1、- 1 -江苏省徐州市 2017 届高三数学信息卷试题（含解析）参考公式：圆锥的侧面积公式： ，其中 是圆锥底面的周长，为母线长球的表面积公式： ，其中 是球的半径一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合 ， ，则 _【答案】【解析】由并集的定义结合题意可得2. 已知复数 ， ，其中是虚数单位，若 为纯虚数，则 的值为_【答案】-2【解析】 ,该数为纯虚数，则： ，解得： .3. 从 1，2，4，8 这四个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 8 的概率是_【答案】【解析】两个数乘积为 8，则抽得的两个数为 或
2、 两种情况，由古典概型公式可得：所取 2 个数的乘积为 8 的概率是 .4. 某高校调查了 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 ，样本数据分组为 ， ， ， 根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不足 小时的人数是_- 2 -【答案】45【解析】阅读频率分布直方图可得：这 200 名学生中每周的自习时间不足 小时的人数是：人点睛：在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数
3、是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.5. 如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是_【答案】22【解析】流程图执行过程如下：首先初始化数值： ，进入循环体：第一次循环， ，满足判断条件： ；第二次循环， ，满足判断条件： ；第三次循环， ，满足判断条件： ；第四次循环， ，满足判断条件： ；- 3 -第一次循环， ，不满足判断条件：跳出循环，输出 .6. 在平面直角坐标系 中，已知点 到双曲线 的一条渐近线的距离为，则双曲线 的离心率为_【答案】3【解析】双曲线 的一条渐近线设为 bxay=0，可得点 P(0,1)到渐近线的距离
4、为 ，即有 ，可得 .7. 若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为 ， ，则的值是_【答案】【解析】设球的直径为 ，由题意可知：， ，据此可得： .8. 已知函数 ， 若 是奇函数，则 的值为_【答案】-1【解析】函数为奇函数，则： ，据此有： ，令 可得： ，故： ,.9. 已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列，则 的值是_- 4 -【答案】【解析】设数列 an的公比为 q，若 q=1，则 S1=a1=1，2 S2=4a1=4，3 S3=9a1=9，故 S1+3S3=1022 S2，与已知矛盾，故q1， ，由 S1，2 S2，3 S3成等差数列
5、，得 S1+3S3=22S2，即 ，解得： ，则 .点睛：在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 或 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误，10. 已知函数 则不等式 的解集是_【答案】【解析】当 x1 时, y=2xx 的导数为 y=2 xln21，2xln210，可得 f(x)在 R 上单调不减，由不等式可得：当 x1 时, 解得 ；当 0x1 时, x 解得 0x1；当 x0 时,不等式不成立。综上可得,不等式 f(x)f(2x)的解集是 .点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的
6、值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求11. 在 中，若 ， ， ， ，则 的面积为_【答案】【解析】由题意可得： ，则：- 5 -，解得 ，故 ，的面积为 .12. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 在圆 上运动，点 在轴上运动，则 的最小值是 _【答案】3【解析】如图所示，以 AQ,AP 为临边作平行四边形 AQRP，则 ,由于 ，而圆上的点的横坐标最大值为 3，据此可知点 R 位于 y 轴或者 y 轴左侧，数形结合可知当轴，且 R 位于 y 轴时， 取得最小值是 3.13. 若正实数 ， ，满足 ，则 的最大值为_【答案】【解析】 a(a+b+c)=bc， a2+(b+c
7、)abc=0， a 为方程 x2+(b+c)xbc=0 的正根， ，则：- 6 -，当且仅当 b=c 时取等号，即 的最大值为 .点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式14. 已知点 在曲线 ( 是自然对数的底数)上，记曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 若使得 的点 有三个，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】设曲线上一点的坐标为 ，则 ，曲线在点 P 处的切线方程为 ，令 可得： ，令 可得：由题意有： ，即： ,令 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，满足题
8、意时： ，即： ，据此有：实数 的取值范围是 .二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，平面 平面 ， ， 为 的中点- 7 -求证：（1）直线 平面 ；（2）直线 平面 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意证得 OM，然后由直线与平面平行的判断定理证明直线 平面 即可；(2) 利用题意证得 .由线面垂直的判断定理即可证得直线 平面 试题解析：（1）设 AC BD O，连结 OM，因为 是平行四边形，所以 O 为 AC 中点，因为 M 为 的中
