1、1第六章 圆6.1 圆的有关性质 学用 P64过关演练 (40 分钟 80 分)1.(2018山东青岛) 如图,点 A,B,C,D 在 O 上, AOC=140,点 B 是 的中点,则 D 的度数是 (D)A.70 B.55C.35.5 D.35【解析】连接 OB, 点 B 是 的中点, AOB= AOC=70,由圆周角定理得 12 D= AOB=35.122.(2018四川乐山) 九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就 .它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用 .书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有
2、一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深 1 寸( ED=1 寸),锯道长 1 尺( AB=1 尺 =10寸),问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算圆形木材的直径 AC 是(C)A.13 寸 B.20 寸C.26 寸 D.28 寸2【解析】设 O 的半径为 r.在 Rt ADO 中, AD=5,OD=r-1,OA=r,则有 r2=52+(r-1)2,解得 r=13,故 O 的直径为 26 寸 .3.如图,在 Rt ABC 中, ACB=90, A=56,以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 D,E 是 O 上一点,且 ,连接 OE,过点 E 作 EF
3、 OE,交 AC 的延长线于点 F,则 F 的度数为 (C)=A.92 B.108 C.112 D.124【解析】 ACB=90, A=56, B=34, , COE=2 B=68,又=EF OE, OEF=90, F=360-90-90-68=112.4.如图, O 的半径 OD 垂直于弦 AB,垂足为 C.连接 AO 并延长交 O 于点 E.连接 BE,CE,若AB=8,CD=2,则 BCE 的面积为 (A)A.12 B.15 C.16 D.18【解析】 OD AB,A C=BC= AB=4,在 Rt AOC 中,设半径 OA=OD=x,则 OC=x-2,根据勾股定12理,得( x-2)2
4、+42=x2,解得 x=5,AE= 10,AE 是 O 的直径, ABE=90,BE=6.S BCE= BCBE= 46=12.2-2=102-8212 125.如图, AB 是 O 的直径, AC,BC 分别与 O 相交于点 D,E,连接 DE,现给出两个命题: 若AC=AB,则 DE=CE; 若 C=45,记 CDE 的面积为 S1,四边形 DABE 的面积为 S2,则 S1=S2.那么 (D)A. 是真命题, 是假命题B. 是假命题, 是真命题C. 是假命题, 是假命题D. 是真命题, 是真命题【解析】由题意知四边形 DABE 是 O 的内接四边形, CDE= B,若 AC=AB,则 B
5、= C, CDE= C,DE=CE , 是真命题;连接 BD,AB 为 O 的直径, ADB=90,3 CDB=90, C=45, , C= C, CDE= B, CDE CBA,=22, =1,即 S1=S2, 为真命题 . =12四边形 6.(2018山东泰安) 如图, M 的半径为 2,圆心 M 的坐标为(3,4),点 P 是 M 上的任意一点,PA PB,且 PA,PB 与 x 轴分别交于 A,B 两点,若点 A、点 B 关于原点 O 对称,则 AB 的最小值为 (C)A.3 B.4C.6 D.8【解析】 PA PB, APB=90,AO=BO ,AB= 2PO,若要使 AB 取得最小
6、值,则 PO 需取得最小值,连接 OM,交 M 于点 P,当点 P 位于 P位置时, OP取得最小值,过点 M 作 MQ x 轴于点 Q,则 OQ=3,MQ=4,OM= 5,又 MP= 2,OP= 3,AB= 2OP=6.7.(2018吉林) 如图, A,B,C,D 是 O 上的四个点, ,若 AOB=58,则 BDC= 29 =. 【解析】连接 OC. , AOB= BOC=58, BDC= BOC=29.= 128.如图, AB 是 O 的弦,半径 OC AB 于点 D,且 AB=8 cm,DC=2 cm,则 OC= 5 cm. 【解析】连接 OA,因为半径 OC AB 于点 D,所以 A
7、D= AB=4 cm,设 O 的半径为 x cm,在12Rt OAD 中, OA2=OD2+AD2,即 x2=(x-2)2+42,解得 x=5,所以 OC=5 cm.49.(2018湖北黄冈) 如图, ABC 内接于 O,AB 为 O 的直径, CAB=60,弦 AD 平分 CAB,若AD=6,则 AC= 2 . 3【解析】连接 BD.AB 是直径, C= D=90, CAB=60,AD 平分 CAB, DAB=30,AB=AD cos 30=4 ,AC=AB cos 60=2 .3 310.如图,边长为 4 的正方形 ABCD 内接于 O,点 E 是 上的一个动点(不与点 A,B 重合),点
