1、1淄川中学高 2016 级高三学情检测理科数学试卷一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1.【2018 年新课标 I 卷文】已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合 中的元素，最后求得结果.详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.2.设集合 M= ，则下列关系成立的是A. 1M B. 2M C. (1,2)M D. (2,1)M【答案】C【解析】M(1，2)中元素为(1，2),所以选 C.3.已
2、知 lg2=a, lg3=b，则 lg 等于A. a-b B. b-a C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据对数的运算法则求解即可.【详解】因为 ，所以 ，故选 B.【点睛】本题主要考查对数的基本运算法则，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.24.若函数 ，则 f(x)A. 在(-2，+ ),内单调递增 B. 在(-2，+ )内单调递减C. 在(2，+ )内单调递增 D. 在(2，+ )内单调递减【答案】D【解析】【分析】求出 ，由 时 可得结果.【详解】由 可得因为 或 时， ，在 和 内是减函数，故选 D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数研
3、究函数单调性的步骤：求出 ，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间，求得 的范围，可得函数 的减区间.5.不等式（ x+1） （ x+2）f(3)，本题选择 A 选项.点睛：关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题11.设 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求出 ，得到 的范围，进而可得结果。详解：.,即又即故选 B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。12.已知函数 ， ，若 存在 2 个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】7由 得 ，分别作
4、出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可.【详解】由 得 ，作出函数 和 的图象如图，由图可知，当直线 的截距 ，即 时，两个函数的图象都有两个交点，即函数 存在两个零点，故实数的取值范围是 ，故选 C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程的根 函数 与 的交点.二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13.已知函数 ，若 ，则 _。【答案】-3 【解析】【分析】由 ，得 ，结合函数的定义域可得
5、结果.【详解】 函数 ，由 ，得 ，即 ，解得 ，因为 ，所以 ，8故答案为 .【点睛】本题主要考查函数的解析式与定义域，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.14.设 ，若 且 ，则 的取值范围_【答案】 【解析】【分析】根据数形结合找出和 的关系， 可化为 ，结合基本不等式求范围即可.【详解】先画出函数 的图象，如图，且 ， ，因为 ， ，的取值范围是 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查对数函数的性质、数形结合思想的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否
6、为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时9参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.15.已知函数 ，若 ，则 _【答案】-7【解析】分析：首先利用题的条件 ，将其代入解析式，得到 ，从而得到，从而求得 ，得到答案.详解：根据题意有 ，可得 ，所以 ，故答案是 .点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.16.已知函数 f(x) 其中 m0.若存在实数 a，使得关于 x 的方程 f(x) a 有三个不同的根，则 m
7、 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】作出函数 的图象，依题意，可得 ，解不等式即可得结果.【详解】当 时， 的图象如图，时， ，要使得关于 的方程 有三个不同的根，必须 ，即 ，解得 ，10的取值范围是 ，故答案为 .【点睛】巳知函数的零点个数求参数取值范围常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（一元二次方程根的分布不同，可列出相应的不等式组） ，再通过解不等式确定参数范围;分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.三、解答题：17.命题 p：不等式 x2-（ a+
8、1） x +10 的解集是 R命题 q：函数 f（ x）=（ a+1） x在定义域内是增函数若 p q 为假命题， p q 为真命题，求 a 的取值范围【答案】 a31，所以 a0.又 pq 为假命题，pq 为真命题，所以 p、q 必是一真一假当 p 真 q 假时有30，()求 an的通项公式：()设 ，求数列 的前 n 项和【答案】 （I） （II）【解析】【分析】（）由 ，可知 两式相减可得由于 可得 ，从而利用等差数列的定义可得结果；()根据()的通项公式，可得12，利用裂项相消法可得结果.【详解】 （I）由 ，可知可得 即由于 可得又 ，解得所以 是首相为 3，公差为 2 的等差数列，
9、通项公式为（II）由设数列 的前 n 项和为 ，则【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20.已知直线 的参数方程为： ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（）求曲线 的参数方程；13（）当 时，求直线 与曲线 交点的极坐标.【答案】 （）（） ， ； , 【解析】【分
10、析】（）先两边同乘以 ，利用 即可得到曲线 的直角坐标方程，化为标准方程后可得到其参数方程；（）将直线的参数方程利用代入法消去参数得到普通方程，将直线的普通方程与曲线的直角坐标方程联立可得交点的直角坐标，化为极坐标即可得结果.【详解】 （）由 ，可得所以曲线 的直角坐标方程为 ，标准方程为 ，曲线 的极坐标方程化为参数方程为（）当 时，直线 的方程为 ，化成普通方程为 ，由 ，解得 或 ，所以直线 与曲线 交点的极坐标分别为 ， ； , 【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转14化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消
11、去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可.21.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，
12、求事件A 发生的概率.【答案】 （）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人 （） （ i）答案见解析；（ ii） 【解析】分析：（）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2人，2 人（） （ i）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3且分布列为超几何分布，即P（ X=k）= （ k=0，1，2，3） 据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为（ ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件 A 发生的概率为 详解：（）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门
13、的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（） （ i）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3P（ X=k）= （ k=0，1，2，3） 所以，随机变量 X 的分布列为15X 0 1 2 3P随机变量 X 的数学期望 （ ii）设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人” ；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人” ，则 A=B C，且 B 与 C 互斥，由（ i）知， P(B)=P(X=2)， P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(B C)=P(X=2)+P(X=1)= 所以，事件 A 发生的概率
14、为 点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数 X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比22.如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点（1）证明： 平面 ；（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离【答案】解：16（1）因为 AP=CP=AC=4， O 为 AC 的中点，所
15、以 OP AC，且 OP= 连结 OB因为 AB=BC= ，所以 ABC 为等腰直角三角形，且 OB AC， OB= =2由 知， OP OB由 OP OB， OP AC 知 PO平面 ABC（2）作 CH OM，垂足为 H又由（1）可得 OP CH，所以 CH平面 POM故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC= =2， CM= = ， ACB=45所以 OM= ， CH= = 所以点 C 到平面 POM 的距离为 【解析】分析：（1）连接 ，欲证 平面 ，只需证明 即可；（2）过点作 ，垂足为 ，只需论证 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为 A
16、P=CP=AC=4， O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP= 连结 OB因为 AB=BC= ，所以 ABC 为等腰直角三角形，且 OB AC， OB= =2由 知， OP OB由 OP OB， OP AC 知 PO平面 ABC17（2）作 CH OM，垂足为 H又由（1）可得 OP CH，所以 CH平面 POM故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC= =2， CM= = ， ACB=45所以 OM= ， CH= = 所以点 C 到平面 POM 的距离为 点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.
