1、1山东省新泰市第一中学 2019 届高三数学上学期第二次质量检测试题 文一、选择题；本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的1函数 的定义域为（ ）Ax|x0 Bx|x10 Cx|x1 Dx|x12已知向量 与 的夹角为 120，且| |=| |=2，那么 （2 ）的值为（ ）A8 B6 C0 D43若等差数列a n的前 7 项和 S7=21，且 a2=1，则 a6=（ ）A5 B6 C7 D84已知 ， 为不重合的两个平面，直线 m，那么“m”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5直线
2、 3xy=0 绕原点逆时针旋转 90，再向右平移 1 个单位，所得到直线的方程为（ ）Ax+3y3=0 Bx+3y1=0 C3xy3=0 Dx3y+3=06已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）=ln（1x） ，则函数f（x）的大致图象为（ ）A B C D7直线 ax+byab=0（a）与圆 x2+y22=0 的位置关系为（ ）A相离 B相切 C相交或相切 D相交8直线 a、b 是异面直线，、 是平面，若 a，b，=c，则下列说法正确的是（ ）Ac 至少与 a、b 中的一条相交 Bc 至多与 a、b 中的一条相交Cc 与 a、b 都相交 Dc 与 a、b 都不相
3、交29已知函数 f（x）=x 22cosx，对于 上的任意 x1，x 2，有如下条件：x 1x 2； ； |x 1|x 2； x 1|x 2|，其中能使 恒成立的条件个数共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10已知双曲线 的左焦点是 F（c，0） ，离心率为 e，过点 F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆 x2+y2=c2在 y 轴右侧交于点 P，若 P 在抛物线y2=2cx 上，则 e2=（ ）A B C D11. 设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D512. 对任意 ，不等式 sinxf（x）cosxf（x）恒成立，则
4、下列不等式错误的是（ ）A B C D二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共计 25 分13若双曲线 kx2y 2=1 的一个焦点的坐标是（2，0） ，则 k= 14函数 图象的对称中心的坐标为 15某四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 316若直线 过点（2，1） ，则 3a+b 的最小值为 三、解答题：本大题共 6 个小题，满分 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知向量 =（2sinA，1） ， =（sinA+ cosA，3） ， ，其中 A 是ABC 的内角（）求角 A 的大小；（）若ABC 为锐角三角形，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
5、c，a= ，b=3，求ABC 的面积18已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为圆 M：x 2+y24x=0 的圆心，直线 l 与抛物线C 的准线和 y 轴分别交于点 P、Q，且 P、Q 的纵坐标分别为 3t 、2t（tR，t0） （）求抛物线 C 的方程；（）求证：直线 l 恒与圆 M 相切419设数列a n的前 n 项的和为 （）求数列a n的通项公式；（）设 ，数列b n的前 n 项的和为 Tn，若对一切 nN *，均有，求实数 m 的取值范围20如图，三棱柱 ABCA 1B1C1的侧面 AA1C1C 是矩形，侧面 AA1C1C侧面 AA1B1B，且AB=4AA1=4，BAA 1=60，
6、D 是 AB 的中点（）求证：AC 1平面 CDB1；（）求证：DA 1平面 AA1C1C521设 椭 圆 的 对 称 中 心 为 坐 标 原 点 ， 其 中 一 个 顶 点 为 A（ 0， 2） ， 右 焦 点 F 与点 的 距 离 为 2（ 1） 求 椭 圆 的 方 程 ；（ 2） 是 否 存 在 经 过 点 （ 0， 3） 的 直 线 l， 使 直 线 l 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两点 M， N 满 足 ？ 若 存 在 ， 求 出 直 线 l 的 方 程 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理由 22已知函数 f（x）=xaxlnx，aR（）当 a=1 时，求函数 f（x）的
7、单调区间；（）设 ，若函数 g（x）在（1，+）上为减函数，求实数 a 的最小值；（）若 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围6新泰一中高三第二次阶段性考试文科数学试题（2018.12.）参考答案与试题解析一、选择题；1 【解答】解：函数 ， ，解得，即 x1，f（x）的定义域为x|x1故选：C 2 【解答】解：向量 与 的夹角为 120，且| |=| |=2，可得 =| | |cos120=22（ ）=2，即有 （2 ）=2 2=2（2）4=8故选：A 3 【解答】解：在等差数列a n中，由 S7=7a4=21，得 a4=3，又 a2=1， ，a 6=a4+2d=3+22=7故选：C 4 【
