1、12018-2019 学年度上学期期中考试高二文科数学2018.11考生注意：1、本卷考试范围：人教 A 版必修 2。满分 150 分，考试时间 120 分钟；2、答题前请在答题卷上填写好自己的学校、姓名、班级、考号等信息；3、请将答案正确填写在答题卷指定的位置，在非答题区位置作答无效。第 I 卷 （选择题 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。) 1.若 x y10( x0， y0)，则 的取值范围是( )A (0，) B ( ，2) C ，2 D ( ，1)2.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为
2、 x2 y24 x0.若直线 y k(x1)上存在一点P，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是( )A (，2 ) B 2 ，2 C ， D (，2 2 ，)3.已知圆 C： x2( y3) 24，过 A(1,0)的直线 l 与圆 C 相交于 P， Q 两点，若| PQ|2，则直线 l 的方程为( )A x1 或 4x3 y40 B x1 或4x3 y40C x1 或 4x3 y40 D x1 或4x3 y404.已知底面为正方形，侧棱相等的四棱锥 S ABCD 的直观图和正视图如图所示，则其侧视图的面积为( )2A B C 2 D 25.如图， ABC 的斜二测直观
3、图为等腰 Rt A B C，其中 A B2，则 ABC 的面积为( )A 2 B 4 C 2 D 46.如图所示，已知三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥B1 ABC1的体积为( )A B C D7.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 2， BC 的中点为 M，一只蚂蚁从盒外的 B 点沿正方形的表面爬到盒内的 M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是( )A B 1 C D 28.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )3A 2 2 B 42 C 2 D 49.在空间四边形 ABCD 各边 AB、 BC、 CD、 DA 上分别取 E、 F、 G、
4、 H 四点，如果 EF、 GH 相交于点 P，那么( )A 点 P 必在直线 AC 上 B 点 P 必在直线BD 上C 点 P 必在平面 DBC 内 D 点 P 必在平面ABC 外10.如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA12 AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( )A B C D11.下列命题正确的是( )两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A B C 4D 12.如图在长方体中，
5、 AB AD2 ， CC1 ，则二面角 C1 BD C 的大小为( )A 30 B 45 C 60 D 90第 II 卷（非选择题 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.一个几何体的三视图如图所示，则其侧视图的面积为_.14.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N， P 分别是 C1C, C1B1， C1D1的中点，点 H 在四边形 A1ADD1的边及其内部运动，则 H 满足条件_时，有 BH平面 MNP.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，有下面结论： AC平面 CB1D1； AC1平面 CB1D1；5 AC1与底面 AB
6、CD 所成角的正切值是 ； AD1与 BD 为异面直线.其中正确的结论的序号是_.16.已知直线 l 过点 P(2,1)，且与 x 轴， y 轴的正半轴分别交于 A， B 两点， O 为坐标原 点，当 取最大值时 l 的方程为_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17.（10 分）(1)求经过直线 l1： x3 y30， l2： x y10 的交点且平行于直线2x y30 的直线方程(2)求证：不论 m 取什么实数，直线(2 m1) x( m3) y( m11)0 都经过一个定点，并求出这个定点的坐标18. （12 分）已知圆 C 过点 M(0，2)， N(3,1)，且圆心 C 在
