1、- 1 -吴江平望中学 20182019 学年第一学期第二次阶段性测试高二数学试卷（满分：160 分，考试时间：120 分钟） 2018 年 12 月一填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1抛物线 的焦点坐标是 24yx2、双曲线 的渐近线方程为 . 1863、焦距为 8，短轴长为 6，且焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 . x4以 为圆心，半径为 的圆的标准方程为 , 35、若椭圆 的焦点在 轴上，则实数 的取值范围是 .132kyxxk6已知正四棱柱的底面边长是 ，侧面的对角线长是 ，则这个正四棱柱的侧面积335为 7、过抛物线 y2 4x
2、的焦点作直线交抛物线于点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，若 AB7，则 AB 的中点 到抛物线准线的距离为 .M8、棱长为 的正方体的外接球的表面积为 19、已知直线 与圆 ，则 C 上各点到 的距离的最小04:yxl 2)1()(:2yxCl值为 .10已知直线 ， ，平面 ， ，且 ， ，给出下列命题：mnmn 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 nm ； 若 ，则 其中真命题的个数为 .11、设 F1、F 2分别是双曲线 的左、右焦点. 若双曲线上存在点 A，使12byaxF 1AF2=90，且 ，则双曲线的离心率为 .1AF12.已知椭圆 内部的一点为 ， 为右焦点， 为
3、椭圆上一动点，则24xy1(,)3FM的最小值为 MAF- 2 -13、已知椭圆 的两个焦点分别为 ，短轴的一个端点为 P，若)012bayx（ 21F，为钝角，则椭圆离心率的取值范围为 .21PF14.已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆相210xyab23kl交于 两点，若 ，则 AB，FBk二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本题满分 14 分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在 轴上， ，离心率为 ；x2a32(2)焦点的坐标为 ， ，渐近线方程为 . (5,0),)4
4、3yx16. (本题满分 14 分)- 3 -如图，四棱锥 的底面是菱形，且 ，又 是等边三角形， PABCD60ABCPABEF，分别是 的中点 ，(1)求证： 平面 ；E(2)求证： 平面 ./AFP17 （本题满分 14 分）已知圆 ： ，点 C240xy(3,4)E（1）过点 的直线 与圆交与 两点，若 ，求直线 的方程；El,AB2l- 4 -（2）从圆 外一点 向该圆引一条切线，切点记为 ， 为坐标原点，且满足C1(,)PxyMO，求使得 取得最小值时点 的坐标MOP18. (本题满分 16 分)有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶
5、车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 米.若行车道05总宽度 为 米.AB8(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；(2)现有一辆载重汽车宽 米，高 米，试判断该车能否安全通过隧道？3.54.2- 5 -19.（本题满分 16 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点 A(2,1)若 P， Q 是椭圆 C)0(12bayx23上的两个动点，且使 PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴.（1）求椭圆 的方程（2）试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由20、 （本题满分 16 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半C21(0)
6、xyab32径的圆与直线 相切（1）求椭圆 C 的方程；- 6 -（2）设 ， 、 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆(4,0)PMNCx PN于另一点 ，求直线 的斜率的取值范围；CEP（3）在的条件下，证明直线 与 轴相交于定点Ex- 7 -吴江平望中学 20182019 学年第一学期第二次阶段性测试高二数学试卷（满分：160 分，考试时间：120 分钟） 2018 年 12 月命题人： 许建冬 审核人：丁莉萍1填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1抛物线 的焦点坐标是 24yx）（ 0,12、双曲线 的渐近线方程为 .
7、 18632yx3、焦距为 8，短轴长为 6，且焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 . x2159xy4以 为圆心，半径为 的圆的标准方程为 1,23 3)22（）（5、若椭圆 的焦点在 轴上，则实数 的取值范围是 .132kyxxk1,(6已知正四棱柱的底面边长是 ，侧面的对角线长是 ，则这个正四棱柱的侧面积335为 727. 过抛物线 y24 x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，若 AB7，则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为 . 728、棱长为 的正方体的外接球的表面积为 1 39、已知直线 与圆 ，则 C 上各点到 的距离的最小04:yxl 2)1
8、()(:2yxCl值为 .210已知直线 ， ，平面 ， ，且 ， ，给出下列命题：mnmn 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 nm ； 若 ，则 其中真命题的个数为 211、设 F1、F 2分别是双曲线 的左、右焦点. 若双曲线上存在点 A，使12byaxF 1AF2=90，且 ，则双曲线的离心率为 .1AF5- 8 -12.已知椭圆 内部的一点为 ， 为右焦点， 为椭圆上一动点，则214xy1(,)3AFM的最小值为 MAF213、已知椭圆 的两个焦点分别为 ，短轴的一个端点为 P，若)02bayx（ 21，为钝角，则椭圆离心率的取值范围为 .21P），（14.已知椭圆 的离心率为 ，
