1、1第二章 第五节 直线与圆的位置关系1如图，RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=6，以斜边 AB 上的一点 O 为圆心所作的半圆分别与AC、BC 相切于点 D、E，则 AD 为（ ）A25 B16 C15 D12如图，直线 AB 与O 相切于点 A，AC、CD 是O 的两条弦，且 CDAB，若O 的半径为5，CD=8，则弦 AC 的长为（ ）A 10 B 8 C 4 D 43已知O 的半径是 6cm，点 O 到同一平面内直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与O 的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D无法判断4如图，将一块等腰 RtABC 的直角顶点 C 放在O 上，绕点 C
2、 旋转三角形，使边 AC 经过圆心O，某一时刻，斜边 AB 在O 上截得的线段 DE=2cm，且 BC=7cm，则 OC 的长为( ）A 3cm B 207cm C 10cm D 2cm5在平面内，已知O 的半径为 2，OP1, 则点 P 与O 的位置关系是( )A 在圆外 B 在圆上 C 在圆内 D 无法确定6如图，AB 与O 相切于点 B,AC 的延长线交O 于点 C 连结 BC 若A=36，则C 等于（ ）2A 36 B 54 C 60 D 277如图，M 与 x 轴相切于原点，平行于 y 轴的直线交圆于 P、Q 两点，P 点在 Q 点的下方，若 P点的坐标是（2，1） ，则圆心 M 的
3、坐标是（ ）A （0，3） B （0，2.5） C （0，2） D （0，1.5）8直线 l 与圆心 O 的距离为 6，半径 r=5，则直线 l 与O 的位置关系是（ ）A相离 B相切 C相交 D不能确定9 是 的直径， PA切 于点 ， PO交 于点 C;连接 B,若 40P,则等于（ ）A 20 B 25 C 30 D 4010若点 B(a，0)在以点 A(-1，0)为圆心，2 为半径的圆外， 则 a 的取值范围为（ ）A -3a1 B a-3 C a1 D a-3 或 a111O 的半径 r=5cm，圆心到直线 l 的距离 OM=4cm，在直线 l 上有一点 P，且 PM=4cm，则点
4、P 与O 的位置关系是：点 P 在O 12如图，ABC 的一边 AB 是O 的直径，请你添加一个条件，使 BC 是O 的切线，你所添加的条件为 313如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD，则ACO=_14如图，PA、PB 分别切O 于点 A、B，若P=70，点 C 为O 上任一动点，则C 的大小为 15在 RtABC 中,C=90,AC=12cm,BC=5cm,以点 C 为圆心,6cm 的长为半径的圆与直线 AB 的位置关系是_. 16如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆上，AB=8，CBA=30，点 D 在线段 AB 上运动，点 E 与点
5、 D关于 AC 对称，DFDE 于点 D，并交 EC 的延长线于点 F下列结论：CE=CF；线段 EF 的最小值为 23；当 AD=2 时，EF 与半圆相切；若点 F 恰好落在 B C 上，则 AD= 5；当点 D 从点 A 运动到点 B 时，线段 EF 扫过的面积是 163其中正确结论的序号是 417如图，已知直线 y=x+4 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，C 的圆心坐标为 （2，O） ，半径为2，若 D 是C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最小值和最大值分别是 18已知直线 l与O 相切，若圆心 O 到直线 l的距离是 5，则O 的半径是 19如图（1
6、） ，PT 与O 1相切于点 T，PAB 与O 1相交于 A、B 两点，可证明PTAPBT，从而有 PT2=PAPB请应用以上结论解决下列问题：如图（2） ，PAB、PCD 分别与O 2相交于A、B、C、D 四点，已知 PA=2，PB=7，PC=3，则 CD= 20如图， AC 是以 AB 为直径的 O 的弦，点 D 是 O 上的一点，过点 D 作 O 的切线交直线 AC 于点 E， AD 平分 BAE，若 AB10， DE3，则 AE 的长为_521如图，AB 是的直径，C、G 是上两点，且 ,过点 C 的直线 CDBG 于点 D，交 BA的延长线于点 E，连接 BC，交 OD 于点 F.（
