1、16.2 与圆有关的位置关系过关演练 (40 分钟 90 分)1.(2018湖南湘西州) 已知 O 的半径为 5 cm,圆心 O 到直线 l 的距离为 5 cm,则直线 l 与 O 的位置关系为 (B)A.相交 B.相切C.相离 D.无法确定【解析】 圆心到直线的距离 =圆的半径, 直线和圆相切 .2.如图为 44 的网格图, A,B,C,D,O 均在格点上,点 O 是 (B)A. ACD 的外心 B. ABC 的外心C. ACD 的内心 D. ABC 的内心【解析】如图,点 O 是 ABC 的边 AC 的垂直平分线和边 BC 的垂直平分线的交点,即点 O 是 ABC 的外心 .3.(2018
2、广东深圳) 如图,一把直尺,60的直角三角板和光盘如图摆放, A 为 60角与直尺交点, AB=3,则光盘的直径是 (D)2A.3 B.3 3C.6 D.6 3【解析】设三角板与圆的切点为 C,光盘的圆心为 O,连接 OA,OB,由切线长定理知AB=AC=3,OA 平分 BAC, OAB=60,在 Rt ABO 中, OB=ABtan OAB=3 , 光盘的直径3为 6 .34.(2018山东泰安) 如图, BM 与 O 相切于点 B,若 MBA=140,则 ACB 的度数为 (A)A.40 B.50 C.60 D.70【解析】连接 OA,OB,BM 是 O 的切线, OBM=90, MBA=
3、140, ABO=50,OA=OB , ABO= BAO=50, AOB=80, ACB= AOB=40.125.如图,两个同心圆,大圆的半径为 5,小圆的半径为 3,若大圆的弦 AB 与小圆有公共点,则弦AB 的取值范围是 (D)A.4AB5 B.8AB10C.4 AB5 D.8 AB10【解析】 大圆的弦 AB 与小圆有公共点,即弦 AB 与小圆相切或相交 .当 AB 与小圆相切时,AB 最小, 大圆半径为 5,小圆的半径为 3,AB 的最小值为 2 =8.当 AB 过圆心时,52-32AB 最大,为 10, 8 AB10 .6.如图, AB 是 O 的直径, AM,BN 是 O 的两条切
4、线,点 D,点 C 分别在 AM,BN 上, DC 切 O 于点 E.连接 OD,OC,BE,AE,BE 与 OC 相交于点 P,AE 与 OD 相交于点 Q,已知 AD=4,BC=9.以下结论: O 的半径为 ;OD BE;PB= ; tan CEP= .其中正确的有 (B)132 181313 23A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【解析】由切线长定理可知 AD=DE=4,BC=CE=9,DC= 4+9=13,过点 D 作 DH BC 于点H,HC= 9-4=5,DH= =12,即 AB=12, O 的半径为 =6,故 错误;由切线长定132-52122理可知 OD AE, A
5、QO=90,又 AB 为直径, AEB=90, AQO= AEB,OD BE,故 正确;在 Rt AOD 中, AO= 6,AD=4,OD= =2 , cos ADO= ,又42+62 13= 4213=213 CBE= CEB= CDO= ADO, cos CBE= ,解得 BP= ,故 正确;在 Rt=213 1813133AOD 中,tan ADO= ,又 OD BE, CEP= CDO= ADO, tan CEP= ,故 错=64=32 32误 .7.(2018黑龙江大庆) 在 ABC 中, C=90,AB=10,且 AC=6,则这个三角形的内切圆半径为 2 . 【解析】 C=90,A
6、B=10,AC=6,BC= =8, 这个三角形的内切圆半径 =102-62=2.6+8-1028.(2018山东威海) 如图,在扇形 CAB 中, CD AB,垂足为 D, E 是 ACD 的内切圆,连接AE,BE,则 AEB 的度数为 135 . 【解析】连接 EC. 点 E 是 ADC 的内心, AEC=90+ ADC=135,在 AEC 和 AEB12中, EAC EAB, AEB= AEC=135.=,=,=, 9.如图,在 Rt ABC 中, C=90,BC=3,点 O 在 AB 上, OB=2,以 OB 长为半径的 O 与 AC 相切于点 D,交 BC 于点 F,OE BC,则弦
