1、1第 4 讲 几何证明选讲、不等式选讲考情考向分析 1.考查三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理；圆内接四边形的性质与判定，属 B 级要求.2.考查含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属 B 级要求热点一 三角形相似的判定及应用例 1 (2018徐州模拟)如图， AB 是圆 O 的直径，弦 BD, CA 的延长线相交于点 E, EF 垂直BA 的延长线于点 F.求证： AB2 BEBD AEAC.证明 连结 AD， BC，因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AD BD，又 EF AB，则 A， D， E， F 四点共圆
2、，2所以 BDBE BABF.又 ABC AEF，所以 ，即 ABAF AEAC，ABAE ACAF所以 BEBD AEAC BABF ABAF AB AB2.(BF AF)思维升华 在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理同时，要注意等量的代换跟踪演练 1 如图， AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D， C， AC 经过圆心 O，且 BC2 OC.求证：AC2 AD.证明 连结 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D， C，所以 ADO ACB90.又因为 A A，所以 Rt ADORt ACB.所以 .BCOD ACAD又 BC2 OC2 OD，故 A
3、C2 AD.热点二 圆有关定理、性质的应用例 2 (2018江苏南京师大附中模拟)在 ABC 中，已知 AC AB， CM 是 ACB 的角平分线，12 AMC 的外接圆交 BC 边于点 N，求证： BN2 AM.证明 如图，在 ABC 中，因为 CM 是 ACB 的角平分线，3所以 .ACBC AMBM又 AC AB，所以 ，12 ABBC 2AMBM因为 BA 与 BC 是圆 O 过同一点 B 的弦，所以 BMBA BNBC，即 ABBC BNBM由可知， ，2AMBM BNBM所以 BN2 AM.思维升华 本题使用三角形内角平分线定理和圆的切割线定理，灵活进行等量代换，较好体现了化归和转
4、化的数学思想跟踪演练 2 (1)(2018南通、徐州、扬州等六市模拟)如图， A， B， C 是 O 上的 3 个不同的点，半径 OA 交弦 BC 于点 D.求证： DBDC OD2 OA2.证明 如图，延长 AO 交 O 于点 E，则 DBDC DEDA .(OD OE) (OA OD) OE OA， DBDC OA2 OD2.(OA OD) (OA OD) DBDC OD2 OA2.(2)(2018江苏盐城中学模拟)如图，过点 A 的圆与 BC 切于点 D，且与 AB， AC 分别交于点E， F.已知 AD 为 BAC 的平分线求证： EF BC.证明 如图，连结 ED.4因为圆与 BC
5、切于 D，所以 BDE BAD.因为 AD 平分 BAC.所以 BAD DAC.又 DAC DEF，所以 BDE DEF.所以 EF BC.热点三 不等式的证明例 3 (1)(2018南通、徐州、扬州等六市模拟)已知 a， b， c 为正实数，且 a b c ，12求证： 2.1 a cc(a 2b)证明 a, b, c 为正实数， 1 a cc(a 2b) a 2b 3cc(a 2b) 2(a c) 2(b c)ac 2bc 2ac 4bcac 2bc(当且仅当 a b c 时取“”)故原式成立(2)已知 x0， y0，证明：(1 x y2)(1 x2 y)9 xy.证明 因为 x0， y0
6、，所以 1 x y23 0,1 x2 y3 0，3xy2 3x2y故(1 x y2)(1 x2 y)3 3 9 xy.3xy2 3x2y当且仅当 x y1 时，等号成立思维升华 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明跟踪演练 3 已知 a b0，求证：2 a3 b32 ab2 a2b.证明 2 a3 b3(2 ab2 a2b)2 a(a2 b2) b(a2 b2)( a2 b2)(2a b)( a b)(a b)(2a b)因为 a b0，所以 a b0， a b0,2 a b0，从而( a b)(a
7、b)(2a b)0，即 2a3 b32 ab2 a2b.热点四 柯西不等式例 4 (1)(2018淮安等四市模拟)已知 a， b， c， d 都是正实数，且 a b c d1，求证：5 .a21 a b21 b c21 c d21 d 15证明 (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) (a21 a b21 b c21 c d21 d)2(1 aa1 a 1 bb1 b 1 cc1 c 1 dd1 d)( a b c d)21，当且仅当 a b c d 时，等号成立14又(1 a)(1 b)(1 c)(1 d)5， .a21 a b21 b c21 c d21 d 15(2)(2018南京模拟
8、)已知 a， b， c ，且 a b c1，求 (0， ) 2a b 2b c的最大值2c a解 因为(1 21 21 2)( )2( )2( )2(1 1 12a b 2b c 2c a 2a b 2b c)2，2c a即( )29( a b c)2a b 2b c 2c a因为 a b c1，所以( )29, 2a b 2b c 2c a所以 3，2a b 2b c 2c a当且仅当 ，2a b 2b c 2c a即 a b c 时等号成立13所以 的最大值为 3.2a b 2b c 2c a思维升华 利用柯西不等式证明不等式或求最值时，要先根据柯西不等式的结构特征对式子变形，使之与柯西不
