AB， EF BC，从而平面OEF平面 ABC，于是直线 OE平面 ABC； （ II）由等边三角形性质得出 AE CC1，由面面垂直的性质可得 AE平面 BCC1B1，于是AE BE，根据平面几何知识可得 BE B1E，于是 BE平面 AB1E，从而平面 ABE平面 AB1E； （ III）作 OM AE， M为垂足，则可证 OM平面 ABE从而 OBM即为直线 A1B与平面 ABE所成角，利用勾股定理计算 OM， BM， OB，从而得出 sin OBM 本题
28、考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，空间角的作法与计算，属于中档题18. （）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解 an和 bn的通项公式； （）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可 本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力19. （1）通过证明 BE平面 PAC得出平面 BED平面 PAC； （2）由 DE PA得出 DE平面 ABC，故 DE EF， DE BE，于是 FEB为所求二面角的平面角，根据 BEF为等腰直角三角形得出二面角的度数； （3）证明 BC平面 PAB得出 CPB为所求角，利用勾股定理得出 BC， PB即可得出tan CPB 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，空间角的计算，做出空间角是解题关键，属于中档题20. （）由 2Sn=n（3 a1+an）， S1=a1=a，能求出 a=0 （）由（）知 ，故 所以 由此能求出 an （）当 n2 时， 由 b1=2，知 Tn= =，由此能够求出 对一切 n N*都成立时，实数 m的取值范围 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化
