1、- 1 -巢湖市柘皋中学 2017-2018 第二学期高一数学第一次月考试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知数列 ，则 5 是这个数列的A. 第 12 项 B. 第 13 项 C. 第 14 项 D. 第 25 项【答案】B【解析】【分析】根据已知的数列通项公式，列方程求出项数 .【详解】已知数列的通项公式为 ，由 ，解得 ，故选 B.【点睛】本题考查数列通项公式的应用，属于基础题.2.已知 中， ，则 B 等于A. B. 或 C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理计算 ，注意有两个解.【详解】由正弦定理得 ，故 ，所以 ，又 ，故 或 .所以选 D.
2、【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径） ，一般地，知道其中的三个量（除三个角外） ，可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边） ；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.3.在等差数列 ，若 ，则 等于A. 13 B. 15 C. 17 D. 48【答案】D- 2 -【解析】【分析】由等差数列的性质 ，直接求解即可.【详解】等差数列 ， ，所以故选 D.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.4.在 中，若 ， ， ，则 A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：
3、在三角形中运用余弦定理建立关于 的方程，然后解方程可得所求详解：在 中由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或故选 A点睛：解答本题的关键是根据余弦定理建立起关于 的方程，体现了灵活应用定理解题，也体现了方程思想在解三角形中的应用5.在 中，已知 ： ： ：7：8，则 的大小为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得 ，再利用余弦定理即可求解.【详解】在 中，已知 ： ： ：7：8，由正弦定理，- 3 -.设 ，由余弦定理得， .， .故选 B.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于已知三角形三边的关系求角的问题，比较基础.6.数列 满足： ，则 等于A. 98
4、B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知数列 为首项为 3、公差 等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求出结果.【详解】 数列 的通项公式.故选 B.【点睛】本题考查等差数列的判断和通项公式，根据条件判断数列为等差数列是解题关键，属于基础题.7.在 中，角 所对应的边分别是 ，若 ，则三角形一定是A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理边化角得 ，再由三角形内角和关系得 ，转化为；结合 的范围，可得 .【详解】 ，由正弦定理- 4 -为 的内角， ，整理得，即 .故 一定是等腰三角形.故选 C.【点睛】本题主要
5、考查正弦定理的应用，考查正弦定理边化角及三角形内角和的应用，解题的关键是 的正确解读.8.已知数列 的前 n 项和为 ，则A. 7 B. 9 C. 11 D. 12【答案】B【解析】【分析】利用数列的前 n 项和的定义，得 ，求解 即可.【详解】 数列 的前 n 项和为 , .故选 B.【点睛】本题考查数列前 n 项和的应用，考查基本知识和基本概念.解题时要注意前 n 项和与通项公式之间关系的灵活运用.9.在 中，三边长 ，则 等于A. 19 B. C. 18 D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求得 ，再利用数量积公式，即可求出结果.【详解】 三边长 ，- 5 -.故选 B.【点睛】
6、本题考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理，解题关键是明确数量积中两个向量的夹角与三角形内角的关系.10.已知等差数列 的前 n 项和为 ，则A. 140 B. 70 C. 154 D. 77【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前 n 项和公式 ，及等差数列的性质 ，即可求出结果.【详解】 等差数列 的前 n 项和为 ，.故选 D.【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.11.如图所示， 三点在地面的同一直线上， ，从 两点测得 A 的仰角分别是，则点 A 离地面的高 AB 等于A. B. C. D. 【答案】D- 6 -【解析】【分析】先分别在直角三角形
7、中表示出 DB 和 CB，再根据 列等式，求得 AB.【详解】依题意可知， ，.故选 D.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查转化思想和分析问题、解决问题的能力.12.已知数列 中， ，则A. B. C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意可知 为周期为 2 的数列，即 ，即可求出结果.【详解】 ，即 ，则数列 为周期为 2 的周期数列又 ，则故选 B.【点睛】本题考查根据递推公式计算数列的通项公式的方法，考查转换思想和计算能力.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.在 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 ，则角 A 的大小为- 7 -_