7、直线 x2 y10 上.(1)求圆 C 的方程；(2)问是否存在满足以下两个条件的直线 l：直线 l 的斜率为 1；直线 l 被圆 C 所截得的弦为 AB，以 AB 为直径的圆 C1过原点.若存在这样的直线 l，请求出其方程；若不存在，请说明理由.19. （12 分） A 是 BCD 平面外的一点， E、 F 分别是 BC、 AD 的中点，(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 AC BD， AC BD，求 EF 与 BD 所成的角20. （12 分）如图所示， P 是 ABC 所在平面外的一点，点 A， B， C分别是PBC， PCA， PAB 的重心6(1)求证：平面 AB
8、C平面 A B C；(2)求 A B C与 ABC 的面积之比21. （12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD， PB、 PD 与平面 ABCD 所成角的正切值依次是 1、 ， AP2， E、 F 依次是 PB、 PC 的中点(1)求证： PB平面 AEFD；(2)求直线 EC 与平面 PAD 所成角的正弦值22.（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于点O， PA平面 ABCD， M 是 PD 的中点.(1)求证： OM平面 PAB；(2)求证：平面 PBD平面 PAC.72018-
9、2019 学年度上学期期中考试高二文科数学答案解析1. B【解析】 可以变形为 ，可把此式看做点( x， y)与点 P(1，1)连线的斜率( x， y)满足 x y10( x0， y0)， 的范围就是点 P(1，1)与线段 x y10( x0， y0)相交斜率的范围由图可知点 P 与 x y10( x0， y0)的左端点连线的斜率为 2.点 P 与 x y10( x0， y0)的右端点连线的斜率为 ， 的取值范围是( ，2) 故选 B.82. B【解析】 C 的方程为 x2 y24 x0，故圆心为 C(2,0)，半径 R2.设两个切点分别为 A、 B，则由题意可得四边形 PACB 为正方形，故
10、有| PC| R2 ，圆心到直线 y k(x1)的距离 d| PC|2 ，即 d 2 ，解得 k28，可得2 k2 ，故选 B.3. B【解析】当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x1 符合题意；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y k(x1)，过圆 C 作 CM PQ，垂足为 M，由于| PQ|2 ，可求得| CM|1.由|CM| 1，解得 k ，此时直线 l 的方程为 y (x1)故所求直线 l 的方程为 x1 或 4x3 y40.故选 B.4. A【解析】由题意，侧视图与正视图是全等的三角形，面积为 2 .5. D【解析】Rt A B C是一平面图形的直观图，直角边长
11、为 A B2，直角三角形的面积是 222，平面图形与直观图的面积的比为 2 ，原平面图形的面积是 22 4 .故选 D.6. A【解析】 .7. C【解析】蚂蚁从盒外的 B 点沿正方形的表面爬到盒内的 M 点，蚂蚁爬行的最短距离是如图 BM 的长度，无盖的正方体盒子的棱长为 2， BC 的中点为 M， A1B224， A1M1，9 BM . 故选 C.8. C【解析】该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为 1，高为 2，体积为2，四棱锥的底面边长为 ，高为 ，所以体积为 ( )2 ，所以该几何体的体积为 2 .9. A【解析】 EF 属于一个面，而 GH 属于另一个面，且 EF
12、 和 HG 相交于点 P， P 在两平面的交线上 AC 是两平面的交线，所以点 P 必在直线 AC 上故选 A.10. D【解析】如图，连接 BC1， A1C1， A1BC1是异面直线 A1B 与 AD1所成的角，设 AB a， AA12 a， A1B C1B a， A1C1 a， A1BC1的余弦值为 ，故选 D.12. A【解析】连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OC1，因为 ABCD 为正方形，则 AC BD，又 CC1平面 ABCD，所以 CC1 BD，则 BD平面 CC1O，所以 BD OC1，所以 COC1是二面角 C1 BD C 的平面角10又 OC AC AB .在 Rt
13、OCC1中， CC1 ，所以 tan COC1 ，所以 COC130，故选 A.13. 4【解析】依题意得几何体的侧视图面积为 22 2 4 .14. H线段 A1D【解析】 H线段 A1D.理由如下，连接 A1B， A1D， BD， CB1,因为 M， N 分别是 C1C, C1B1的中点，所以 MN CB1，因为 CD A1B1，且 CD A1B1，所以四边形 CDA1B1是平行四边形，所以 CB1 DA1，所以 MN DA1，又 MN平面 A1BD， DA1平面 A1BD，所以 MN平面 A1BD.同理可证 PN平面 A1BD，又 MN平面 MNP， PN平面 MNP， MN PN N，
