1、- 1 -蕉岭中学 2018-2019 学年第一学期高二级第一次质检理科数学试题第一部分 选择题（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知集合 ， 则 （ ）|10Ax2|30,BxABA. B. C. D. ,3,12在ABC 中，已知内角 ,C成等差数列，则角 B 为： （ ）A B C D060901203某学校高一年级共有 480 名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划 用系统抽样的方法抽取 30 名学生作为调查对象：将 480 名学生随机从 1480 编号，按编号顺序平均分成 30组(116 号，1
2、732 号，465480 号)，若从第 1 组中用抽签法确定的号码为 5，则第8 组中被抽中学生的号码是 ( )A. 25 B. 133 C. 117 D. 884在三角形 ABC 中，如果 ，那么 A 等于（ ）()()abcbA B C D03060120155 张丘建算经是我国北魏时期数学家张丘建所著，现传本有 92 问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。“张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第二天起，每天比前一天多织相同量的布） ，第一天织 5 尺布，现有一月（按 30 天计） ，共织 390 尺布”
3、，则从第二起每天比前一天多织（ ）尺布。A B C D128116316296. 已知向量 ，若 ，那么 =：（ ）(,),)(,2)abccxaybxyA. 2 B. 1 C. 1 D.2 7已知直线 过点 且与点 ， 等距离，则直线 的方程为（ ）l)4,3(P)2,(A),4(BlA B018yx 0yx- 2 -C 或 D 或01823yx02yx 01832yx02yx8涂老师将 5 个不同颜色的球分给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得 1 个，则事件“甲分得红色球”与“乙分得红色球”是 ( )A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件9有如下四个
4、游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，则可以中奖，小明希望中奖，则他应该选择的游戏是（ ）10如图所示的程序框图，若输出的 ，则判断框内实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 11.已知直三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A B C D 12设 x、 y、 z 为正数，且 ，则（ ）235xyzA2 x3y5z B5 z2x3y C3 y5z2x D3 y2x5z第二部分 非选择题（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷相应题号的位置上.13.若 cos ，且 是第四象限角，则 cos _.15 ( 52)14.
5、 已知 为等差数列，若 ， ，则 _：na124a238a34a15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 ，它的三视图中的俯视图如3右图所示，左 视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_- 3 -16.已知 是锐角三角形 的外接圆的圆心，且 若OABC2tan,A，则 .cossiniBAkOC三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，把答案填在答卷相应题号的位置上17 （本题满分 10 分）已知等差数列 的 前 项和为 , .nanS25,0a（1）求数列 的通项公式;（2）当 为何值时, 取得最大值.n18. （本题满分 12 分）已知
6、是 ABC三内角 ,的对边，且,abc 2cos2bCa（1）求角 B 的大小（2）若 ，且 的面积为 ，求32（i） AC周长；（ii）AC 边的中线 BD 的长度。19（本题满分 12 分）已知圆 M 的方程为 x2 (y2) 21，直线 l 的方程为 x2 y0，点 P 在直线 l 上，过 P 点作圆 M 的切线 PA， PB，切点为 A， B.(1)若 APB60，试求点 P 的坐标；(2)若点 P 的坐标为(2,1)，过 P 作直线与圆 M 交于 C， D 两点，当 CD 时，求直线 CD2的方程20 （本题满分 12 分）在“魅力红谷滩”才艺展示评比中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分