9、过右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆相210xyab23Fkl交于 两点，若 ，则 AB，FBk二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本题满分 14 分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在 轴上， ，离心率为 ；x2a32(2)焦点的坐标为 ， ，渐近线方程为 . (5,0),)43yx15.解：(1)因为焦点在 轴上，设双曲线的标准方程为 ， x 210,ab其中 . -222cab分由 及离心率 得， ，所以 ， -532ce22235bca分所以，所求双曲线的标准方程为 . -2145xy7 分(
10、2)由焦点的坐标为 ， 知双曲线的焦点在 轴上，(5,0),)x故设双曲线的标准方程为 ，且 ， -9 分210,xyab22=5cab因为渐近线方程为 ，所以 ， 43y43由得 ， ， -1229a216b- 9 -分所以，所求双曲线的标准方程为 . -142196xy分16. (本题满分 14 分)如图，四棱锥 的底面是菱形，且 ，又 是等边三角形， PABCD60ABCPABEF，分别是 的中点 AB，(1)求证： 平面 ；PE(2)求证： 平面 ./C16. (1) 证明：连结 .AC因为 是菱形，且 ，且 是等边三角形，BD60BABC因为 是 的中点，所以 .EE是等边三角形，
11、是 的中点，所以 ， -PAPE-4 分因为 ， 平面 ， 平面 ，ECPECC所以 平面 ， -AB-7 分- 10 -(2) 证明：取 中点 ，连结 .PCGFE，在 中， 分别为 的中点，所以 且 ，D， PDC， /FGCD12又 是菱形， 是 的中点，所以 且 ，ABEAB/AE从而 且 ，故四边形 是平行四边形，-10 分 /FGE所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，FPP所以 平面 . -14 分/PC17. (本题满分 14 分)已知圆 ： ，点 240xy(3,4)E（1）过点 的直线 与圆交与 两点，若 ，求直线 的方程；El,AB2l（2）从圆 外一点 向该圆引一条切线，切
12、点记为 ， 为坐标原点，且满足C1(,)PxyMO，求使得 取得最小值时点 的坐标MOP17、解： 圆 方程可化为 22()()4xy（1）当直线 与 轴垂直时，满足 ，所以此时 2 分 l 3AB:3lx当直线 与 轴不垂直时，设直线 方程为 ，xl()yk即 3 分34yk因为 ，所以圆心到直线的距离2AB 4 分31d由点到直线的距离公式得- 11 -解得 2|1k34k所以直线 的方程为l 6 分374yx所以所求直线 的方程为 或 7 分l374yx（2）因为 ， ，PMO2211()()421POxy化简得即点 在直线 上， 10 分10yx1(,)xy0x当 最小时，即 取得最小
13、，此时 垂直直线POP10yx所以 的方程为 12 分Oyx所以 解得 01yx12xy所以点 的坐标为 14 分P(,)218 （本题满分 16 分）有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 米.若行车道总宽05度 为 米.AB8(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；(2)现有一辆载重汽车宽 米，高 米，试判断该车能否安全通过隧道？3.54.217、解：(1)建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为- 12 -， -2 分2(0)xpy根据题意，此抛物线经过点 ，代入抛物线方程解得 ，(5,)
14、52p所以抛物线的方程为 . -6 分2xy在此方程中令 ，得 ， -8 分4165因此， ，1670.35所以车辆通过隧道时的限制高度为 米. -10 分(2) 对于抛物线 ，令 ，得 ， -13 分2xy5x4920y因为 ，所以，该车不能安全通过隧道. -16 分4970.542219.已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点 A(2,1)若 P， Q 是椭圆)0(12bayx23C 上的两个动点，且使 PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴.（1）求椭圆 的方程（2）试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由19. 解：（1）因为椭圆 C 的离心率为 ，且过点 A(
15、2,1)，23所以 ，解得所以椭圆 C 的方程为 -6 分222314cba28ba128yx- 13 -（2）因为PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在的直线关于直线 x2 对称设直线 PA 的斜率为 k，则直线 AQ 的斜率为k.所以直线 PA 的方程为 y1k(x2)，直线 AQ 的方程为 y1k(x2)设点 ，由),(),(21xQP128)(yxk得 046)6()42kkk（因为点 A(2,1)在椭圆 C 上，所以 x2 是方程的一个根，则 ，所以 同理214kx218k22418kx所以 又 ，221221 46,6x 2221)(ky所以直线 PQ 的斜
16、率 ，21ykPQ所以直线 PQ 的斜率为定值，该值为 .-16 分20、 （本题满分 16 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径C21(0)xyab32的圆与直线 相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 ， 、 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆(4,0)PMNCx PN于另一点 ，求直线 的斜率的取值范围；EP（3）在的条件下，证明直线 与 轴相交于定点Ex20. （本题满分 16 分）解由题意知 ，所以 ，即 ，32cea2234cabe2ab又因为 ，所以 ，故椭圆 的方程为 ： 4 分1b224,1C214xy由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 PNPN()yk- 14 -联立 消去 得： ，2(4)1ykxy 0)16(432)1422 kxk（由 得 ，又 不合题意，222(3)4()6)0k20所以直线 的斜率的取值范围是 或 10 分PN36k36k设点 ，则 ，12(,)(,)xyExy1(,)Mxy直线 的方程为 ， 令 ，得 ，M221021()yx将 代入整理，得 12(4),(4)ykxykx 1214()8x由得 代入整理，得 ，212136,k所以直线 与 轴相交于定点 16 分MEx(1,0)