8、解答】解：平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直直线 m，那么“m”成立时，一定有“”成立反之，直线 m，若“”不一定有“m”成立所以直线 m，那么“m”是“”的充分不必要条件故选 A 5 【解答】解：直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90直线斜率互为负倒数直线 y=3x 变为 y= x，向右平移 1 个单位y= （x1）即：x+3y1=0，故选：B6 【解答】解：由于函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）=ln（1x） ，故在0，1）上，f（x）为减函数，且 f（x）0，结合所给的选项，故选：C7 【解答】解：由已知得，圆的圆心为（0，0）
9、 ，半径为 ，圆心到直线的距离为，其中（a+b） 22（a 2+b2） ，所以圆心到直线的距离为 ，所以直线与圆相交或相切；故选：C8 【解答】解：由直线 a、b 是异面直线，、 是平面，若 a，b，=c，知：7对于 B，c 可以与 a、b 都相交，交点为不同点即可，故 B 不正确；对于C，ac，bc=A，满足题意，故 C 不正确；对于 D，c 与 a、b 都不相交，则 c 与 a、b 都平行，所以 a，b 平行，与异面矛盾，故 D 不正确；对于 A，由 B，C、D 的分析，可知 A 正确故选：A9 【解答】解：f（x）=x 22cosx，f（x）=2x+2sinx，当 x=0 时，f（0）=
10、0；当 x ，0）时，f（x）0，函数 f（x）在此区间上单调递减；当 x（0， 时，f（x）0，函数 f（x）在此区间上单调递增函数 f（x）在 x=0 时取得最小值，f（0）=01=1x ， ，都有 f（x）=f（x） ，f（x）是偶函数根据以上结论可得：当 x1x 2时，则 f（x 1）f（x 2）不成立；当 x12x 22时，得|x 1|x 2|，则 f（|x 1|）f（|x 2|） ，f（x 1）f（x 2）恒成立；当|x 1|x 2时，则 f（x 1）=f（|x 1|）f（x 2）恒成立；x 1|x 2|时，则 f（x 1）f（|x 2|）=f（x 2）恒成立综上可知：能使 f（x
11、 1）f（x 2）恒成立的有故选：C 10 【解答】解：如图，设抛物线 y2=4cx 的准线为 l，作 PQl 于 Q，设双曲线的右焦点为 F，P（x，y） 由题意可知 FF为圆 x2+y2=c2的直径，PFPF，且 tanPFF= ，|FF|=2c，满足 ，将代入得 x2+2cxc 2=0，则 x=c c，即 x=（ 1）c， （负值舍去） ，代入，即 y= ，再将 y 代入得， =2（ 1）c 2，即为 b2=c2a 2=（ 1）a 2，由 e= ，可得 e2= 故选：D811. 【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得 y= ，平移直线 y= ，由图象可知当直线 y=
12、经过点 B（1，1）时，直线 y=的截距最小，此时 z 最小此时 z 的最小值为 z=1+21=3，故选：B12. 【解答】解：构造函数 g（x）=f（x）cosx，则 g（x）=cosxf（x）sinxf（x） ，sinxf（x）cosxf（x） ，g（x）=cosxf（x）sinxf（x）0，即 g（x）在 上为增函数，则 g（ ）g（ ） ，即 f（ ）cos f（）cos ，即 f（ ） f（ ） ，即 f（ ）f（ ） ，又 g（1）g（） ，9即 f（1）cos1f（ ）cos ，即 ，故错误的是 D故选：D二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共计 25 分13 【解
13、答】解：由题意可得双曲线的焦点在 x 轴上，可得：双曲线的标准方程为 y 2=1， （k0） ，即有 a2= ，b 2=1，c 2=1+ ，由一个焦点的坐标是（2，0） ，可得 1+ =4，解得 k= 故答案为： 14【解答】解：f（x）= = = +1，因为 y= 对称中心为（0，0） ，所以函数 f（x）的对称中心为（1，1）故答案为：（1，1） 15【解答】解：由三视图可知三棱锥 PABC 的底面 ABC 为直角三角形，ABBC，侧棱PA平面 ABC，PA=AB=4，BC=3，图形如图BC平面 PAB，AC=5，PB=4 ，棱锥的表面积 S= + + + =24+6 故答案为 24+6
14、16【解答】解：直线 过点（2，1） ， =1，故3a+b=（3a+b） （ ）=7+ + 7+2 =7+2 ，当且仅当 = 即b= a 时取等号，结合 =1 可解得 a= 且 b= +1，故答案为：7+2 10三、解答题：本大题共 6 个小题，满分 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【解答】解：（）向量 =（2sinA，1） ， =（sinA+ cosA，3） ， ，可得 =2sinA（sinA+ cosA）3=2sin 2A+2 sinAcosA3=1cos2A+ sin2A3=2sin（2A ）2=0，即有 2A=2k+ ，kZ，A=k+ ，kZ，可得 A= ；（）在AB
15、C 中，由余弦定理可得，a 2=b2+c22bccosA，即为 7=9+c23c，解得 c=1 或2，若 c=1，则 b 为最大边，且 cosB= = 0，B 为钝角，不合题意；若 c=2，则 b 为最大边，且 cosB= = 0，B 为锐角，合题意，则ABC 的面积为 S= bcsinA= 32 = 18【解答】解：（）设抛物线 C 的方程为 y2=2px（p0） ，因为焦点为圆 M：x 2+y24x=0的圆心，所以 p=4，因此抛物线 C 的方程为 y2=8x；（）由题意可知，P（2，3t ） ，Q（0，2t） ，则直线 PQ 方程为：y2t= x，即（t 21）x+2ty4t 2=0，圆
