1、1第 1 讲 不等式的解法与三个“二次”的关系考情考向分析 不等式是数学解题的重要工具，一元二次不等式是江苏考试说明中的 C 级内容，高考会重点考查主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立问题，其次考查不等式与其他知识的综合运用热点一 不等式解法例 1 (1)(2018江苏兴化一中模拟)已知定义在区间2,2上的函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，当2 x0 时， f(x) x2 x，则不等式 f(x) x 的解集为_12答案 1,2解析 当2 x0 时，解 f(x) x 即 x2 x x 得 0 x2，舍去；当 0 x2 时， f(x) f(x2) (x2) 2 (x2)，12 12 1
2、2解 f(x) x 得 x27 x60, 所以 1 x6 ，因此 1 x2；当 x2 时， f(2) f(0) f(2) 2.12 14 32综上，不等式 f(x) x 的解集为 .1， 2(2)解关于 x 的不等式( x2)( ax2)0.解 当 a0 时，原不等式可化为 x20，(x2a)当 a1 时， 0，所以 x2.2a (x 2a) 2a当 a1 时， 2，原不等式化为( x2) 20，所以 xR 且 x2.2a当 02，原不等式化为( x2) 0，则 x .2a (x 2a) 2a当 a1 时，原不等式的解集为Error!；当 a1 时，原不等式的解集为 x|xR 且 x2；当 0
3、0 时的情形跟踪演练 2 (1)已知 m， n 为实数，若关于 x 的不等式 x2 mx n0 的解集为(1,3)，则m n 的值为_答案 5解析 由题意得，1,3 为方程 x2 mx n0 的两根，因此Error!解得m2， n3， m n5.(2)(2018江苏徐州三中月考)已知函数 f(x) x2 ax b 的值域为 ，(a， b R) ( ， 0若关于 x 的不等式 f(x)c1 的解集为 ，则实数 c 的值为_(m 4， m 1)答案 214解析 由题意得 0， a24 b0， f(x) 2 ，由 f(x)c1 有解得 c0，且 a1)若对于1 x10，且 a1)，设 g(x) x2
4、 ax3，由题意得Error!或Error!则 2 a0 对 x(1,2)恒成立，则实数 k 的取值范围是_答案 (，2解析 不等式 x2 kx k10 对 x(1,2)恒成立可化为(1 x)k1 x2对 x(1,2)恒成立，即 k0 的解集是_答案 (，5 a)( a，)解析 由 x24 ax5 a20，得( x5 a)(x a)0，因为 a a.3函数 y 的定义域是 R，则实数 k 的取值范围为 _kx2 4kx k 3答案 0,1解析 由题意知， kx24 kx( k3)0 的解集为 R.(1)当 k0 时，不等式为 30，成立(2)当 k0 时， kx24 kx( k3)0 的解集为
5、 R 等价于函数 y kx24 kx( k3)的图象与 x 轴至多有一个公共点，且图象上的其他点总在 x 轴上方，所以Error!解得 00，则实数 a 的取值范围是_答案 (，5)解析 令 f(x)2 x2 ax2，若存在实数 x1,2满足 2x2 ax20，则 f(1)0 或 f(2)0，即 4 a0 或 102 a0，即 a4 或 a5，故 a5，即实数 a 的取值范围是(，5)6已知函数 f(x)Error!则不等式 f(f(x)3 的解集为_答案 (， 3解析 由题意得 f(f(x)3 f(x)0 或Error! f(x)3 x0 或Error! x .37关于 x 的不等式 x24
6、 ax4 a2 a 0 对任意 xR 都不成立，则实数 a 的取值范1a 1围是_答案 (1，)解析 由题意，不等式 x24 ax4 a2 a 0 的解集为，1a 1则 x24 ax4 a2 a 0 对任意 xR 恒成立，1a 1 16 a24 0， 0.1a 1 a2 a 1a 1又 a2 a1 2 0 恒成立，(a12) 34 a10，即 a1.8已知对于任意的 x(，1)(5，)，都有 x22( a2) x a0，则实数 a 的取值范围是_答案 (1,5解析 令 f(x) x22( a2) x a，则当 4( a2) 24 a0 在 R 上恒成立，符合题意；当 0，即 a1 或 a4 时
