1、1第二章 第四节 圆周角1如图所示，已知O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，AP=6，BP=2，CP=4，则 PD的长是（ ）A6 B5 C4 D32 若圆的半径是 5，圆心的坐标是（0，0），点 P的坐标是（-4，3），则点 P与O 的位置关系是（ ）A点 P在O 外 B点 P在O 内C点 P在O 上 D点 P在O 外或O 上3如图，已知 AB、AD 是O 的弦，B=30，点 C在弦 AB上，连接 CO并延长 CO交于O 于点D，D=20，则BAD 的度数是（ ）A30 B40 C50 D604如图，在O 中，点 C在优弧 上，将弧 沿 BC折叠后刚好经过 AB的中点 D若O 的半径为，A
2、B=4，则 BC的长是（ ）A B C D 5如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 为O 直径，点 D为O 上一点，若ACD=50，则BAD 的大小为2A 40 B 41C 42 D 456如图，O 的直径 AB垂直于弦 CD，垂足为 E.若 60B，AC=3，则 CD的长为ECBOAA 6 B 23 C 3 D37已知O 的直径 CD=10cm，AB 是O 的弦，AB=8cm，且 ABCD，垂足为 M，则 AC的长为（ ）A cm B cm C cm或 cm D cm或 cm8如图，若 AB是O 的直径，CD 是O 的 弦，ABD55，则BCD 的度数为( )A35 B45C55 D759
3、 O是 的外接圆， 40OCB,则 A的度数是（ ）A 40 B 50 C 60 D 10010如图，O 是ABC 的外接圆，连接 OB、OC，若O 的半径为 2，BAC=60，则 BC的长为（ 3）A 3 B 2 3 C 4 D 4 311如图，已知 AB是ABC 外接圆的直径，A=35，则B 的度数是 12ABC 中，ACB=120，AC=BC=3，点 D为平面内一点，满足ADB=60，若 CD的长度为整数，则所有满足题意的 CD的长度的可能值为 13如图，四边形 ABCD是O 的内接四边形，DE 是 AD的延长线，若CDE=60，则AOC= 14如图，在 O中， B， P， A， C是圆
4、上的点， ， PD CD， CD交 O于 A，若 AC=AD， PD = ，sin PAD = ，则 PAB的面积为_15如图，在直径为 AB的 O中， C， D是 O上的两点， AOD=58， CD AB，则 ABC的度数为_416如图，在O 中，圆心角AOB=100，点 P是 AB上任意一点（不与 A、B 重合，点 C在 AP的延长线上） ，则BPC= .17、.如图，O 是ABC 的外接圆， B=60，AC=8，则O 的直径 AD的长度为 18如图， ABC是O 的内接三角形，如果 10AOC，那么 B_度19如图，ABC 内接于O，BAC120，ABAC，BD 为 O 的直径，BD4，
5、则 BC 520如图，O 是ABC 的外接圆，ACO=45，则B 的度数为_.21如图，在直角坐标系 xOy中，一次函数 y=-x+b (b为常数)的图象与 x轴、y 轴分别相交于点A、B；半径为 5的O 与 x轴正半轴 相交于点 C，与 y轴相交于点 D、E，点 D在点 E上方（1）若 F为 ACD上异于 C、D 的点，线段 AB经过点 F直接写出CFE 的度数；用含 b的代数式表示 FAFB；（2）设 52，在线段 AB上是否存在点 P，使CPE=45?若存在请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由22如图，在半径为 6cm的圆中， 弦 AB长 6 3cm，试求弦 AB所对的圆周角的度数23
6、如图，已知 AB是O 的直径，AB8，点 C在半径 OA上（点 C与点 O、A 不重合） ，过点 C作AB的垂线交O 于点 D，连结 OD，过点 B作 OD的平行线交O 于点 E、交射线 CD于点 F（1）若 EDBE，求F 的度数：6（2）设线段 OCa，求线段 BE和 EF的长（用含 a的代数式表示） ；（3）设点 C关于直线 OD的对称点为 P，若PBE 为等腰三角形，求 OC的长24如图，点 A，B，C，D 在O 上，且 AB=CD，求证：CE=BE25如图，已知 AB为 O的直径， CD是弦，且 ABCD于点 E。连接 AC、 OC、 BC。（1）求证： ACO= BCD。（2）若
7、EB=8cm， CD=24c，求 O的直径。26如图，已知 AB是O 的直径，P 是 BA延长线上一点，PC 切O 于点 C，CG 是O 的弦，CGAB，垂足为 D（1）求证：PCA=ABC（2）过点 A作 AEPC 交O 于点 E，交 CD于点 F，连接 BE，若 cosP= ，CF=10，求 BE的长27如图， AB是半圆的直径，过圆心 O作 AB的垂线，与弦 AC的延长线交于点 D，点 E在 OD上（1）求证： CE是半圆的切线；7（2）若 CD=10， ，求半圆的半径28如图，已知 O的半径为 2， AB为直径， CD为弦 AB与 C交于点 M，将 CD沿着 CD翻折后，点 A与圆心
