1、- 1 -沁县中学 2017-2018 学年度第二学期期中考试高二数学（理）一、选择题：(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.)1.已知复数 z 满足 ，那么 的虚部为（ ）A. 1 B. -i C. D. i【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部.【详解】因为 ，所以虚部为 1，故选 A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题.2.函数 在点（ 1,1）处的切线方程为：（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，从而写出切线的方程.【详解】因为 ，所以 ，切线
2、方程为 ，即 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题.3.定积分 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】- 2 -根据定积分的含义，只需求出曲线 在 上与 x 轴围成扇形的面积即可.【详解】由 得 ，根据定积分的意义可知，扇形的面积即为所求.故选 B.【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义及圆的方程面积问题，属于中档题.4.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A. 某校高三有 8 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班人数都超过 50人B. 由三角形的性质,推测空间四面体的性质C. 平行四边
3、形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D. 在数列 中， ， ，由此归纳出 的通项公式【答案】C【解析】【分析】演绎推理是由一般到特殊，所以可知选项.【详解】因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项 C 符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以对角线互相平分.【点睛】本题主要考查了推理中演绎推理的概念，属于容易题.5.曲线 与坐标轴所围成图形面积是（ ）A. 4 B. 2 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】根据定积分的意义，曲线与坐标轴所围成面积可转化为求 在 上的定积分与在 上的定积分值的差即可.- 3 -【详解】根据定积分的意义可知， ，故选 D
4、.【点睛】本题主要考查了定积分的意义及定积分的运算，属于中档题.利用定积分解决面积问题时，要注意面积与定积分值的关系，当曲线在 x 轴下方时，定积分值的绝对值才是曲线围成的面积.6.函数 的单调递减区间是( )A. B. C. D. 和【答案】C【解析】【分析】求函数的单调递减区间，需要求函数导数在定义域上小于零的解集即可.【详解】因为 ，令 解得 ，所以选 C.【点睛】本题主要考查了导数及利用导数求函数的单调区间，属于中档题.解决此类问题时，要特别注意函数的定义域，通过解不等式寻求函数单调区间时要注意定义域的限制.7.函数 的图象可能是（ ）【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以 为奇函数
5、，故排除 B、D；当时， ，故排除 C，故选 A考点：1、函数图象；2、函数的奇偶性8.设已知函数 ，下列结论中错误的是（ ）- 4 -A. B. 函数 的图象是中心对称图形C. 若 是 的极小值点，则 在区间 单调递减D. 若 是 的极值点，则【答案】C【解析】因为 所以由零点存在定理得因为 ,所以函数 的图象是中心对称图形若 是 的极小值点，则 在区间若 是 的极值点，则 ,因此 C 错,选 C.9.在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 100 个圈中的的个数是( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】A【解析】试题分析： 由
6、图像可得图像所示的圈可以用首项为 2，公差为 1 的等差数列表示，前 120 个圈中的的个数即为 ，解得 ，前 120 个圈中的有 个，故选 D考点： 等差数列的定义及性质；等差数列前 n 项和公式 .10.已知复数 是方程 的一个根，则实数 ， 的值分别是（ ）A. 12，26 B. 24，26 C. 12，0 D. 6，8- 5 -【答案】A【解析】【分析】复数 是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出 p,q 的值.【详解】因为 是方程 的一个根，所以 ，即 ，所以 ，解得 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.11.已知函数 在 上是减函数，
7、则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】因为函数 在 上是减函数，所以 恒成立，分离参数，求 的最小值即可.【详解】因为 ， 在 上是减函数，所以恒成立，即 ，而 ，所以只需，即 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了导数及导数在函数单调性中的应用，属于难题.解决已知函数单调性，求函数中参数的取值范围问题，一般需要利用导数大于等于零（或小于等于零）恒成立，然后分离参数，转化为求新函数的最值问题来处理.12.已知 都是定义在 R 上的函数，且满足以下条件： 为奇函数， 为偶函数； ；当 时，总有 ，则 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 6 -【解
8、析】【分析】当 时，总有 ,即 ，所以 在 上是增函数，且 在 R 上是奇函数，又 ，所以当 或 时 ，因此可求解 .【详解】令 ，因为 ，所以 在 上是增函数，又 ，故 在 R 上是奇函数，且 ，所以当 或 时，因为 ，所以 或 ，解得 或 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，增减性，函数导数在判定单调性上的应用，解不等式，属于难题.解决此类问题的核心是，根据所给含导数的不等式，构造恰当的函数，并根据所给式子确定所构造函数导数的正负，从而确定构造函数的增减性.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.给出下列不等式:则按此规律可猜想