8、 【答案】【解析】【分析】根据已知条件和余弦定理，即可求出角 A 的大小.【详解】 ，由余弦定理得，A 为 的内角，.故答案为 .【点睛】本题考查给出三角形的边角关系求角的问题，着重考查余弦定理，属于基础题.14.在 中， ，面积 ，则 _ 【答案】【解析】【分析】利用三角形的面积计算公式，求出 ，再利用余弦定理即可得出结果.【详解】 ，面积 ，又有，解得 ；由余弦定理.故答案为 .【点睛】本题考查三角形的面积计算公式和余弦定理，属于基础题.15.数列 中，若 ，则 _ 【答案】【解析】【分析】- 8 -根据已知条件，确定数列 为常数数列，即可求出结果.【详解】 ，则.故答案为 .【点睛】本题
9、考查根据递推公式计算数列的通项公式的方法，考查转换思想和计算能力.16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 _ 【答案】【解析】【分析】先根据已知条件得 ，在 中利用正弦定理计算 ，再由 为等腰直角三角形，即可求出结果.【详解】由题意可知 ， ， ， 为等腰直角三角形，在 中， ，由正弦定理.故答案为 .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.在锐角三角
10、形 ABC 中， 分别是角 的对边，且 - 9 -求 的大小；若 ，求三角形 ABC 的面积和 b 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角和角 B 的范围，即可求出角 B 的大小.（2）利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求出结果.【详解】解： 锐角 中， ，由正弦定理 ，角 A 为 的内角，；又 B 为锐角，；由 ，；【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题. 三角形中求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；
11、第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.18.已知数列 的前 n 项和 求数列 的通项公式 ；求证：数列 是等差数列【答案】 （1） ；（2）见解析- 10 -【解析】【分析】（1）当 时，类比写出 ，两式相减整理得 ；当 时，求得 并验证通项公式，从而确定数列 通项公式.（2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可.【详解】 解：当 时， ，当 时， ，满足 ，即数列 的通项公式 证明： ，当 时， 为常数，则数列 是等差数列【点睛】本题主要考查已知数列 的前 项和 求数列的通项公式的方法，考查等差数
12、列的判断方法.已知数列 的前 项和 求数列的通项公式，求解过程分为三步：（1）当 时，用 替换 中的 得到一个新的关系，利用 便可求出当时 的表达式； （2）当 时， 求出 ；（3）对 时的结果进行检验，看是否符合 时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 与 两段来写19.在 中， BC 边上的中线 AD 长为 3，且 求 的值；求 AC 边的长【答案】 （1） ；（2）4【解析】- 11 -【分析】（1）由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出.（2）在 中，利用正弦定理得 ，在 中利用余弦定理即可求出.【详解】解： 因为 ，所以 又
13、 ，所以 ，所以 在 中，由 得 ，解得 故 ，在 中，由余弦定理得 ，得 【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题.20.已知数列 满足 证明数列 为等差数列；求数列 的通项公式【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列 为等差数列，确定数列 的通项公式，即可求出数列 的通项公式- 12 -【详解】 证明： ，且有 ，又 ，即 ，且 ，是首项为 1，公差为 的等差数列解：由 知 ，即 ，所以 【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，
14、考查了推理能力和计算能力，属于中档题.21.在 中，三个内角 所对的边分别为 ，且满足 求角 C 的大小；若 的面积为 ，求边 c 的长【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理得 和 ，代入已知条件，即可求出角 C 的大小；（2）利用三角形面积公式得 ，再利用余弦定理，即可求出边 c 的长【详解】解： 由余弦定理可得：， ，又，又 ，- 13 -，【点睛】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，特殊角函数值的应用，属于基础知识考查.解三角形问题，需要根据三角形边角关系和正、余弦定理，结合已知条件灵活转化和化简已知条件，从而达到解决问题的目的基本步骤是：（1）观察已知条件和所求问题，确定转化的方向；（2）根据已知条件与所求的关系选择适当的工具，转化问题；（3）求结果22.已知数列 满足 ，且 且 求证：数列 是等差数列；求数列 的通项公式【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用 ，两边同除 ，结合等差数列的定义，即可证明数列 是等差数列；（2）求出数列 的通项公式，即可求出数列 的通项公式【详解】 （1）证明： ，两边同时除以 ，可得 ，又 数列 是以 为首项，以 1 为公差的等差数列；解：由 可知 - 14 -.【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用构造法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