8、重合，延长 O至 P，使 ，链接 P（ 1）求 CD的长（ 2）求证： P是 O的切线（ 3）点 G为 AB的中点，在 C延长线上有一动点 Q，连接 G交 AB于点 E，交 C于点F（ 与 、 不重合） 则 GEF为一定值请说明理由，并求出该定值8答案：1D试题分析：可运用相交弦定理求解，圆内的弦 AB，CD 相交于 P，因此 APPB=CPPD，代入已知数值计算即可解：由相交弦定理得 APPB=CPPD，AP=6，BP=2，CP=4，PD=APPBCP=624=3故选 D2C试题分析：OP= 243=5，则 OP等于圆的半径，则点 P在O 上故选 C3C试题分析：连接 OA，OA=OB，OA
9、B=B=30，OA=OD，OAD=D=20，BAD=OAB+OAD=50，故选：C4B分析：连接 OD、 AC、DC、OB、OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，如图，利用垂径定理得到ODAB，则 AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出 OD=1，再利用折叠的性质可判断弧 AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到 ，所以 AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形 ODEF为正方形得到 OF=EF=1，然后计算出 CF后得到 CE=BE=3，于是得到BC=3 解：连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，如图，D
10、 为 AB的中点，ODAB，AD=BD= AB=2，9在 RtOBD 中，OD= =1，将弧 沿 BC折叠后刚好经过 AB的中点 D，弧 AC和弧 CD所在的圆为等圆， ，AC=DC，AE=DE=1，易得四边形 ODEF为正方形，OF=EF=1，在 RtOCF 中，CF= =2，CE=CF+EF=2+1=3，而 BE=BD+DE=2+1=3，BC=3 ，故选 B5A试题解析： AB为圆 O的直径，90CB，5AD，504.故选 A.点拨：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.6D试题分析：因为 AB是O 的直径，所以ACB=90,又O 的直径 AB垂直于弦 CD， 60B，所以10在 R
11、tAEC 中，A=30,又 AC=3，所以 CE=12AB= 3,所以 CD=2CE=3，故选：D. 7C试题分析：先根据题意画出图形，由于点 C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论解：连接 AC，AO，O 的直径 CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM= AB= 8=4cm，OD=OC=5cm，当 C点位置如图 1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM= = =3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC= = =4 cm；当 C点位置如图 2所示时，同理可得 OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在 RtAMC 中，AC= = =2 cm故选：C8A解：连接
12、 AD，AB 是O 的直径，11ADB90，ABD55，A90ABD35，BCDA35.9B解： OC, 40BOC 180410BOC ；由圆周角定理可求： 1152A.故选 B.10B解：延长 BO交圆于 D，连接 CD则BCD=90，BDC=BAC=60，O 的半径为 2，BD=4，BC=2 3，故选 B1155试题分析：AB 是ABC 外接圆的直径，C=90，A=35，B=90A=55故答案是：55123、4、5、6试题分析：分类讨论：由于ACB=120，ADB=60，当点 D在ABC 的外接圆上，且点 D在优弧 AB上，可计算出圆的直径得到 3CD 长度6；当点 D在以 C为圆心、C
13、A 为半径的圆上，则CD=3解：AOB=120，ACB=60，当点 D在ABC 的外接圆上，且点 D在优弧 AB上，3OC 长度6；当点 D在以 O为圆心、CA 为半径的圆上，则 CD=3，12CD 长度的可能值为 3、4、5、6故答案为：3、4、5、613120试题分析：利用补角的定义、圆内接四边形的性质求得圆周角B=60；然后根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”即可求得AOC 的度数解：CDE=60，CDE+ADC =180，ADC=120；又B+ADC=180（圆的内接四边形中对角互补） ，B=60；AOC=2B=120（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半） ；故答案是：120