9、第 个不等式为_【答案】【解析】试题分析：观察给定的式子左边和式的分母是从 1,2,3，直到 ，右边分母为 2，分子为 n+1，故猜想此类不等式的一般形式为： （ ） 。考点：归纳推理。点评：简单题，归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。- 7 -14.利用数学归纳法证明“ ”时，从“ ”变到“ ”时，左边应增乘的因式是 _【答案】【解析】试题分析：当 n=k 时，左边=（k+1） （k+2）（k+k） ，当 n=k+1 时，左边=（k+2） （k+3）（k+k） （2k+1） （2k+2） ，故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是考点：数学归纳法15.曲线 上的点到直线
10、 的最短距离是_【答案】【解析】试题分析：直线斜率是 2，y= =2，x= ，即 y=ln 上( ,ln )处切线斜率是 2所以切线是 y-ln( )=2(x- )，2x-y-1-ln2=0，则和 2x-y+3=0 的距离就是最短距离在 2x-y+3=0 上任取一点(0,3)，到 2x-y-1-ln2=0 距离 = 。考点：导数的几何意义。16.若函数 在 上无极值点，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题意，函数的导数在 R 上恒大于等于零即可， ，分离参数即可.【详解】因为函数在 R 上无极值点，故函数单调递增，所以 恒成立，即恒成立，又 ，所以 .【点睛】本题主要考查了函
11、数单调性，极值，函数的导数，属于中档题.三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） - 8 -17.已知复数（1）m 取什么值时，z 是实数？（2）m 取什么值时，z 是纯虚数？【答案】 （1） ；（2）3【解析】试题分析：本题考查了复数的基本概念，明确实数的条件是复数的虚部是 0，且分式的分母有意义第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为 0 而实部为 0试题解析：（1）解当 时，z 为实数（2）解：当 时，z 为纯虚数考点：复数是实数，纯虚数的条件18.已知函数 .（1）求函数 的极值；（2）求函数 在 上的最大值和最小值.【答案】 （1）极小值为 ,无极大值；（2）
12、 .【解析】试题分析：（1）先写出定义域,再求 ,令 ,得 ,再对 左右侧的导数符号检验,看 是否为极值点；（2）由（1）的结论, 求出最大值和最小值.试题解析：解：（1）函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f (x) ，令 f (x)0 得 x1 或 x1(舍去)， 当 x(0,1)时，函数 f(x)单调递减， 当 x(1，)时，函数 f(x)单调递增， 所以 f(x)在 x1 处取得极小值为 - 9 -（2）由（1）可知函数 f(x)在1，e上为增函数， f(x) minf(1) ，f(x) maxf(e) 考点：1.函数极值的求法；2.函数的最值.19.数列 中， ，前 项的和记为 （
13、1）求 的值，并猜想 的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据通项公式写出前三项，再写出 的值即可（2）用数学归纳法证明即可.【详解】 （1） ， ， ，猜想 （2）证明：当 时， ，猜想成立；假设当 时，猜想成立，即： ；当 时， 时猜想成立由、得猜想 得证【点睛】本题主要考查了数列中归纳、猜想及数学归纳法，属于中档题.20.如图计算由直线 y6x，曲线 以及 x 轴所围图形的面积- 10 -【答案】【解析】【分析】画出函数图象，找到所围成区域，分割为两个区域，分别用定积分求其面积即可.【详解】作出直线 y6x，曲线 y 的草图
14、，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组 得直线 y6x与曲线 y 交点的坐标为(2,4)，直线 y6x 与 x 轴的交点坐标为(6,0)若选 x 为积分变量，所求图形的面积SS 1S 2 - 11 - 8 .【点睛】本题主要考查了函数的图象，定积分求函数所围成区域的面积，定积分的计算，属于中档题.21.已知函数 在 处取得极值（1）求实数 的值；（2）若关于 的方程 在区间 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：（1）令 ，即可求得 值；（2） 在区间 上有两个不同的实根，即 在区间 上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数 在 上最值和极值情况利用
15、导数可以求得，再借助图象可得 的范围试题解析：（1） ， ， （2）所以问题转化为 在 上有两个不同的解，从而可研究函数 在 上最值和极值情况 , 的增区间为 ，减区间为 ，又 ，- 12 -当 时，方程有两个不同解考点：1函数在某点取得极值的条件；2根的存在性及根的个数判断22.已知函数 在 x1 与 x2 处都取得极值(1)求 的值及函数 的单调区间；(2)若对 ，不等式 恒成立，求 c 的取值范围【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）函数在极值点的导数为零，利用 求 ,再利用导数的正负求其单调区间（2）利用函数单调性，分析 的最大值，只需 即可.【详解】(1)f(x)3x
16、22axb，由题意得即 解得f(x)x 3 x26xc，f(x)3x 23x6.令 f(x)0，解得 x2.f(x)的减区间为(1，2)，增区间为(，1)，(2，)(2)由(1)知，f(x)在(，1)上单调递增；在(1，2)上单调递减；在(2，)上单调递增x时，f(x)的最大值即为：f(1)与 f(3)中的较大者f(1) c，f(3) c.当 x1 时，f(x)取得最大值要使 f(x) cf(1) c，即 2c275c，解得 c .c 的取值范围为(，1) .【点睛】本题主要考查了函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的求解，属于难- 13 -题.一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值.