7、1）求证：C D 是的切线.（2）若 32FO,求 E 的度数.（3）连接 AD，在（2）的条件下，若 CD= 3，求 AD 的长.22如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，D 是 的中点，过点 D 作 EF 垂直于直线 AC，垂足为 F，交AB 的延长线于点 E(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若 tanA= ，AF=6，求O 的半径623在同一平面直角坐标系中有 6 个点 A（1，1） ，B（-3，-1） ，C（-3，1） ，D（-2，-2） ，(23)E， (04)F， （1）画出 ABC 的外接圆P，并指出点 D与P 的位置关系；（2）若将直线 沿 y轴向上平移，当它经过点 时，设
8、此时的直线为 1l判断直线 1l与P 的位置关系，并说明理由；再将直线 绕点 D按顺时针方向旋转，当它经过点 C时，设此时的直线为 2l求直线 2l与P 的劣弧 C围成的图形的面积 S（结果保留 ）xy654321 O24如图， AB 是半圆 O 的直径， AD 和 BC 是它的两条切线，切点分别为 A 、B ，CO 平分BCD（1）求证：CD 是半圆 O 的切线；（2）若 AD=2 ， CD=5 ，求 BC 的长725如图，已知 AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，点 E 在O 外，EAC=D=60. （1）求ABC 的度数；（2）求证：AE 是O 的切线；（3）当 BC=4 时，求劣
9、弧 AC 的长26如图，A 为O 外一点，AB 切O 于点 B，AO 交O 于 C，CDOB 于 E，交O 于点 D，连接OD若 AB=12，AC=8（1）求 OD 的长；（2）求 CD 的长827如图，已知ABC 内接于O，CD 是O 的切线与半径 OB 的延长线交于点 D，A=30，求BCD 的度数28如图，M 与 x 轴相切于点 C，与 y 轴的一个交点为 A。（1）求证：AC 平分OAM；（2）如果M 的半径等于 4，ACO=30 0，求 AM 所在直线的解析式AMO C xy9答案：1B试题分析：连接 OD、OE，设 AD=x，半圆分别与 AC、BC 相切，CDO=CEO=90，C=
10、90，四边形 ODCE 是矩形，OD=CE，OE=CD，又OD=OE，CD=CE=4-x，BE=6-（4-x）=x+2，AOD+A=90，AOD+BOE=90，A=BOE，AODOBE， ADOEB， 42x，解得 x=16，故选 B2D分析：由 AB 是圆的切线知 AOAB，结合 CDAB 知 AOCD，从而得出 CE=4，RtCOE 中求得 OE=3及 AE=8，在 RtACE 中利用勾股定理可得答案解：直线 AB 与O 相切于点 A，OAAB，又CDAB，10AOCD，记垂足为 E，CD=8，CE=DE= CD=4，连接 OC，则 OC=OA=5，在 RtOCE 中，OE= =3，AE=
11、AO+OE=8，则 AC= ，故选 D3A试题分析：设圆的半径为 r，点 O 到直线 l 的距离为 d，若 dr，则直线与圆相交；若 d=r，则直线与圆相切；若 dr，则直线与圆相离，从而得出答案解：设圆的半径为 r，点 O 到直线 l 的距离为 d，d=5，r=6，dr，直线 l 与圆相交故选：A4A试题分析：过 O 点作 OMAB，ME=DM=1cm，设 MO=h，CO=DO=x，ABC 为等腰直角三角形，AC=BC，MAO=45，AO= 2hAO=7-x，11 27hx，在 RtDMO 中，h2=x2-1，2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17（舍去）或 x=3，故选 A5C试