14、142分析：在 RtPAD 中，计算得出 AD1，连接 PC、PB、PA，过 P作 BA垂线于 H点，由 得到PB=PC，再由全等三角形的判定定理可得出PBHPCD，RtPHARtPDA，再得出AC=AD=1，PH=PD ，再由 计算得出结论详解： PD CD， PD = ，sin PAD = ，sin PAD ，AP ，13AD ，连接 PC、PB、PA，过 P作 BA垂线于 H点，如图所示： ，PB=PCB=C，PHB=PDA，BPH=DPC，在PBH 与PCD 中，PBHPCD（ASA） ，BH=CD=2，PH=PD，在 RtPHA 与 RtPDA 中，RtPHARtPDA（HL） ，H
15、A=AD=1AB=BH+HA=3 PAB的面积为 .故答案是：2.点拨：考查的是圆周角定理及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键1561解： AOD=58， ACD= 12 AOD=29 CD AB， CAB= ACD=29 AB是直径，14 ACB=90， ABC=9029=61故答案为：611650.试题分析：在优弧 AB上取点 D，连接 AD、BD，根据圆周角定理求出ADB= 12AOB=50，根据圆内接四边形的性质可得BPC=ADB=50.故答案为：5017、 试题分析：连接 CO，过 O作 OEAC，根据垂径定理可得 AE=4，根据圆周角定理可
16、得AOC=120，进而可得1=30，再根据直角三角形的性质可得 AO=2EO，再利用勾股定理计算出AO长，进而可得 AD长解：连接 CO，过 O作 OEAC，B=60，AOC=120，AO=CO，1=2=30，OEAC，EO= AO，设 AO=x，则 EO= x，AC=8，AE=4，AO 2=AE2+EO2，x 2=42+（ x） 2，解得：x= ，AD= 151850试题分析：弧 AC所对的圆心角是AOC，圆周角是B，B= 21AOC= 100=5019 3.试题分析：BAC=120，AB=AC，ADB=ABC=ACB=30，BD 为直径，BAD=90，在 RtABD 中，由勾股定理可得 A
17、B=12BD=2，过 A作 AEBC 于点E，RtABE 中，可求得 BE= 3，BC= 2，故答案为： 32045解：如图，连接 OA，因 OA=OC，可得ACO=OAC= 45，根据三角形的内角和公式可得AOC=90，再由圆周角定理可得B=45.21 （1）45， 25bFBA；（2） )25,(P试题分析：（1）连接 CD，利用同一条弦所对的圆周角相等求出CFE=45，易证 BE C，根据相似三角形的性质可得 52bFBA；（2）设 xP,由 by得， bAB2，可得方程 0x，然后根据 b的范围即可求解试题解析：（1） 45EF根据“一线三等角”易证 C16 ACFBE即 5b 2（2
18、）如图：同（1）得 25APB，设 xBP,由 by得， bAB2，有052bx，当 b 时，0，不存在当 b=52时，0，存在 ),(P22弦 AB所对的圆周角的度数为 60或 120.试题分析：本题需分情况讨论，设弦 AB所对的圆周角为 P，点 P可能位于优弧上，也可能位于劣弧上，分别对这两种情况计算求解即可.试题解析：如图，设弦 AB在优弧上所对的圆周角为 P，劣弧上所对的圆周角为 P，连接 OA， OB，过 O点作 OC AB，垂足为 C，由垂径定理，得 AC= 12AB=3 3，在 Rt AOC中， OA=6， sin AOC= A= 6= 32，解得 AOC=60，所以， AOB=
19、2 AOC=120，根据圆周角定理，得 P= 12 AOB=60，又 APBP为圆内接四边形，17所以， P=180 P=120.故弦 AB所对的圆周角的度数为 60或 120.23 （1）30；（2）EF=2416a；（3）CO 的长为 43或 172时，PEB 为等腰三角形试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；（2）首先证明HBOCOD（AAS） ，进而利用CODCBF，得出比例式求出 EF的长；（3）分别利用当 PB=PE，不合题意舍去；当 BE=EP，当 BE=BP，求出即可试题解析：（1）如图 1，连接 EO， ADEBBOE=EOD，DOBF，DOE=BEO，
20、BO=EO，OBE=OEB，OBE=OEB=BOE=60，CFAB，FCB=90，F=30；（2）如图 1，作 HOBE，垂足为 H，在HBO 和COD 中 90DCOBE，HBOCOD（AAS） ，18CO=BH=a，BE=2a，DOBF，CODCBF， DOCBF 42aE，EF=216；（3）COD=OBE，OBE=OEB，DOE=OEB，COD=DOE，C 关于直线 OD的对称点为 P在线段 OE上，若PEB 为等腰三角形，设 CO=x，OP=OC=x，则 PE=EO-OP=4-x，由（2）得：BE=2x，当 PB=PE，不合题意舍去；当 BE=EP，2x=4-x，解得：x= 43，当
