1、1单元综合检测四 三角形(80分钟 120分)一、选择题(每小题 4分,满分 32分)1.如图,直线 a b,1 =50,2 =28,则3 的度数是 (A)A.22 B.28C.50 D.30【解析】如图, a b, 4 =1 =50,由三角形的外角性质得3 =4 -2 =50-28=22.2.在 ABC中, ABC=30,AB边长为 10,AC边的长度可以在 3,5,7,9,11中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是 (D)A.3 B.4 C.5 D.6【解析】如图,过点 A作 AD BC于点 D, ABC=30,AB=10, AD= AB=5.当 AC=3时,没有12符合条件的三角
2、形;当 AC=5时,可作 1个三角形;当 AC=7时,可作 2个三角形;当 AC=9时,可作 2个三角形;当 AC=11时,可作 1个三角形 .所以满足条件的互不全等的三角形共有1+2+2+1=6个 .3.若一个角的补角比它余角的 4倍还多 15,则这个角的度数是 (C)A.45 B.55 C.65 D.75【解析】设这个角的度数是 x,根据题意得 180-x=4(90-x)+15,解得 x=65.4.如图, BC EF,AC DF,添加下列一个条件,仍不能判断 ABC DEF的是 (B)2A.AD=BE B. C= FC.AC=DF D.BC=EF【解析】 BC EF,AC DF, ABC=
3、 DEF, BAC= EDF,根据全等三角形的判定方法,添加选项 B中的 C= F,不能判断 ABC DEF.5.如图,四边形 ABCD和 ABCD是以点 O为位似中心的位似图形,若 OAOA= 2 3,则四边形 ABCD和 ABCD的面积比为 (A)A.4 9 B.2 5C.2 3 D. 2 3【解析】四边形 ABCD和 ABCD的相似比为 2 3,所以四边形 ABCD和 ABCD的面积比为 4 9.6.点 D,E分别在等边 ABC的边 BC,AC上, BD=CE,AD与 BE相交于点 O,则 AOE的度数是(C)A.30 B.45 C.60 D.75【解析】由等边 ABC得 ABC=60,
4、易证 ABD BCE,得 BAD= CBE, AOE= BAD+ ABE= CBE+ ABE=60.7.如图,已知 ABC中, ACB=90,AC=BC=2,将直角边 AC绕点 A逆时针旋转至 AC,连接BC,E为 BC的中点,连接 CE,则 CE的最大值为 (B)A. B. +15 2C. +1 D. +122 52【解析】取 AB的中点 M,连接 CM,EM, 当 CE=CM+EM时, CE的值最大, 将直角边 AC绕点 A逆时针旋转至 AC,AC=AC= 2,E 为 BC的中点, EM= AC=1, ACB=90,12AC=BC=2,AB= 2 ,CM= AB= ,CM+EM= +1.2
5、12 2 238.如图,在 ABC中, ACB=90,AC=BC,O是 AB的中点, D,E分别是边 AC,BC上的动点 .下列结论: 若 DOE=90,则四边形 CDOE的面积是定值; 若 AD=CE,则 DOE=90; 若 DOE=45,则 AOD与 BEO相似; 若 AOD与 BEO相似,则 DOE=45.其中正确的是(C)A. B. C. D.【解析】连接 OC.AC=BC ,O是 AB的中点, OC AB, ACB=90,OC=AO=BO , A= ACO= BCO= B=45. DOE=90, AOD= COE, AOD COE,S 四边形 CDOE=S COE+S COD=S A
6、OD+S COD=S AOC= S ABC,即四边形 CDOE的面积是定值,故 正确;12AD=CE ,易证 AOD COE,由 OC AB可得 DOE=90,故 正确; DOE=45, AOD+ BOE=135, AOD+ ADO=135, BOE= ADO, A= B, AOD BEO,故 正确; AOD与 BEO相似分两种情况: AOD BEO或 AOD BOE,故 不正确 .二、填空题(每小题 5分,满分 15分)9.如图, AB=AC,AB的垂直平分线 ED交 AC于点 D,若 CBD=30,则 A的度数为 40 . 【解析】设 A的度数为 x,ED 垂直平分 AB,AD=BD ,
7、A= ABD=x,又AB=AC, ACB= ABC=x+30,根据题意得 x+2(x+30)=180,解得 x=40,即 A=40.10.如图,在平行四边形 ABCD中, E是 AD边上的一点,连接 BE并延长,交 CD的延长线于点 F,若 AEED= 2 1且平行四边形 ABCD的面积为 24,则 DEF的面积是 2 . 【解析】 EDAE= 1 2,AB CD, DEF AEB, ,AD BC,AD=BC, =14DEF CBF, , ,S AEB=4S DEF,S 四边形 BCDE=8S DEF, 4S DEF+8S DEF=24,解=13 =19得 S DEF=2.11.如图, D,E