8、F 是 上的一点 ,连接 OE,OF,分别与 AB,BC 交于点 G,H,且 EOF=90,有下列结论: ;= OGH 是等腰直角三角形; 四边形 OGBH 的面积随着点 E 位置的变化而变化; GBH 周长的最小值为 4- .2其中正确的是 .(把你认为正确结论的序号都填上) 【解析】连接 OA,OB,则有 AOB=90,又 EOF=90,所以 AOE= BOF,所以 ,故 =正确;连接 OC,则 OBG= OCH=45,OB=OC, BOG= COH,所以 OBG OCH,所以 OG=OH,OGH 是等腰直角三角形,故 正确;由 OBG OCH,得 S 四边形 OGBH=S OBG+S O
9、BH=S OCH+SOBH=S OBC= 42=4,所以四边形 OGBH 的面积随着点 E 位置的变化而不变 ,故 错误;设 BG=x,14则 BH=4-x,GH= ,由于2+2=2+(4-)2=22-8+16=2(-2)2+8BG+BH=x+4-x=4,所以 GBH 的周长取最小值时,只需 GH 取最小值,这时 x=2,GH 的最小值为 2,所以 GBH 的周长的最小值为 4+2 ,故 错误 .2 211.(8 分)如图, MN 是 O 的直径, MN=4,点 A 在 O 上, AMN=30,点 B 为 的中点, P 是直径 MN 上一动点 .(1)利用尺规作图,确定当 PA+PB 最小时
10、P 点的位置;(不写作法,但要保留作图痕迹)(2)求 PA+PB 的最小值 .5解:(1)如图,点 P 即为所求 .(2)如图,连接 OA,OA,OB.由(1)可得, PA+PB 的最小值即为线段 AB 的长, AMN=30, AON= AON=2 AMN=60.又 点 B 为 的中点 , BON= AON=30, AOB=90.12又 MN= 4,OB=OA= 2.在 Rt AOB 中,由勾股定理得 AB= =2 .22+22 2PA+PB 的最小值是 2 .212.(8 分)如图, AB 是半圆的直径, O 是圆心, C 是半圆上一点, D 是弧 AC 中点, OD 交弦 AC 于点E,连
11、接 BE,若 AC=8,DE=2.(1)求半圆的半径长;(2)求 BE 的长度 .解:(1)设圆的半径为 r,D 是弧 AC 的中点,OD AC,AE= AC=4,12在 Rt AOE 中, OA2=OE2+AE2,即 r2=(r-2)2+42,解得 r=5,即圆的半径长为 5.(2)连接 BC,AO=OB ,AE=EC,BC= 2OE=6,AB 是半圆的直径, ACB=90,BE= =2 .2+2 1313.(10 分)如图, AB 是 O 的直径, C,D 是 O 上的点,且 OC BD,AD 分别与 BC,OC 相交于点E,F.(1)求证: CB 平分 ABD;(2)若 AB=6,OF=
12、1,求 CE 的长 .6解:(1) OC BD, C= DBC,OC=OD , C= OBC, OBC= DBC,CB 平分 ABD.(2)OF BD,OA=OB,OF 为 ABD 的中位线, BD= 2OF=2,AB 是 O 的直径, ADB=90,在 Rt ABD 中, AD= =4 ,DF= 2 ,62-22 2 2而 CF=OC-OF=3-1=2,CF=BD ,在 CEF 和 BDE 中, =,=,=, CEF BED,DE=EF= ,2在 Rt CEF 中, CE= .22+(2)2=614.(10 分)如图,点 C 为 ABD 外接圆上的一动点(点 C 不在 上,且不与点 B,D
13、重合), ACB= ABD=45.(1)求证: BD 是该外接圆的直径;(2)连接 CD,求证: AC=BC+CD;2(3)若 ABC 关于直线 AB 的对称图形为 ABM,连接 DM,试探究 DM2,MA2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论 .解:(1) ADB= ACB=45,且 ABD=45, ABD+ ADB=90, BAD=90,BD 是 ABD 外接圆的直径 .(2)如图 1,作 AE AC,交 CB 的延长线于点 E. EAC= BAD=90, EAB+ BAC= DAC+ BAC, EAB= DAC.由 ACB= ABD=45,可得 ACE 与 ABD 是等腰直角三
14、角形,AE=AC ,AB=AD, ABE ADC,CD=BE.在等腰 Rt ACE 中,由勾股定理,得 CE= AC.2CE=BC+BE , AC=BC+CD.2(3)DM2=BM2+2MA2.7证明:如图 2,延长 MB 交圆于点 F,连接 AF,DF. BFA= ACB= BMA=45, MAF=90,MA=AF,MA 2+AF2=2MA2=MF2.又 AC=MA=AF , ,=又 , , ,DF=BC=BM.= = =BD 是直径, BFD=90.在 Rt MDF 中,由勾股定理,得 DM2=DF2+MF2,DM 2=BM2+2MA2.名师预测1.如图, O 中, OA BC, AOC=
15、50,则 ADB 的度数为 (B)A.15 B.25 C.30 D.50【解析】连接 OB,OA BC, AOC=50, AOB= AOC=50,则 ADB= AOB=25.122.如图所示, O 的半径为 13,弦 AB 的长度是 24,ON AB,垂足为 N,则 ON=(A)A.5 B.7C.9 D.11【解析】因为 ON AB,所以 AN= AB= 24=12, ANO=90.在 Rt AON 中,由勾股定理得12 12ON= =5.2-2=132-1223.如图,点 A,B,C,D 在 O 上, , CAD=30, ACD=50,则 ADB= 70 . =8【解析】 , CAD=30,