9、等式有相似的结构跟踪演练 4 (2018江苏丹阳高级中学模拟)已知正数 x， y， z 满足 x y z4，求 z2的最小值x24 y29解 由柯西不等式得， 2 (x24 y29 z2)(4 9 1) (x22 y33 z1) 2 16，(x y z)所以 z2 ，x24 y29 1614 876当且仅当 ，x22y33 z1即 x ， y ， z 时取“” 87 187 27所以 z2的最小值为 .x24 y29 871(2018江苏)如图，圆 O 的半径为 2， AB 为圆 O 的直径， P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C.若 PC2 ，求 BC 的长3证明
10、 如图，连结 OC.因为 PC 与圆 O 相切，所以 OC PC.又因为 PC2 ， OC2，3所以 OP 4.PC2 OC2又因为 OB2，从而 B 为 Rt OCP 斜边的中点，所以 BC2.2(2018江苏)若 x， y， z 为实数，且 x2 y2 z6，求 x2 y2 z2的最小值证明 由柯西不等式，得( x2 y2 z2)(122 22 2)( x2 y2 z)2.因为 x2 y2 z6，所以 x2 y2 z24，当且仅当 时，不等式取等号，x1 y2 z2此时 x ， y ， z ，23 43 43所以 x2 y2 z2的最小值为 4.3(2017江苏)如图， AB 为半圆 O
11、的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C， AP PC， P 为垂足7求证：(1) PAC CAB；(2)AC2 APAB.证明 (1)因为 PC 切半圆 O 于点 C，所以 PCA CBA，因为 AB 为半圆 O 的直径，所以 ACB90，因为 AP PC，所以 APC90.因此 PAC CAB.(2)由(1)知 PAC CAB，故 ，APAC ACAB即 AC2 APAB.4(2017江苏)已知 a， b， c， d 为实数，且 a2 b24， c2 d216，证明： ac bd8.证明 由柯西不等式，得( ac bd)2( a2 b2)(c2 d2)，因为 a2 b24， c2 d216
12、，所以( ac bd)264，因此 ac bd8.1(2018苏锡常镇四市调研)如图所示， AB 为 O 的直径， AE 平分 BAC 交 O 于 E 点，过 E 作 O 的切线交 AC 于点 D，求证： AC DE.证明 连结 OE，因为 ED 是 O 切线，所以 OE ED.因为 OA OE，所以1 OEA.8又因为12，所以2 OEA，所以 OE AC，所以 AC DE.2.如图，在 ABC 中， AB AC， ABC 的外接圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D.求证： ABD AEB.证明 因为 AB AC，所以 ABD C.又因为 C E，所以 ABD E，又 BAE 为公共角，可
13、知 ABD AEB.3如图， AB 是圆 O 的直径， D， E 为圆上位于 AB 异侧的两点，连结 BD 并延长至点 C，使BD DC，连结 AC， AE， DE.求证： E C.证明 连结 OD，因为 BD DC， O 为 AB 的中点，所以 OD AC，于是 ODB C.因为OB OD，所以 ODB B，于是 B C.因为点 A， E， B， D 都在圆 O 上，且 D， E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，所以 E 和 B 为同弧所对的圆周角，故 E B.所以 E C.4解不等式 x|2 x3|2.解 原不等式可化为Error!或Error!解得 x5 或 x .139综上，原不等
14、式的解集是Error!.5(2018江苏南京师大附中模拟)已知 a0， b0， a b1，求证： .12a 1 42b 1 94证明 方法一 因为 a0， b0， a b1，所以 (2a1)(2 b1)14 52(12a 1 42b 1) 2b 12a 1 42a 12b 19.2b 12a 142a 12b 1而(2 a1)(2 b1)4，所以 .12a 1 42b 1 94当且仅当Error!即 a ， b 时，等号成立16 56方法二 因为 a0， b0，由柯西不等式得(2a1)(2 b1) 2(12a 1 42b 1) ( 12a 12a 1 42b 12b 1)(12) 29.由 a
15、 b1，得 (2 a1)(2 b1)4，所以 .当且仅当Error!12a 1 42b 1 94即 a ， b 时等号成立16 566(2016江苏)设 a0， ，| y2| ，|x 1|a3 a3求证：|2 x y4| a.证明 由 a0，| x1| 可得|2 x2| ，a3 2a3又| y2| ，a3|2 x y4|(2 x2)( y2)|2 x2| y2| a.2a3 a3即|2 x y4| a.7(2018全国大联考江苏卷)如图， AD， BC， CD 是以 AB 为直径的圆的切线，切点分别为A， B， P， AC 和 BD 交于 Q 点10求证： PQ AB.证明 AD， BC 是以
16、 AB 为直径的圆的切线， AD AB， BC AB， AD BC， CQB AQD， .CQAQ BCDA又 DA， DP 是以 AB 为直径的圆的切线， DA DP，同理， CP CB， ， PQ DA，CQQA CPPD又 DA AB， PQ AB.8已知实数 x， y 满足 x23 y21，求当 x y 取最大值时 x 的值解 由柯西不等式，得 x2( y)2 2，3 12 (33)2 (x1 3y33)即 (x23 y2)( x y)2.43而 x23 y21，所以( x y)2 ，43所以 x y ， 233 233由Error! 得Error!所以当且仅当 x ， y 时，( x y)max .32 36 233所以当 x y 取最大值时 x 的值为 .32