12、题解析： 点 在圆内.故选 C.点拨：点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.点到圆心的距离小于半径，点在圆内.点到圆心的距离等于半径，点在圆上.点到圆心的距离大于半径，点在圆外.6D试题分析：根据题目条件易求BOA，根据圆周角定理求出C= BOA，即可求出答案AB 与O 相切于点 B，ABO=90，A=36，BOA=54，由圆周角定理得：C= BOA=27，故选 D7B试题分析：过 M 作 MNPQ，交 PQ 于 N，连接 PM，由此可得 N 为 PQ 的中点，又 P 的坐标为（2，1 ） ，过 P 作 PAx 轴，PBy 轴，所以 MN=PB=2，PA=1，设圆心 M 的坐标
13、为（0，m） ，由圆 M 与 x 轴相切于原点，则圆的半径 MP=m（m0） ，NP=NA-PA=OM-PA=m-1，在直角三角形 MNP 中，根据勾股定理得：12m2=（m-1） 2+22，即 2m=5，解得 m=2.5，则圆心 M 的坐标为（0，2.5） 故选 B8A试题分析：O 的半径为 5，r=5， d=6，dr，直线 l 与O 的位置关系是相离故选 A9.解析：本题主要是利用圆的的性质把问题转化到直角三角形和等腰三角形中，来使 问题得以解决. P切 O于点 ， BAP 90O 90PAO; 又 40P 50A; C, B ; CB 152. 故应选 B.10D解析：点 B(a，0)在
14、以点 A(-1，0)为圆心，2 为半径的圆外， 12， a-3 或 a1.故选 D.点拨:本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外.11外.试题分析：由条件计算出 OP 的长度与半径比较大小即可. 由题意可知OPM 为直角三角形，且PM=4cm，OM=4cm，由勾股定理可求得 OP=42cm5cm，故点 P 在O 外.故答案为：外12ABC=9013试题分析：当ABC 为直角三角形时，即ABC=90时，BC 与圆相切，AB 是O 的直径，ABC=90，BC 是O 的切线故答案为：AB
15、C=90考点：切线的判定1322.5，试题解析：如图，PD 切O 于点 C，OCPD，又OC=CD，COD=45，AO=CO，ACO=22.5，1455或 125试题分析：连接 OA，OB，PA、PB 分别切O 于点 A、B，OAPA，OBPB，即PAO=PBO=90，AOB=360PAOPPBO=360907090=110，C= 12AOB=55同理可得：当点 C 在 上时，C=18055=125 故答案为：55或 12515相交试题分析：先根据勾股定理求得 AB 的长 ，再求得点 C 与直线 AB 的距离，再根据直线与圆的位置关系即可得到结果.C=90,AC=12cm,BC=5cm cmA
16、B1352点 C 与直线 AB 的距离为 51360214点 C 为圆心,6cm 的长为半径的圆与直线 AB 的位置关系是相交.16试题分析：连接 CD，如图 1 所示，点 E 与点 D 关于 AC 对称，CE=CD，E=CDE，DFDE，EDF=90，E+F=90，CDE+CDF=90，F=CDF，CD=CF，CE=CD=CF，结 论“CE=CF”正确；当 CDAB 时，如图 2 所示，AB 是半圆的直径，ACB=90，AB=8，CBA=30，CAB=60，AC=4，BC= 43CDAB，CBA=30，CD= 12BC= 3根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点 D 在线段 AB 上运动时
17、，CD 的最小值为 23CE=CD=CF，EF=2CD线段 EF 的最小值为 43结论“线段 EF 的最小值为 23”错误；当 AD=2 时，连接 OC，如图 3 所示，OA=OC，CAB=60，OAC 是等边三角形，CA=CO，ACO=60，AO=4，AD=2，DO=2，AD=DO，ACD=OCD=30，点 E 与点 D 关于 AC 对称，ECA=DCA，ECA=30，ECO=90，OCEF，EF 经过半径 OC 的外端，且 OCEF，EF 与半圆相切，结论“EF 与半圆相切”正确；15当点 F 恰好落在 BC上时，连接 FB、AF，如图 4 所示，点 E 与点 D 关于 AC 对称，EDA
18、C，AGD=90，AGD=ACB，EDBC，FHCFDE，FH：FD=FC：FE，FC= 12EF，FH= FD，FH=DH，DEBC，FHC=FDE=90，BF=BD，FBH=DBH=30，FBD=60，AB 是半圆的直径，AFB=90，FAB=30，FB= AB=4，DB=4，AD=ABDB=4，结论“AD= 25”错误；点 D 与点 E 关于 AC 对称，点 D 与点 F 关于 BC 对称，当点 D 从点 A 运动到点 B 时，点 E 的运动路径 AM 与 AB 关于 AC 对称，点 F 的运动路径 NB 与 AB 关于 BC 对称，EF 扫过的图形就是图 5中阴影部分，S 阴影 =2S