16、 CAD= CAB=30, DBC= DAC=30, ACD=50,= ABD=50, ACB= ADB=180- CAB- ABC=180-50-30-30=70.4.如图,在四边形 ABCD 中, AD=BC, B= D,AD 不平行于 BC,过点 C 作 CE AD 交 ABC 的外接圆 O 于点 E,连接 AE.(1)求证:四边形 AECD 为平行四边形;(2)连接 BE,若 AD= ,sin EBC= ,求 O 的半径 .365 2425解:(1) CE AD, ACE= CAD, B= AEC, B= D, AEC= D, EAC= ACD,AE CD, 四边形 AECD 为平行四
17、边形 .(2)作 OH CE 于点 H,连接 OE,OC,如图,则 EH=CH= CE,12CE=AD= ,EH= ,365 185 EOC=2 EBC, EOH= COH, EOH= EBC,在 Rt EOH 中,sin EOH= ,=2425OE= ,即 O 的半径为 .2524185=154 1545.如图,以 ABC 的一边 AB 为直径的半圆与 AC,BC 的交点分别为点 D,E,且 .=(1)试判断 ABC 的形状,并说明理由;(2)已知半圆的半径为 5,BC=12,求 sin ABD 的值 .9解:(1) ABC 是等腰三角形 .理由: , EBD= EDB.=AB 是 O 的直
18、径, ADB=90. CDE+ EDB= C+ EBD=90. CDE= C. 四边形 ABED 内接于 O, CDE= CBA, C= CBA,AC=AB , ABC 是等腰三角形 .(2) CDE= C,CE=DE. ,DE=EB ,CE=EB= BC= 12=6.= 12 12 O 的半径是 5,AC=AB= 10. CDE= CBA, C= C, CDE CBA, ,即 ,解得 CD=7.2.=12=610AD=AC-CD= 10-7.2=2.8. 在 Rt ADB 中,sin ABD= .=2.810=7256.如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, BC 的延长线与 AD
19、的延长线交于点 E,且 DC=DE.(1)求证: A= AEB;(2)连接 OE,交 CD 于点 F,OE CD,求证: ABE 是等边三角形 .解:(1) 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, A+ BCD=180. DCE+ BCD=180, A= DCE.DC=DE , DCE= AEB. A= AEB.(2) A= AEB, ABE 是等腰三角形 .EO CD,CF=DF.10EO 是 CD 的垂直平分线 .ED=EC.DC=DE ,DC=DE=EC. DCE 是等边三角形 . AEB=60. ABE 是等边三角形 .7.如图,四边形 ABCD 内接于 O,点 E 在对角线 AC
20、上, EC=BC=DC.(1)若 CBD=39,求 BAD 的度数;(2)求证:1 =2 .解:(1) BC=DC , .= BAC= CAD= CBD. CBD=39, BAC= CAD=39. BAD= BAC+ CAD=78.(2)EC=BC , CBE= CEB. CBE=1 + CBD, CEB=2 + BAC, 1 + CBD=2 + BAC.又 BAC= CBD, 1 =2 .8.如图,已知 O 是 ABC 的外接圆, ,点 D 在 BC 上, AE BC,AE=BD.=(1)求证: AD=CE;(2)如果点 G 在线段 CD 上(不与点 D 重合),且 AG=AD,求证:四边形
21、 AGCE 是平行四边形 .解:(1)在 O 中, ,AB=AC , B= ACB.=AE BC, EAC= ACB, B= EAC.又 BD=AE , ABD CAE,AD=CE.(2)解法 1:连接 AO 并延长交边 BC 于点 H,11 ,OA 是半径, AH BC,BH=CH.=AD=AG ,DH=HG ,BH-DH=CH-GH ,即 BD=CG.BD=AE ,CG=AE.又 CG AE, 四边形 AGCE 是平行四边形 .解法 2: ABD CAE, ACE= BAD, B= ACB, B+ BAD= ACE+ ACB,又 B+ BAD= ADC, ACE+ ACB= BCE, BC
22、E= ADC.AG=AD , ADC= AGB, AGB= BCE,AG CE,又 CG AE, 四边形 AGCE 是平行四边形 .9.已知 O 上两个定点 A,B 和两个动点 C,D,AC 与 BD 交于点 E.(1)如图 1,求证: EAEC=EBED;(2)如图 2,若 ,AD 是 O 的直径,求证: ADAC=2BDBC;=(3)如图 3,若 AC BD,点 O 到 AD 的距离为 2,求 BC 的长 .解:(1) ABD= ACD, BAC= CDB, ABE DCE, ,=EA EC=EBED.(2)连接 OB,OB=OD , DBO= BDO,又 ,= BAC= BCA= BDO= DBO, ABC DOB, ,=2AD AC=2BDBC.(3)作直径 AM,连接 DM,过点 O 作 OF AD,垂足为 F,则 F 是 AD 的中点,又 O 是 AM 的中点, DM= 2OF=4,AC BD,AM 为直径, ABD+ BAC= AMD+ MAD=90,12又 ABD= AMD, BAC= MAD,BC=DM= 4.