7、BF 的长为 2 . 【解析】连接 OD, O 与 AC 相切, OD AC, C=90,OE BC, 四边形 CDOE 是矩形,OD=OB= 2,CE=OD= 2,BC= 3,BE= 1,BF= 2.10.如图,给定一个半径为 2 的圆,圆心 O 到水平直线 l 的距离为 d,即 OM=d.我们把圆上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数记为 m.如 d=0 时, l 为经过圆心 O 的一条直线,此时圆上有四个到直线 l 的距离等于 1 的点,即 m=4.由此可知:(1)当 d=3 时, m= 1 ; (2)当 m=2 时, d 的取值范围是 1d3 . 【解析】(1)当 d=3 时,又圆的
8、半径为 2,则圆上只有一个到直线 l 的距离等于 1 的点,所以m=1;(2)当 m=2 时,即圆上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 2,这时 d 的取值范围是1d3.411.如图,在平面直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为(0,3),(4,3),(0, -1),则 ABC 外接圆的圆心坐标为 (2,1) . 【解析】作弦 AB,AC 的垂直平分线,根据垂径定理的推论,则交点 O1即为圆心, 点 A,B,C的坐标分别为(0,3),(4,3),(0, -1),O 1的坐标是(2,1) .12.如图,在 AOB 中, O=90,AO=8 cm,BO=6 cm,点 C 从 A 点出发,
9、在边 AO 上以 2 cm/s 的速度向 O 点运动;与此同时,点 D 从点 B 出发,在边 BO 上以 1.5 cm/s 的速度向 O 点运动 .过OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF,则当点 C 运动了 s 时,以 C 点为圆心、1 .5 cm 为半径的178圆与直线 EF 相切 . 【解析】设运动时间为 t,则 AC=2t,BD=1.5t,OC=8-2t,OD=6-1.5t, , O= O, OCD OAB, OCD= A,EF CD, EFC= O=90,= EFC BOA, ,CE= OC=4-t,CF= (4-t),当 CF=1.5 时,直线 EF 与圆相切,= 12 45 (
10、4-t)=1.5,解得 t= .45 17813.(8 分) (2018辽宁抚顺) 如图,Rt ABC 中, ABC=90,以 AB 为直径作 O,点 D 为 O上一点,且 CD=CB,连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E.(1)判断直线 CD 与 O 的位置关系,并说明理由;(2)若 BE=4,DE=8,求 AC 的长 .解:(1)连接 OC.CB=C D,CO=CO,OB=OD, OCB OCD, ODC= OBC=90,OD DC,DC 是 O 的切线 .(2)设 O 的半径为 r.在 Rt OBE 中, OE 2=EB2+OB2, (8-r)2=r2+42,r= 3,5 tan
11、 E= , ,=34=8CD=BC= 6,在 Rt ABC 中, AC= =6 .2+2=62+62 214.(8 分) (2018天津) 已知 AB 是 O 的直径,弦 CD 与 AB 相交, BAC=38.(1)如图 1,若 D 为 的中点,求 ABC 和 ABD 的大小;(2)如图 2,过点 D 作 O 的切线,与 AB 的延长线交于点 P,若 DP AC,求 OCD 的大小 .解:(1) AB 是 O 的直径,弦 CD 与 AB 相交, BAC=38, ACB=90, ABC=90-38=52,D 为 的中点, AOB=180, AOD=90, ABD=45.(2)连接 OD,DP 切
12、 O 于点 D,OD DP,即 ODP=90,由 DP AC,又 BAC=38, P= BAC=38, AOD 是 ODP 的一个外角, AOD= P+ ODP=128, ACD=64,OC=OA , BAC=38, OCA= BAC=38, OCD= ACD- OCA=64-38=26.15.(10 分) (2018湖北黄石) 如图,已知 A,B,C,D,E 是 O 上五点, O 的直径BE=2 , BCD=120,A 为 的中点,延长 BA 到点 P,使 BA=AP,连接 PE.3(1)求线段 BD 的长;(2)求证:直线 PE 是 O 的切线 .解:(1)连接 DE, BCD+ DEB=
