1、- 1 -常州市第一中学 2018-2019 学年期初考试高二数学试题（考试时间 120 分钟 满分 160 分）一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题纸相应位置上) 1函数 的最小正周期为 .3sin(2)4yx2不等式 的解集为 .103在等比数列 中, ， ，则 的值为 .na416a5a4已知向量 , ，若 ，则实数 .(1)(2,)bx()bx5函数 的定义域为 .ln()yx6已知直线 与 平行，则实数 .1:240y2:()10lmxym7已知数列 an满足 a115，且 3an1 3 an2若 akak1 0，则正整数 k 8已知两正数
2、 x，y 满足 x4y1，则 的最小值为 .xy9若变量 ， 满足约束条件 ,则 的最小值为 .02y2zxy10已知直线 与圆 ： 相交于 两点，若点 M 在圆 上，且有20kxyO4xy,ABO，则实数 .OMABk11已知函数 ，若 互不相等，且 ，则lg(10)()162fxx,abc()()fafbc的取值范围是 .abc12若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为 ，则 的取m值范围是 13在平面直角坐标系 中，若曲线 上恰好有三个点到直线 的距离为xOy29xyyxb1，则 的取值范围是 .b14已知函数 ，若存在实数 ，当 时， 恒成立，则实数2()4f
3、xt4,xm()fxt的最大值为 .m- 2 -二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15在 中，角 所对的边分别为 ，设 ， ABC, ,abc(3,1)m(cos,in)nA(1)当 时，求 的值；3|n(2)若 ，当 取最大值时，求 1,acm16在四棱锥 P ABCD 中， AB DC， AB平面 PAD， PD AD， AB2 DC， E 是 PB 的中点求证：(1) CE平面 PAD； (2) 平面 PABCE- 3 -17已知圆 O： 24xy(1)设直线 ： ，求直线 被圆 截得的弦长；l10lO(2)设圆 和 轴相交于 A，B 两
4、点，点 P 为圆 上不同于 A，B 的任意一点，直线 PA，PB 交x直线 于 D，E 两点当点 P 变化时，以 DE 为直径的圆 是否经过定点？请证明你的结3 C论；18某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角为 (弧度).(1)求 关于 x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为
5、y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 x 为何值时， y 取得最大值？(扇形的弧长公式： ；扇形的面积公式： )lr 21Slr- 4 -19对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“局部奇函()fxx()(fxf()fx数”.(1)已知二次函数 ， ，试判断 是否为“局部奇函数”，并说明理2()4faxaR()f由；(2)若 是定义在区间 上的“局部奇函数 ”，求实数 的取值范围；()2xfm1, m(3)若 为定义在 R 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围.1243xxf- 5 -20已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 na15()2nna*(N)nanS(1)求
6、的值；13(2)若 1532a 求证：数列 为等差数列； 求满足 的所有数对 2n 24pmS*(N)， ()pm，- 6 -常州市第一中学 2018-2019 学年期初考试高二数学试题答案（考试时间 120 分钟 满分 160 分）一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题纸相应位置上) 1函数 的最小正周期为 .3sin(2)4yx2不等式 的解集为 .101,)23在等比数列 中, ， ，则 的值为 .na416a5a44已知向量 , ，若 ，则实数 .(1)(2,)bx()bx5函数 的定义域为 .(2,3)(3,)ln()yx6已知直线 与 平行
7、，则实数 .21:240y2:()10lmxym7已知数列 an满足 a115，且 3an1 3 an2若 akak1 0，则正整数 k 238已知两正数 x，y 满足 x4y1，则 的最小值为 .9xy9若变量 ， 满足约束条件 ,则 的最小值为 .102y2zxy10已知直线 与圆 ： 相交于 两点，若点 M 在圆 上，且有20kxyO4xy,ABO，则实数 .OMABk311已知函数 ，若 互不相等，且 ，则lg(10)()162fxx,abc()()fafbc的取值范围是 .abc (,2)12若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为 ，则 的取m值范围是 (2
8、,)13在平面直角坐标系 中，若曲线 上恰好有三个点到直线 的距离为xOy29xyyxb1，则 的取值范围是 .b(,314已知函数 ，若存在实数 ，当 时， 恒成立，则实数2()4fxt4,xm()fxt- 7 -的最大值为 .9m- 8 -二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15在 中，角 所对的边分别为 ，ABC, ,abc设 ， (3,1)m(cosin)nA(1)当 时，求 的值；|(2)若 ，当 取最大值时，求 ,acmb16在四棱锥 P ABCD 中， AB DC， AB平面 PAD， PD AD， AB2 DC， E 是 PB 的
9、中点求证：(1) CE平面 PAD； (2) 平面 PABC【证】 （1）取 PA 的中点 F，连 EF， DF 2 分因为 E 是 PB 的中点，所以 EF / AB，且 2FAB因为 AB CD， AB2 DC，所以 EF CD， 4 分，于是四边形 DCEF 是平行四边形， ECD从而 CE DF，而 平面 PAD， 平面 PAD，EDF故 CE平面 PAD 7 分- 9 -（2） （接（1）中方法 1）因为 PD AD，且 F 是 PA 的中点，所以 DFPA因为 AB平面 PAD， 平面 PAD，所以 10 分DFDAB因为 CE DF，所以 ， CEPA因为 平面 PAB， ，所以
10、 平面 PAB PAB， BCE因为 平面 PBC，所以平面 PBC平面 PAB 14 分17已知圆 O： 24xy(1)设直线 ： ，求直线 被圆 截得的弦长；l10lO(2)设圆 和 轴相交于 A，B 两点，点 P 为圆 上不同于 A，B 的任意一点，直线 PA，PB 交x直线 于 D，E 两点当点 P 变化时，以 DE 为直径的圆 是否经过定点？请证明你的结3 C论；解：(1) (2)14(35,0)18某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为
11、10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角为 (弧度).(1)求 关于 x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的- 10 -装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 x 为何值时， y 取得最大值？(扇形的弧长公式： ；扇形的面积公式： )lr 21Slr解：(1)设扇环的圆心角为 ，则 ，302(0)x所以 ，5 分102x(2) 花坛的面积为7 分2 2()(5)1050,(1)xxx 装饰总费用为 ， 98)7110 分所以花坛的面积与装饰总费用的比 ， 2
12、25050=1(7)xxy12 分令 ，则 ，当且仅当 t=18 时取等号，此时17tx39143()010yt2,x答：当 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大16 分- 11 -19对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“局部奇函()fxx()(fxf()fx数”.(1)已知二次函数 ， ，试判断 是否为“局部奇函数”，并说明理2()4faxaR()f由；(2)若 是定义在区间 上的“局部奇函数 ”，求实数 的取值范围；()2xfm1, m(3)若 为定义在 R 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围.1243xxf- 12 -20已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 na15
13、()2nna*(N)nanS(1)求 的值；13(2)若 1532a 求证：数列 为等差数列； 求满足 的所有数对 2n 24pmS*(N)， ()pm，- 13 -【解】(1)由条件，得 ， 得 3 分2137a 132a(2)证明：因为 ，所以 ，15()2nna21452na 得 ， 6 分21n于是 ，353()()4aa所以 ，从而 8 分3414所以 ，12123()()04nnnaaaL所以 ，将其代入式，得 ，429n所以 （常数） ，所以数列 为等差数列 10 分2(1)2naa注意到 ，所以 2122nnSaaL34521()()()naaL，15k由 知 24pmS22343pm所以 ，22(6)()7即 ，又 ，93p*pN，所以 且 均为正整数，212m 923m，所以 ，解得 ，973p104p，所以所求数对为 16 分(104)，