16、心 M（2，0）到直线 PQ 的距离 =2，因此直线 l 恒与圆 M 相切19【解答】解：（） ，S n1 =（n1） 2+（n1） ，n2，两式相减得：an=2n，又a 1=1+1=2，数列a n是首项、公差均为 2 的等差数列，故其通项公式an=2+2（n1）=2n；11（）由（I）可知 = ，数列b n是首项、公比均为 的等比数列，故 Tn= （1 ）（ ， ） ， ，且 m 26m+ ，m1，且 m2 或 m4，故 1m2 20【解答】证明：（1）连结 A1C 交 AC1于 F，取 B1C 中点 E，连结 DE，EF四边形 AA1C1C 是矩形，F 是 A1C 的中点，EFA 1B1，
17、EF= A1B1，四边形 ABB1A1是平行四边形，D 是 AB 的中点，ADA 1B1，AD= A1B1，四边形 ADEF 是平行四边形，AFDE，即 AC1DE又DE平面 CDB1，AC 1平面 CDB1，AC 1平面 CDB1（2）AB=4AA 1=4，D 是 AB 中点，AA 1=1，AD=2，BAA 1=60，A 1D= = AA 12+A1D2=AD2，A 1DAA 1，侧面 AA1C1C侧面 AA1B1B，侧面 AA1C1C侧面 AA1B1B=AA1，ACAA 1，AC平面 AA1C1C，AC平面 AA1B1B，A 1D平面 AA1B1B，ACA 1D，又AA 1平面 AA1C1
18、C，AC 平面 AA1C1C，ACAA 1=A，DA 1平面 AA1C1C21【 考 点 】 圆 锥 曲 线 的 综 合 ； 椭 圆 的 标 准 方 程 12【 分 析 】 （ 1） 直 接 根 据 条 件 得 到 以 及 b=2； 求 出 a2=12 即 可 得到 椭 圆 的 方 程 ；（ 2） 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx 3（ k 0） ， 由 |AM|=|AN|知 点 A 在 线 段 MN 的垂 直 平 分 线 上 ； 联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 得 到 k 的 范 围 以 及 点 M， N 的 坐 标 和k 的 关 系 ， 结 合 点 A 在 线 段 MN
19、 的 垂 直 平 分 线 对 应 的 斜 率 相 乘 等 于 1 即 可 求出 结 论 【 解 答 】 解 ： （ 1） 依 题 意 ， 设 椭 圆 方 程 为 ，则 其 右 焦 点 坐 标 为 ， 由 |FB|=2，得 ， 即 ， 故 又 b=2， a2=12，从 而 可 得 椭 圆 方 程 为 （ 2） 由 题 意 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx 3（ k 0） ， 由 |AM|=|AN|知 点 A 在 线段 MN 的 垂 直 平 分 线 上 ，由 消 去 y 得 x2+3（ kx 3） 2=12， 即 可 得 方 程 （ 1+3k2）x2 18kx+15=0（ *）当 方
20、程 （ *） 的 =（ 18k） 2 4（ 1+3k2） 15=144k2 60 0即 时 方 程 （ *） 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 设 M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ， 线 段 MN 的 中 点 P（ x0， y0） ，则 x1， x2 是 方 程 （ *） 的 两 个 不 等 的 实 根 ， 故 有 从 而 有 ， 于 是 ， 可 得 线 段 MN 的 中 点 P 的 坐 标 为13又 由 于 k 0， 因 此 直 线 AP 的 斜 率 为 ，由 AP MN， 得 ， 即 5+6k2=9， 解 得 ， ， 综 上 可 知 存 在 直 线 l： 满 足 题
21、意 22 【解答】解：（）a=1 时，f（x） ）=xxlnx，f（x）=lnx，令 f（x）0，解得：0x1，令 f（x）0，解得：x1，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减；（）由已知得 g（x）= ax，函数的定义域为（0，1）（1，+） ，g（x）在（1，+）上为减函数，g（x）=a+ 0 在（1，+）上恒成立，a =（ ） 2 ，令 h（x）=（ ） 2 ，故当 = ，即 x=e2时，h（x）的最小值为 ，a ，即 a ；最小值为 ；（）若 ，使得 成立，结合（）得：问题等价于：“当 xe，e 2时，有 gmax（x） ”，g（x）=a+ ，由（）知 0， ，当 a 时，g（x
22、）0 在e，e 2上恒成立，因此 f（x）在e，e 2上为减函数，14则 fmax（x）=g（e）=eae ，故 a1 ；当 a0 时，g（x）0 在e，e 2上恒成立，因此 g（x）在e，e 2上为增函数，则 gmax（x）=g（e 2）=ae 2+ ，解得：a ，不合题意；当 0a 时，由 g（x）在e，e 2上为增函数，故 g（x） 的值域为g（e） ，g（e 2），即a， a由 g（x）的单调性和值域知，存在唯一 x0（e，e 2） ，使 g（x 0）=0，且满足：当 x（e，x 0） ，时，g（x）0，此时 g（x）为减函数；当 x（x 0，e 2） ，时，g（x）0，此时 g（x）为增函数；所以，g max（x）=maxg（e）或 g（e 2）与 0a 矛盾，不合题意综上所述，得 a