13、180, DEB=180-120=60,BE 为直径, BDE=90,在 Rt BDE 中, DE= BE= 2 ,12 12 3=3BD= DE= =3.3 336(2)连接 EA,BE 为直径, BAE=90,A 为 的中点, ABE=45,BA=AP ,EA BA, BEP 为等腰直角三角形, PEB=90,PE BE, 直线 PE 是 O 的切线 .16.(10 分)已知 A,B,C 是 O 上的三个点,四边形 OABC 是平行四边形,过点 C 作 O 的切线,交 AB 的延长线于点 D.(1)如图 1,求 ADC 的大小;(2)如图 2,经过点 O 作 CD 的平行线,与 AB 交于
14、点 E,与 交于点 F,连接 AF,求 FAB 的大小 .解:(1) CD 是 O 的切线, C 为切点,OC CD,即 OCD=90. 四边形 OABC 是平行四边形,AB OC,即 AD OC. ADC=90.(2)连接 OB,则 OB=OA=OC. 四边形 OABC 是平行四边形, OC=AB.OA=OB=AB ,即 AOB 是等边三角形 . AOB=60.由 OF CD, ADC=90,得 AEO= ADC=90.OF AB, ,= FOB= FOA= AOB=30,12 FAB= FOB=15.12名师预测1.如图, AB 是 O 的直径,直线 PA 与 O 相切于点 A,PO 交
15、O 于点 C,连接 BC,若 P=40,则 ABC 的度数为 (B)7A.20 B.25 C.40 D.50【解析】 PA 是切线, P=40,AB 是 O 的直径, PAO=90, POA=50, ABC= POA=25.122.如图, AB 是 O 的弦, AC 是 O 的切线, A 为切点, BC 经过圆心 .若 B=20,则 C 的大小等于(D)A.20 B.25 C.40 D.50【解析】连接 OA,AC 是 O 的切线, OAC=90, B=20, AOC=40, C=50.3.如图,在矩形 ABCD 中, AB=4,AD=5,AD,AB,BC 分别与 O 相切于 E,F,G 三点
16、,过点 D 作 O的切线交 BC 于点 M,切点为 N,则 DM 的长为 (A)A. B.133 92C. D.24133 5【解析】连接 OE,OF,ON,OG,如图,在矩形 ABCD 中, A= B=90,CD=AB=4.AD ,AB,BC 分别与 O 相切于 E,F,G 三点, AEO= AFO= OFB= BGO=90, 四边形 AFOE,FBGO 都是正方形, AF=BF=AE=BG= 2,DE= 3,DM 是 O 的切线, DN=DE= 3,MN=MG,CM= 5-2-MN=3-MN,在 Rt DMC 中, DM2=CD2+CM2, (3+MN)2=(3-MN)2+42,解得 MN
17、= ,DM= 3+ .43 43=1334.如图, AB 为 O 的直径,直线 l 与 O 相切于点 C,AD l,垂足为 D,AD 交 O 于点 E,连接OC,BE.若 AE=6,OA=5,则线段 DC 的长为 4 . 8【解析】设 OC 交 BE 于点 F.AB 为 O 的直径, AEB= DEF=90, 直线 l 与 O 相切于点 C,OC l,又 AD l, 四边形 CDEF 是矩形, OC BE,EF=DC.在 Rt ABE 中,AB=2OA=10,AE=6,BE= =8,EF= BE=4,CD=EF= 4.2-2=102-62125.如图, M 与 x 轴相交于点 A(2,0),B
18、(8,0),与 y 轴相切于点 C,则圆心 M 的坐标是 (5,4) . 【解析】连接 AM,作 MN x 轴于点 N,AN=BN. 点 A(2,0),点 B(8,0),OA= 2,OB=8,AB=OB-OA= 6,AN=BN= 3,ON=OA+AN= 2+3=5, 点 M 的横坐标是 5. M 与y 轴相切, 圆的半径是 5.在 Rt AMN 中, MN= =4, 点 M 的纵坐标2-2=52-32是 4,即点 M 的坐标是(5,4) .6.如图, AB 是 O 的切线, B 为切点,圆心 O 在 AC 上, A=30,D 为 的中点 .(1)求证: AB=BC;(2)试判断四边形 BOCD
