1、- 1 -蕉岭中学 2019 届高三摸底考试数学（文科）试题考试用时: 120 分钟 总分:150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ，集合 ，则集合,1,Axyxz,2,BxyxNAB=（ ）A B C D,2(,2)(1,2)2. 欧拉公式 (i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指xieixsnco数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当 时， 被认为是数学上最优美的 公式，数学家们01ixe评价它是“上帝创造的公式”.根
2、据欧拉公式可知，e 2i表示的复数在复平面中位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则 的公差 为（ ）nanS23a936SnadA. 1 B. 2 C. 3 D. 44若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）,xy014yx2zxyA B C D10395下列 判断错误的是（ ）A. “ ”是“ ”的充分不必要条件2ambabB. 若 为假命题，则 均为假命题pq,pqC. 命题“ ”的否定是“ ”32,10xR32,10xRD. “若 ，则直线 和直线 互相垂直”的逆否命题为真命题1ay0ay- 2 -6 函数 的图象大致
3、是（ ）|1|ln)(xf7.设函数 若 为奇函数，则曲线 在点 处321fxaxfxyfx0，的切线方程为（ ）A B C D2yxyx2yxyx8.袋中有 5 个球，其中红色球 3 个，标号分别为 1、2、3；蓝色球 2 个，标号分别为 1、2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于 4 的概率为（ ）A B C D103525079.把曲线 ： 上所有点向右平移 个单位长度，再把得到的曲线上所有点C6sinxy6的横坐标缩短为原来的 ，得到曲线 ，则 关于（ ）对称212CA.直线 B直线 C点 D点4x15x0,12），（ 010.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
4、 ，若 ，ACabc3A，且 ，则 （ ）23sinisncoB6bcA2 B3 C4 D6 11已知过抛物线 ： 的焦点 且倾斜角为 的直线交抛物线于 ， 两点，过C24yxF60 AB， 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，则四边形 的面积为（ ）lMN- 3 -ABC D8364312839643912定义在 上的函数 满足： ， 是 的导函数，Rfx,05fxff fxf则不等式 (其中 为自然对数的底数）的解集为（ ） 41xefeA B C. D0,03,01,3,二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13观察下列式子： ， ， ，根据上述规21213227
5、34律，第 个不等式可能为 n14.设向量 ,若 ，则 =_.1,0abmabm15.函数 log(3)(0yx 且 1) 的图象恒过定点 A，若点 在直线mxn,上，其中 n，则 n的最小值为_16.三棱锥 中，侧棱 底面 ， ， ， ，SABCSABC58B60，则该三棱锥的外接球的表面积为 25三、解答题：本大题共 7 小题，共 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)已知数列 满足 ， na112()2nna*N（1）求数列 的通项公式；na（2）若 ， ，求证：对任意的 ，221loglnnnb12nTb*n.1nT18(本小题满分 12 分)某地
6、区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了了解高一年 级 420 名学生选考科目的意向,随机选取 30 名学生进行了一次调- 4 -查,统计选考科目人数如下表:性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治选考方案确定的有 6 人 6 6 3 1 2 0男生选考方案待
7、确定的有 8 人 5 4 0 1 2 1选考方案确定的有 10 人 8 9 6 3 3 1女生选考方案待确定的有 6 人 5 4 0 0 1 1（1）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？（2）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.（直接写出结果）（3）从选考方案确定的男生中任选 2 名,试求出这 2 名学生选考科目完全相同的概率.19.(本小题满分 12 分)在矩形 所在平面 的同一侧取两点 、 ，使ABCDEF且 ，若 ， ， .DEAF3F41（1）求证：（2）取 的中点 ，求证BGG平 面/（3）求多面体 的体积.E-20.(本小题满分 12 分)已知点 ，
8、圆 ，点 是圆上一动点，12,0F22:36xyM线段 的垂直平分线与 交于点 .1MFN（1）求点 的轨迹方程；N（2）设 的轨迹为曲线 ，曲线 与曲线 的交点为 ，求E0ykx,AB（ 为坐标原点）面积的最大值.OAB21.(本小题满分 12 分)已知函数 ).0(ln)(axf（1）若函数 有零点，求实数 的取值范围；(xf（2）证明：当 时， .ea2xef)(请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请- 5 -写清楚题号22(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数） 在以坐标原点为极点