7、，函数 f(x)的两个零点都在1,5上，9则Error!解得 4 a5.综上，实数 a 的取值范围是(1,59已知集合 A x|(x6)( x2 a5)0，集合 B x|(a22) x(2a x)0(1)若 a5，求集合 A B；(2)已知 a ，且“ x A”是“ x B”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围12解 (1)由集合 A 中的不等式( x6)( x15)0，解得 x6 或 x15，即 A(，6)(15，)，集合 B 中的不等式为(27 x)(10 x)0，即( x27)( x10)0，解得 10 x27，即 B(10,27)， A B(15,27)(2)当 a 时，2 a56
8、，12 A(，6)(2 a5，)，a222 a， B(2 a， a22)， x A”是“ x B”的必要不充分条件， BA， a226， a2.即实数 a 的取值范围是 .12 (12， 210解关于 x 的不等式： x2(3 a1) x3 a0(aR)解 x2(3 a1) x3 a0( aR)等价于( x3 a)(x1)0( aR)(1)当 a 时，3 a1， x3 a 或 x1；13(2)当 a 时，3 a1， x1；13(3)当 a 时，3 a1， x1 或 x3 a；13综上，原不等式的解集(1)当 a 时为(，3 a)(1，)；13(2)当 a 时为(，1)(1，)；13(3)当 a
9、 时为(，1)(3 a，)13B 组 能力提高11对任意 x1,1，函数 f(x) x2( a4) x42 a 的值恒大于零，则 a 的取值范围10为_答案 (，1)解析 函数 f(x) x2( a4) x42 a 的对称轴为x .a 42 4 a2当 6 时， f(x)在1,1上单调递增，4 a2f(x)的值恒大于零等价于 f(1)1( a4)(1)42 a0，解得 a0，(4 a2 ) (4 a2 ) 4 a2即 a21，即 a0，即 a0 且 a1)在 上恒为正，则实数 a 的取值范围(ax2 x12) 1， 32是_答案 (12， 89) (32， )解析 设 g(x) ax2 x ，
10、 x ，需满足 g(x) ax2 x 0，即 a ，设 h(x)12 1， 32 12 1x 12x2 ，则 h( x) ，1x 12x2 1x2 (1x 1) x ， h( x)0， h(x)在 上单调递减，1，32 1， 32 max ，(1x 12x2) 12从而 a ，可得函数 g(x) ax2 x 的对称轴为12 12x 1 时，函数 f(x)在 上单调递增，1，32 f(1)log a 0a ，(a 112) 32当 0 2 时， f(x)在1,1上单调增，a212g(a) f(1) a2.a24综上， g(a)Error!(2)设 s， t 为方程 f(x)0 的解，且1 t1，
11、则Error!因为 0 b2 a1，所以 s (1 t1) 2tt 2 1 2tt 2当 0 t1 时， st ， 2t2t 2 t 2t2t 2设 g(t) ，则 g( t) ，当 t0,1时， g( t)0，设 h(t) ， 2t2t 2 2tt 4t 22 t 2t2t 2则 h( t) ， 2t2 8t 2t 22当 t0， 2)时， h( t)0，当 t( 2,1时， h( t)0.5 5所以 0， 94 ，23 2t2t 2 13 t 2t2t 2 5所以 b94 .23 5当1 t0 时， st ，t 2t2t 2 2t2t 2因为当 t1,0)时， g( t)0， h( t)0，所以2 0 和3 0， 2t2t 2 t 2t2t 2所以3 b0.故 b 的取值范围是3,94 5