19、ABC =2 12ACBC=ACBC=443=16，EF 扫过的面积为 163，结论“EF 扫过的面积为 63”正确故答案为：1782 和 8+216解析：首先由一次函数解析式求出 OA、OB 的长，而ABE 中，BE 边上的高是 OA，且 OA 为定值，所以求ABE 面积的最小值和最大值，转化为求 BE 的最小值和最大值。过点 A 作C 的两条切线AD、AD，当动点运动到 D 点时，BE 最小，即ABE 面积最小；当动点运动到 D点时，BE 最大，即ABE 面积最大。最后根据比例求出 BE 、BE的值，进而求出ABE 面积的最小值和最大值解：由 y=x+4 得：当 x=0 时，y=4，当 y
20、=0 时，x=4，OA=4，OB=4，ABE 的边 BE 上的高是 OA，ABE 的边 BE 上的高是 4，要使ABE 的面积最大或最小，只要 BE 取最大值或最小值即可，过 A 作C 的两条切线，如图，当动点运动到 D 点时，BE 最小，即ABE 面积最小；当动点运动到 D点时，BE 最大，即ABE 面积最大；x 轴y 轴，OC 为半径，EE是C 切线，AD是C 切线，OE=ED，设 EO=ED=x，AC=4+2=6，CD=2，AD是切线，ADC=90，由勾股定理得：AD=4 ，sinCAD= = ，17 = ，解得：x= ，BE=4+ ，BE=4 ，ABE 的最小值是 （4 ）4=82 ，
21、最大值是： （4+ ）4=8+2 ，故答案为：82 和 8+2 185试题分析：因为直线 l与O 相切，所以 d=r，又圆心 O 到直线 l的距离是 5，所以O 的半径是 5.19 3.试题分析：如图 2 中，过点 P 作O 的切线 PT，切点是 T切割线定理可得 PT2=PAPB=PCPD，已知 PA=2，PB=7，PC=3，即可得 27=3PD，所以 PD=143，即 CD=PDPC=1433=5201 或 9解析：(1)点 E 在 AC 的延长线上时，过点 O 作 OFAC 交 AC 于点 F，如图所示ODOA，OADODA， AD 平分 BAE，18OADODADAC，OD/AE,DE
22、 是圆的切线，DEOD,ODE=E=90 o,四边形 ODEF 是矩形，OFDE，EFOD5，又OFAC，AF 22534OAF，AEAF+EF5+49.（2）当点 E 在 CA 的线上时，过点 O 作 OFAC 交 AC 于点 F，如图所示同（1）可得：EFOD5，OFDE3，在直角三角形 AOF 中，AF 24OAF，AEEFAF541.21 （1）证明见解析；（2）E=30；（3）AD= 13.试题分析：（1）如图 1，连接 OC，AC，CG，由圆周角定理得 到ABC=CBG，根据同圆的半径相等得到 OC=OB，于是得到OCB=OBC，等量代换得到OCB=CBG，根据平行线的判定得到 O
23、CBG，即可得到结论；（2）由 OCBD，得到OCFBDF，EOCEBD，得到 ，根据直角三角形的性质即可得到结论；（3）如图 2，过 A 作 AHDE 于 H，解直角三角形得到 BD=3，DE=3 ，BE=6，在 RtDAH 中，AD= = = 试题解析：（1）证明：如图 1，连接 OC，AC，CG，AC=CG， ，ABC=CBG，19OC=OB，OCB=OBC，OCB=CBG，OCBG，CDBG，OCCD，CD 是O 的切线；（2）解：OCBD，OCFBDF，EOCEBD， ， ，OA=OB，AE=OA=OB，OC= OE，ECO=90，E=30；（3）解：如图 2，过 A 作 AHDE
24、于 H，E=30EBD=60，CBD= EBD=30，CD= ，BD=3，DE=3 ，BE=6，AE= BE=2，AH=1，EH= ，DH=2 ，在 RtDAH 中，AD= = = 故答案为：（1）证明见解析；（2）E=30；（3）AD= 13.22(1)见解析;(2) .分析：连接 OD，由 D 是 的中点得1=2，又 A= BOC，故 A=1，从而 OD AF.易证20 EDO= F=90.故可得结论；（2）设 O 半径为 r,则 OA=OD=OB=r.通过解直角三角形可得解.详解：（1）如图 1，连接 OD. EF AF, F=90. D 是 的中点, 1=2= BOC. A= BOC,