14、所以平面 A1BD平面 MNP.又因为 BH平面 A1BD，所以 BH平面 MNP.16. 2x y50【解析】由题意可知直线 l 的斜率 k0，由直线的点斜式方程，得直线 l 的方程为y1 k(x2)，即 y kx2 k1.令 x0，代入方程得 y2 k1，令 y0，代入方程得 x ，11直线 l 与 x 轴， y 轴的交点坐标分别是点 A( ，0 )，点 B(0，2 k1) PA ， PB ，.令 t ，有 (4 t)k24 k1 t0，故 164(4 t)(1 t)0.解得 0 t5，故 t5 时， 取最大值此时，解得 k2，直线 l 的方程为 y2 x2 k1，即 2x y50，故答案
15、为 2x y50.17. (1)方法一 由 得直线 l1与 l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线 2x y30 的直线方程为2x y c0，把(0,1)代入所求的直线方程，得 c1，故所求的直线方程为 2x y10.方法二 设过直线 l1、 l2交点的直线方程为 x3 y3 (x y1)0( R)，即( 1) x(3 )y 30，由题意可知， 2，解得 ，所求直线方程为 x y 0，即 2x y10.(2)将已知方程以 m 为未知数，整理得(2 x y1) m( x3 y11)0.由于 m 取值的任意性，由 解得不论 m 取什么实数，所给的直线都经过一个定点(2，3)18. (1)设圆
16、C 的方程为 x2 y2 Dx Ey F0，12则 解得 D6， E4， F4，所以圆 C 的方程为 x2 y26 x4 y40.(2)假设存在这样的直线 l，其方程为 y x b.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则联立 消去 y 得 2x22( b1) x b24 b40，(*) y1y2( x1 b)(x2 b) x1x2 b(x1 x2) b2. AB 为直径，圆 C1过原点， AOB90，| OA|2| OB|2| AB|2， ( x1 x2)2( y1 y2)2，得 x1x2 y1y20，2 x1x2 b(x1 x2) b20，即 b24 b4 b(1 b) b20，解
17、得 b1 或 b4.容易验证 b1 或 b4 时方程(*)有实根.故存在这样的直线 l，其方程是 x y10 或 x y40.19. (1)证明 用反证法设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、 B、 C、 D 在同一平面内，这与 A 是 BCD 平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线(2)解 取 CD 的中点 G，连接 EG、 FG，由于 E、 F 分别是 BC、 AD 的中点，则 EG BD， FG AC，所以相交直线 EF 与 EG 所成的锐角或直角即为异面直线 EF 与 BD 所成的角由
18、AC BD， AC BD，可得 EG GF， EG GF.故等腰 Rt EGF 中，有 FEG45，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45.20. (1)证明 分别连接 PA， PB， PC并延长交 BC， AC， AB 于点 D， E， F，连接DE， EF， DF.13点 A， C分别是 PBC， PAB 的重心， PA PD， PC PF， A C DF. A C平面 ABC， DF平面 ABC， A C平面 ABC.同理， A B平面 ABC.又 A C A B A， A C， A B平面 A B C，平面 ABC平面 A B C.(2)解 由(1)知 A C DF 且 A C
19、DF，又 DF AC 且 DF AC， A C AC 且 A C AC.同理， A B AB 且 A B AB， B C BC 且 B C BC， A B C ABC， S A B C S ABC19.21. (1)证明 PB、 PD 与平面 ABCD 所成角的正切值依次是 1、 ， AP2，且 PA平面 ABCD， AB2， AD4. PA平面 ABCD，底面 ABCD 是矩形， AD平面 PAB， AD PB. E 是 PB 的中点， AP AB， AE PB.又 AE， AD平面 AEFD， AE AD A， PB平面 AEFD.(2)解 PA平面 ABCD， CD PA，又 CD AD， PA AD A， CD平面 PAD，14取 PA 的中点 G， CD 的中点 H，连接 EG、 GH、 GD，则 EG AB CD，且 EG AB1，又 CH CD AB1，四边形 EGHC 是平行四边形， EC GH， HGD 为直线 EC 与平面 PAD 所成的角在 Rt GDH 中，易求 GH3 ，sin HGD ，直线 EC 与平面 PAD 所成角的正弦值为 .22.