19、 的形状,并说明理由 .解:(1) AB 是 O 的切线, OBA=90, AOB=90-30=60.OB=OC , OBC= OCB= AOB=30, OCB= A,12AB=BC.(2)四边形 BOCD 为菱形 .理由:连接 OD,交 BC 于点 M,D 是 的中点 ,OD 垂直平分 BC.在 Rt OMC 中, OCM=30,OC= 2OM=OD,OM=MD , 四边形 BOCD 为菱形 .7.如图,已知 A,B 是 O 上两点, OAB 外角的平分线交 O 于另一点 C,CD AB 交 AB 的延长线于点 D.9(1)求证: CD 是 O 的切线;(2)E 为 的中点, F 为 O 上
20、一点, EF 交 AB 于点 G,若 tan AFE= ,BE=BG,EG=3 ,求 O 34 10的半径 .解:(1)连接 OC,如图,BC 平分 OBD, OBC= CBD,OB=OC , OBC= OCB, OCB= CBD,OC AD,CD AB,OC CD,CD 是 O 的切线 .(2)连接 OE,交 AB 于点 H,E 为 的中点, OE AB, ABE= AFE, tan ABE=tan AFE= ,34 在 Rt BEH 中,tan HBE= .=34设 EH=3x,BH=4x,BE= 5x,BG=BE= 5x,GH=x ,在 Rt EHG 中, x2+(3x)2=(3 )2,
21、解得 x=3,10EH= 9,BH=12,设 O 的半径为 r,则 OH=r-9,在 Rt OHB 中,( r-9)2+122=r2,解得 r= ,252即 O 的半径为 .2528.如图,在 ABC 中, C=90,以 AB 上一点 O 为圆心, OA 长为半径的圆恰好与 BC 相切于点D,分别交 AC,AB 于点 E,F.(1)若 B=30,求证:以 A,O,D,E 为顶点的四边形是菱形;(2)若 AC=6,AB=10,连接 AD,求 O 的半径和 AD 的长 .10解:(1)如图 1,连接 OD,OE,ED.BC 与 O 相切于点 D,OD BC. ODB=90= C,OD AC. B=
22、30, A=60.OA=OE , AOE 是等边三角形,AE=AO=OD , 四边形 AODE 是平行四边形 .又 OA=OD , 四边形 AODE 是菱形 .(2)设 O 的半径为 r.OD AC, OBD ABC. ,即 ,解得 r= ,=6=10-10 154 O 的半径为 .154如图 2,连接 OD,DF.OD AC, DAC= ADO.OA=OD , ADO= DAO. DAC= DAO.AF 是 O 的直径, ADF=90= C. ADC AFD, ,=AD 2=ACAF.AC= 6,AF= 2= ,154 152AD 2= 6=45,AD= 3 .152 59.如图,在 ABC
23、 中, AB=AC,AO BC 于点 O,OE AB 于点 E,以点 O 为圆心, OE 为半径作半圆,交 AO 于点 F.(1)求证: AC 是 O 的切线;11(2)若 F 是 OA 的中点, OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点 P 是 BC 边上的动点,当PE+PF 取最小值时,直接写出 BP 的长 .解:(1)作 OH AC 于点 H,如图,AB=AC ,AO BC 于点 O,AO 平分 BAC,OE AB,OH AC,OH=OE ,AC 是 O 的切线 .(2)F 是 AO 的中点, AO= 2OF=6,OE= 3, OAE=30, AOE=60,AE= OE
24、=3 ,3 3 图中阴影部分的面积 =S AOE-S 扇形 EOF= 33 .12 36032360=93-32(3)作 F 点关于 BC 的对称点 F,连接 EF交 BC 于点 P,连接 PF,如图,PF=PF ,PE+PF=PE+PF=EF ,此时 EP+FP 最小,OF=OF=OE , F= OEF, AOE= F+ OEF=60, F=30, F= EAF,EF=EA= 3 ,3即 PE+PF 的最小值为 3 ,3在 Rt OPF中, OP= OF= ,33 3在 Rt ABO 中, OB= OA= 6=2 ,33 33 3BP= 2 ,33=3即当 PE+PF 取最小值时, BP 的长为 .3