25、 A=1 . OD AF. EDO= F=90. OD EF. EF 是 O 的切线. （2）设 O 半径为 r,则 OA=OD=OB=r.在 Rt AFE 中，tan A= ， AF=6, EF=AFtanA=8. . OE=10-r.cos A= , cos1= cos A=21 r = ， 即 O 的半径为 . 23 （1）详见解析；（2）相切；直线 l2与劣弧 CD 围成的图形的面积为试题分析：（1）所画P 如图所示，由图可知P 的半径为 ，而 PD= 点 D 在P 上（2）直线 EF 向上平移 1 个单位经过点 D，且经过点 G（0，3） ，PG 2=12+32=10，PD 2=5，
26、DG 2=5PG 2=PD2+DG2则PDG=90，PDl 1直线 l1与P 相切PC=PD= ，CD= ，PC 2+PD2=CD2CPD=90 度S 扇形 = ， 直线 l2与劣弧 CD 围成的图形的面积为 24 （1）证明见解析；（2）3试题分析：（1）过点 O 作 OEDC，垂足为 E先证明 ECOBCO，于是得到 OE=OB，从而可知 DC是半圆 O 的切线；（2）由切线长定理可知：DE=DA，EC=CB，从而可求得 BC 的长试题解析：（1）如图所示：过点 O 作 OEDC，垂足为 E22BC 是圆 0 的切线，OBBCCEC=OBC=90CO 平分ECB，ECO=BCO在ECO 和
27、BCO 中， 90ECOB，ECOBCOOE=OBOEDC，OE=OB，DC 是圆 O 的切线（2）AD、DC、CB 是圆的切线，DE=DA，EC=CBBC=DC-AD=5-2=325 （1）ABC=60；（2）证明见解析；（3） .试题分析：（1）ABC 与D 都是弧 AC 所对的圆周角，可得ABC=D=60；由 AB 是直径，可得ACB=90，从而可得BAC=30，由EAC=60，可得EABC=90，即 AE是切线；连接 BC，由已知条件可知BOC 是等边三角形，从而可得弧 AC 所对圆心角的度数，利用弧长公式即可得劣弧 AC 的长.试题解析：（1）ABC 与D 都是弧 AC 所对的圆周角
28、，ABC=D=60；23（2）AB 是O 的直径，ACB=90BAC=30，BAE=BAC+EAC=30+60=90，即 BAAE，AE 是O 的切线；（3）如图，连接 OC，OB=OC，ABC=60，OBC 是等边三角形，OB=BC=4，BOC=60，AOC=120，劣弧 AC 的长为 = 26 （1）5；（2） 试题分析：（1）设O 的半径为 R，根据切线定理得 OBAB，则在 RtABO 中，利用勾股定理得到 R2+122=（R+8） 2，解得 R=5，即 OD 的长为 5；（2）根据垂径定理由 CDOB 得 DE=CE，再证明OECOBA，利用相似比可计算出 CE= ，所以CD=2CE
29、= 解：（1）设O 的半径为 R，AB 切O 于点 B，OBAB，在 RtABO 中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，OB 2+AB2=OA2，R 2+122=（R+8） 2，解得 R=5，OD 的长为 5；（2）CDOB，DE=CE，而 OBAB，24CEAB，OECOBA， = ，即 = ，CE= ，CD=2CE= 2730试题分析：如图，连 接 OC 构建直角OCD 和等边OBC，结合图形，可以得到BCD=90OCB=30试题解析：如图，连接 OC CD 是O 的切线，OCD=90A=30，COB=2=60OC=OB，OBC 是等边三角形，OCB=60，BCD=90OCB
30、=3028 （1）详见解析；（2）AM 所在直线的解析式为 23xy试题分析：(1)利用切线、平行线的性质、等腰三角形的性质可证出第一问.（2）根据勾股定理求出 OA、OC 长继而求出 A、C 点坐标，也可求出 M 点坐标，利用两点坐标求出直线 AM 的解析式.25试题解析：（1）证明： 圆 M 与 x 轴相切于点 C连结 MC，则 MCx 轴 MCy 轴 MCA=OAC 又 MA= MC MCA=MAC OAC =MAC即 AC 平分OAM； （2） ACO=30 0, MCA= 60 0, MAC 是等边三角形 AC= MC=4 在 RtAOC 中，OA=2即 A 点的坐标是（0,2） 又 32422OC M 点的坐标是（ 3,4） 设 AM 所在直线的解析式为 bkxy则 bk3240解得 3k，b=2 AM 所在直线的解析式为 3