9、，xOyl tyx(1,3轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线x .4cos2:C（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；l（2）求曲线 上的点到直线 的距离的最大值Cl23(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲已知函数 .21fx（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的210fm,2,Um值；（2）若不等式 对任意的 恒成立，求正实数 的最小32yafxx,xyRa值.- 6 -蕉岭中学 2019 届高三摸底考试数学（文科）试题参考答案112CBAAB BDBBC DA 13. ; 14. ; 15. ; 22113()n132+16. .256317.解：（1）当 时，1n-1
10、 分121()2-naa （ -得 -2 分,*nN,-3 分1()2()2nna，-4 分当 时， 也满足上式，-5 分1所以 -6 分 2na（2）因为 ， -7 分122212logl,loglnnnnaa.-9 分2211logl()nnnba因此 ，-3Tn 1n11 分所以 .-12 分n118.解：（1）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为 ,x因为在选考方案确定的学生的人中, 选生物的频率为.2 分3+6=,810所以选择生物的概率约为所以选择生物的人数约为 人.43,10426x分（2）2 人.6 分（3）设选择物理、生物、化学的学生分别为 123,A- 7 -选择物
11、理、化学、历史的学生为 ,选择物理、化学、地理的学生分别为 .1B12,C7 分所以任取 2 名男生的基本事件有13112,AABC. 共 15 个.21C2 12,AC.9 分所以两名男生所学科目相同的基本事件共有 4 个,分别为10 分1231213,ACA所以， -4.5P-11 分答：从选考方案确定的男生中任选 2 名,试求出这 2 名学生选考科目完全相同的概率为.415要答.12 分19.证明(1) 四边形 是矩形，有所以 ，-1ABCDABD分又 ，- -2 分F,又 ， ，-3 分AF平 面又 ， -4 分B平 面 BAD(2) 连结 交于点 ，则 是 的中位线，-5 分C,OG
12、D故 ，- -6FOG/分又 ， ，-7 分A平 面 AC平 面所以 -8 分CD平 面/（3） -1432143 ECDFABFDEABFEAB VVV-12 分20.解：（1）由已知得 ，所以 ，1NM1226NMNF1321321,ABB- 8 -又 ，所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长等于 6 的椭圆，124FN12,F所以点 的轨迹方程是 -4 分295xy（2）设点 ，则 ，设直线 交 轴于点 ，00,Ay0kxABxD由对称性知 .-6 分212OBADSxy由 解得 ，-7 分02,195ykx202459k .-10 分25OABSkk 352当且仅当 ，即 时取得等号，所以
13、 面积的最大值为 -9k3OAB35212 分21.解：(1)函数 的定义域为xafln)( ).,0(由 ，得 1 分xfl)(1 2xa因为 ，则 时， 时，0a),(a),(;)(f .0)(xf所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增2 分)f a当 时， 3 分x.1ln(mix当 ，即 时，又 ，则函数 有零点 01lnaea0ln)(f )(xf4 分所以实数 的取值范围为 5 分（亦可用分离常数结合图象求解）.1,0e(2)要证明当 时， ，ea2xf)(即证明当 时， ，即 . 6 分x,0ealnxeaxln- 9 -令 ，则axhln)( .1ln)(xh当 时， ；当
14、时， .e100fe0)(f所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增)(xh, ,当 时， 7 分e1.1minae于是，当 时， 8 分a2)(xh令 ，则x)().1( xex当 时， ，当 时，100)(f 0f所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，x, ),(当 时， 9 分.1)(maxe于是，当 时， 10 分0显然，不等式、中的等号 不能同时成立 11 分故当 时， 12 分ea2.)(xef22.解：(1)由 消去 得 . 1 分,13tyt04y所以直线 的普通方程为 2 分l .x由 ，3 分 sin2co4sincos24cos2 得 4 分.in将 代入上式，yxy
15、xsi,co,22得曲线 的直角坐标方程为 ，即 5 分Cx222)1()(2yx(2)设与直线 平行的直线为 . 6 分l 0:byl当直线 与圆 相切时，得 ， 7 分l 21解得 或 （舍去） ，0b4- 10 -所以直线 的方程为 8 分l.0yx所以直线 与直线 的距离为 . 9 分ll 2|4|d所以曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 10 分Cl .（或用参数方程求解亦同样给分）23.解：（1） ，由条件得 ，12fx21xm得 或 ，2xm又不等式的解集为 ，,2,U所以 -5 分3（2）原不等式等价于 ，132yax而 ，所以 ，即 恒成立，1324x4y24yya又 ，所以 ，当且仅当 时取等号4yya1故正实数 的最小值为 4-10 分a