8、分别是 ABC的边 BC和 AB上的点, ABD与 ACD的周长相等, CAE与 CBE的周长相等 .设 BC=a,AC=b,AB=c,给出以下几个结论:4 如果 AD是 BC边中线,那么 CE是 AB边中线; AE 的长度为 ;BD 的长度为+-2; 若 BAC=90, ABC的面积为 S,则 S=AEBD.+-2其中正确的结论是 .(将正确结论的序号都填上) 【解析】当 AD是 BC边中线时,则 BD=CD, ABD与 ACD的周长相等, AB=AC ,但此时不能得出 AC=BC,即不能得出 CE是 AB的中线,故 不正确; ABD与 ACD的周长相等,BC=a,AC=b,AB=c,AB+
9、BD+AD=AC+CD+AD ,AB+BD=AC+CD ,AB+BD+CD+AC=a+b+c ,AB+BD=AC+CD= ,BD= -c= ,同理 AE= ,故 正确;当+2 +2 +-2 +-2 BAC=90时,则 b2+c2=a2,AE BD= a+(c-b)a-(c-b)+-2 +-2 =14= a2-(c-b)2= a2-(c2+b2-2bc)= 2bc= bc=S,故 正确 .14 14 14 12三、解答题(满分 73分)12.(8分)计算:sin 2 45+3tan 30-3tan 60cos 30.解:原式 = +3 -3(22)2 33 332=12+392=-4+ .313
10、.(12分)如图 1,直线 l上有两个点 A,B,图中有 =1条线段;如图 2,直线 l上有三个212点 A,B,C,图中有 =3条线段;如图 3,直线 l上有四个点 A,B,C,D,图中有 =6条线322 432段; .(1)图 4中有多少条线段?(2)猜想:若直线 l上有 n个不同的点,则图中有 条线段 .(用含 n的代数式表示) (3)应用:春节期间,10 位朋友之间互通电话问候,且每两位朋友之间只通一次电话,则这 10位朋友之间需通多少次电话?解:(1) =10(条) .542(2) .(-1)2(3)当 n=10时, =45(次) .(-1)2 =1092 这 10位朋友之间需通 4
11、5次电话 .14.(12分)如图,在 ABC中, AB=AC,AD为 BC边上的中线, DE AB于点 E.(1)求证: BDE CAD.(2)若 AB=13,BC=10,求线段 DE的长 .5解:(1) AB=AC ,BD=CD,AD BC, B= C,DE AB, DEB= ADC, BDE CAD.(2)AB=AC ,BD=CD,AD BC,在 Rt ADB中, AD= =12,2-2=132-52 ADBD= ABDE,12 12DE= .601315.(13分)男生女生向前冲是安徽卫视重磅推出的大型户外竞技类真人秀节目,一经推出就受到全国电视观众的青睐 .体育爱好者小张站在 200米
12、高的楼房( CD)的顶端 C处测得冲关赛道“亚洲一号”的起点 A的俯角是 45,测得终点 B的俯角是 30.(1)求冲关赛道“亚洲一号” AB的长度 .(结果保留根号)(2)预计冲关时间在 60秒之内(含 60秒)即可夺得 2018年冲关王 .小张在保证不落水的前提下,要想夺得 2018年冲关王,他冲关的平均速度至少是多少米 /秒?(结果精确到 0.1,参考数据: 1 .41, 1 .73)2 3解:(1)在 Rt ACD中, tan 45= ,AD=CD= 200.在 Rt BCD中, tan 30= ,BD= =200 . 30 3AB=BD-AD= (200 -200)米 .3答:冲关赛
13、道“亚洲一号” AB的长度为(200 -200)米 .3(2)设小张冲关的平均速度为 x米 /秒,根据题意,得 60x200 -200,解得 x2 .4.3答:小张要想夺得 2018年冲关王,他冲关的平均速度至少是 2.4米 /秒 .16.(14分)已知在四边形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于点 E,且 AC BD,作 BF CD,垂足为F,BF与 AC交于点 G, BGE= ADE.(1)如图 1,求证: AD=CD;6(2)如图 2,BH是 ABE的中线,若 AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图 2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于 ADE面积
14、的 2倍 .解:(1) BGE= ADE, BGE= CGF, ADE= CGF,AC BD,BF CD, ADE+ DAE= CGF+ GCF, DAE= GCF,AD=CD.(2) ACD, ABE, BCE, BHG.17.(14分)已知在 ABC中, A=90,AB=AC,D为 BC的中点 .(1)如图 1,若点 E,F分别为 AB,AC上的点,且 DE DF,求证: BE=AF.(2)若点 E,F分别为 AB,CA延长线上的点,且 DE DF,那么 BE=AF吗?请利用图 2说明理由 .解:(1)连接 AD. A=90,AB=AC, ABC为等腰直角三角形, EBD=45.D 为 BC的中点,AD= BC=BD, FAD=45.12 BDE+ EDA=90, EDA+ ADF=90, BDE= ADF.在 BDE和 ADF中, =,=,=, BDE ADF(ASA),BE=AF.(2)BE=AF.理由:连接 AD,如图所示 . ABD= BAD= CAD=45,7 EBD= FAD=135. EDB+ BDF=90, BDF+ FDA=90, EDB= FDA.在 EDB和 FDA中, =,=,=, EDB FDA(ASA),BE=AF.