21、 BE=BP，作 BMEO，垂足为 M，EM= 12PE= 4x， OEB=COD，BME=DCO=90，BEMDOC， BEMDOC，42x，整理得：x 2+x-4=0，19解得：x= 172（负数舍去） ，综 上所述：当 CO的长为 43或 172时，PEB 为等腰三角形24证明：如图，连接 BC，AB=CD，ACB=DBC，又A=D，BC=BC， ABCD，AC=BD，AEC=DEB， ACEDB，CE=BE试题分析：欲证明 CE=BE，只需推知ACEDBE 即可证明：如图，AB=CD， = ， = ，AC=BD又ACD=ABD，即ACE=DBE，在ACE 与DBE 中，ACEDBE（A
22、AS） ，CE=BE25 （1）详见解析；（2） O的直径为 26cm.试题分析：（1）根据垂径定理可得 CE=ED， CBD,由等弧所对的圆周角相等可得BCD=BAC，又因为AOC 是等腰三角形，即可得 OAC= OCA，结论得证；（2）根据垂径定理可得 CE=ED 12CD，设 O的半径为 Rcm，则 OE= R8，在 RtCEO中，根据勾股定理列出以R为未知数的方程，解方程即可求得圆的半径长，从而求得圆的直径的长.试题解析：20证明：(1) AB为 O的直径， CD是弦，且 ABCD于 E， CE=ED， CBD, BCD= BAC, OA=OC . OAC= OCA . ACO= BC
23、D . (2)设 O的半径为 Rcm，则 OE=OBEB=R 8，CE= 12CD= 24=12， 在 RtCEO中，由勾股定理可得,OC2=OE +CE2 ,即 R = (R8) +122,解得 R=13. 2 R=213=26 .答： O的直径为 26cm.26 （1）证明见解析；（2）BE=24分析：（1）连接半径 OC，根据切线的性质得：OCPC，由圆周角定理得：ACB=90，所以PCA=OCB，再由同圆的半径相等可得：OCB=ABC，从而得结论；（2）先证明CAF=ACF，则 AF=CF=10，根据 cosP=cosFAD= ，可得 AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设
24、OC=r，OD=r8，根据勾股定理列方程可得 r的值，再由三角函数 cosEAB= ，可得 AE的长，从而计算 BE的长.详解:证明：（1）连接 OC，交 AE于 H，PC 是O 的切线，21OCPC，PCO=90，PCA+ACO=90，AB 是O 的直径，ACB=90，ACO+OCB=90，PCA=OCB，OC=OB，OCB=ABC，PCA=ABC；（2）AEPC，CAF=PCA，ABCG， ，ACF=ABC，ABC=PCA，CAF=ACF，AF=CF=10，AEPC，P=FAD，cosP=cosFAD= ，在 RtAFD 中，cosFAD= ，AF=10，AD=8，FD= =6，CD=CF
25、+FD=16，在 RtOCD 中，设 OC=r，OD=r8，r2=（r8） 2+162，22r=20，AB=2r=40，AB 是直径，AEB=90，在 RtAEB 中，cosEAB= ，AB=40，AE=32，BE= =2427 （1）见解析；(2)分析: （1）连接 CO，由 且 OC=OB,得 ,利用同角的余角相等判断出BCO+BCE=90，即可得出结论；（2）设 AC=2x，由根据题目条件用 x分别表示出 OA、AD、AB，通过证明 AOD ACB， 列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接 CO. AB是半圆的直径， ACB=90. DCB=180- ACB=90.DCE+BCE=9
26、0. OC=OB, OCB=B. ， OCB= DCE. OCE= DCB=90. OC CE. OC是半径，23 CE是半圆的切线. （2）解：设 AC=2x，在 Rt ACB中， , BC=3x. . OD AB, AOD= ACB=90. A= A， AOD ACB. . ， AD=2x+10, .解得 x=8. .则半圆的半径为 .28 （1） 23CD；（2）证明见解析；（3） 8GEF，理由见解析.试题分析：（1）连接 OC，根据翻折的性质求出 OM，CDOA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出 PC，然后利用勾股定理逆定理求出PCO=90，再根据圆的切线的定义
27、证明即可；（3）连接 GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得BAG=AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出AGE 和FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得 AGFE，从而得到 GEGF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可（ 1）连接 OC，24 CD沿 翻折后， A与 D重合， 121OM， ， ， 22213CDCOM（ ） PA， ， 13M， 90PC， 223， OC， 4，22 2316PPO， 90， 是 的切线（ 3） GE， F为定值，连接 A， ， B，点 G为 ADB的中点，25 GAB， F，又 E， A ， G， 2EF， AB为直径， 4， 5， 2G， 8EF