7、布直方图都受到不同程度的损坏，可见部分如图所示- 4 -（1）根据图中信息，将图乙中的频率分布直方图补充完整；（2）根据频率分布直方图估计 选手成绩的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（3）从成绩在80，100的选手中任选 2 人进行 PK，求至少有 1 人成绩在90，100的概率21（本题满分 12 分）在如右图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形， AB CD， DAB60， FC平面ABCD， AE BD， CB CD CF.!(1)求证： BD平面 AED；(2)求二面角 FBDC 的余弦值22 （本题满分 12 分）已知函数 ， ，其中 且 ， .()logafx
8、()2log(2)axxt0a1tR（I）若 ，且 时， 的最小值是2,求实数 的值；4t1,(Ff a（II）若 ，且 时，有 恒成立，求实数 的取值范围.04x)xt- 5 -蕉岭中学高二年级第一次质检理科数学试题参考答案一选择题BBCCD BDCAC CD二填空题13、 14. 12. 15.2 16.265 3 36三、解答题（共 6 个小题，共 70 分）1.解: （1） ， 分 25,0aS12,540.ad解得 . 分14,d分nnan 26（2） 分 1411 dS n52分 ,25nn*当 或 时, 取得最大值 6. 1分 3nS(2)解法二：由 8 分10na解得: 9 分
9、23 当 或 时, 取得最大值 6. 10 分n*nnS18.解：（1）由正弦定理： 1 分2sicosi2inBCA sii()()cosBA 3 分又 ， n2cosnC(0,)i0C 又 ，所以 5 分1B(0,)3B（2）由余弦定理： (1) 7 分222cos4baac由三角形面积公式： 8 分1in4S- 6 -即 (2)由（1） （2）ac222()3()64acacac所以 三角形周长为： 9 分 010在 中分 别使用余弦定理：,ABDC（3）22 cosADB4bc（4）22aBC又因为 ，ADcoscs0（3）+（4）得2264ba所以 12 分B19解：(1)设 P(2
10、m， m)，由题可知 MP2，所以(2 m)2( m2) 24，解得 m0 或 m ，故45所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P .6 分(85， 45)(2)由题意易知 k 存在，设直线 CD 的方程为 y1 k(x2)，由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 ，所以 ，解得 k1 或 k ，故所求直线 CD 的方程为：22 22 | 2k 1|1 k2 17x y30 或 x7 y90. 12 分20 （1）由题图甲的茎叶图知，成绩在 的人数为 1，设参赛选手总人数为 n，则 2 分由题图乙的频率分 布直方图知，成绩在90，100的人数为可得频率分布表如下所示成绩分组频数 1 3 7
11、8 4 2频率 0.04 0.12 0.28 0.32 0.16 0.08所以，补全后的频率分布直方图如图所示- 7 -5 分（2）平均值= 8 分（3）成绩在80，100的选手共有 6 人，记成绩在 的 4 位选手为 ，成绩在 的 2 位选手为 ，则任选 2 人的所有可能情况为共15 种可能，其中至少有 1 人成绩在90，100有 9 种可能，故所求概率为 12 分21解：(1)证明：因为四边形 ABCD 是等腰梯形， AB CD， DAB60，所以 ADC BCD120.又 CB CD，所以 CDB30，因此 ADB90，即 AD BD.又 AE BD，且 AE AD A， AE， AD平
12、面 AED，所以 BD平面 AED. 6 分(2)如图，取 BD 的中点 G，连接 CG， FG，由于 CB CD，因此 CG BD，又 FC平面 ABCD， BD平面 ABCD，所以 FC BD.由于 FC CG C，FC， CG平面 FCG，所以 BD平面 FCG，故 BD FG，所以 FGC 为二面角 FBDC 的平面角在等腰三角形 BCD 中，由于 BCD120，因此 CG CB.12又 CB CF，所以 GF CG，CG2 CF2 5- 8 -故 cos FGC ，因此二面角 FBDC 的余弦值为 .12 分55 5522 【解析】 （I） ，4t24(1)()()2log()loglaaaxxgfxx， 2 分1log4(2)ax易证 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，()h1,41,21()24h ， ， 4 分min()()6xmax()()5h当 时， ，由 ，解得 （舍去）1ain()log1aFxl62a1a当 时， ，由 ，解得 . 6 分0min()l25aloga5综上知实数 的值是 . 7 分a1（II） 恒成立，即 恒成立，()fxglog2l(2)aaxt . 又 ， ， ，1lol2)2aat01,42xt恒成立， . 10 分tx max(2)tx令 ， . 72(),484yax2y故实数 的取值范围为 . 12 分t2,