9、点，所以 OM 又因为 平面 ， OM 平面 ，所以直线 平面 （2）因为 ，所以 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 又因为 平面 ，所以 因为 ， M 为 的中点，所以 - 8 -又因为 ， 平面 ，所以直线 平面 点睛：证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾检查关键点及答题规范证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步
10、：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回顾检查答题规范16. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 已知 （1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的值【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：(1)边化角，利用两角和差正余弦公式可得 ，则 ；(2)利用正弦定理结合同角三角函数基本关系求得 ，然后结合题意可得.试题解析：（1）由已知得 2acosB ccosB bcosC，由正弦定理得，2sinAcosB sinCcosB sinBcosC sin(B C)， 又 B C A，所以 2sinAcosB sinA，又 A(0 ，) ，sin A 0，所以 cos
11、B，又 B(0 ，) ，所以 B - 9 -（2）由正弦定理得 ，得 sinA ，又 a b，所以 A 为锐角，则 cosA ， 又 A B C ，得 sinC sin( A B) sin(A B)sinAcosB cosAsinB 17. 如图是一块地皮 ，其中 ， 是直线段，曲线段 是抛物线的一部分，且点 是该抛物线的顶点， 所在的直线是该抛物线的对称轴经测量， km，km， 现要从这块地皮中划一个矩形 来建造草坪，其中点 在曲线段上，点 ， 在直线段 上，点 在直线段 上，设 km，矩形草坪 的面积为 km2（1）求 ，并写出定义域；（2）当 为多少时，矩形草坪 的面积最大？【答案】 （
12、1） ，定义域为 ；（2）当 时，矩形草坪 的面积最大 【解析】试题分析：(1)由题意可得函数的解析式为 ，定义域为 ；(2)对函数求导，结合导函数与原函数的关系可得当 时，矩形草坪 的面积最大.试题解析：（1）- 10 -以 O 为原点， OA 边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过点 作 于点 ，在直角 中， ， ，所以 ，又因为 ，所以 ，则 ，设抛物线 OCB 的标准方程为 ，代入点 的坐标，得 ，所以抛物线的方程为 因为 ，所以 ，则 ，所以 ，定义域为 （2） ，令 ，得 当 时， ， 在 上单调增；当 时， ， 在 上单调减所以当 时， 取得极大值，也是最大值 18.
13、如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 过点 ， ，分别为椭圆 的右、下顶点，且 （1）求椭圆 的方程；（2）设点 在椭圆 内，满足直线 ， 的斜率乘积为 ，且直线 ， 分别交椭圆 于点 ， - 11 -(i) 若 ， 关于轴对称，求直线 的斜率；(ii) 求证： 的面积与 的面积相等【答案】 （1） ；（2）(i) ；(ii)见解析【解析】试题分析：(1)由题意求得 ，椭圆的方程为 .(2)(i)设出点的坐标和直线方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于实数 k 的方程，解方程可得 ；(ii)利用题意证得 ，则 的面积与 的面积相等试题解析：（1）由 知， ，又椭圆 过点 ，所以 ，解得 所以椭圆
14、 的方程为 （2）设直线 的斜率为，则直线 的方程为 联立 消去并整理得， ，解得 ， ，所以 因为直线 ， 的斜率乘积为 ，所以直线 的方程 联立 消去并整理得， ，解得 ， ，所以 (i) 因为 ， 关于轴对称，所以 ，即 ，解得 当 时，点 在椭圆 外，不满足题意所以直线 的斜率为 (ii) 联立 解得 - 12 -所以 故 的面积与 的面积相等19. 已知数列 中， ， ， 数列 的前 n 项和为 ，满足， （1）求数列 的通项公式；（2）数列 能否为等差数列？若能，求其通项公式；若不能，试说明理由；（3）若数列 是各项均为正整数的递增数列，设 ，则当 ， ，和 ， ， 均成等差数列时
15、，求正整数， ，的值【答案】 （1） ， ；（2） ，或 ；（3）存在 ， 或 ， ， 【解析】试题分析：(1)利用递推公式构造新数列 为等比数列可求得数列的通项公式为 .(2)假设数列可以是等差数列，分类讨论可得 ，或 .(3)由题意讨论 r,s,t 的关系，构造函数 ，结合函数的性质讨论可得存在 ， ， 或 ， ， 满足条件试题解析：（1）由 ，得 ， 又 ，所以 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，则 ，故 ， - 13 -（2）由 ，得 ，两式相减得 ，即 若 是等差数列，设公差为 ，则 ，因为 ，所以 又 ，即 ，解得 ，或 当 时， ，满足条件 ；当 时， ，也满足条件 故 ，或
16、 （3）由 是各项均为正整数的递增数列，得 ，故 ， ，故由式可得 ，所以 又由式可知 是偶数，所以 代入式得 ，所以 是等差数列 由（2）知， ，所以 若 ，由正整数 ，知 ， 当 时，因此要 式成立，只能有 由 式得 ，即 又 ， ，所以 ，- 14 -显然 是方程的解 当 时，设函数 ，则 ，故 在 上是增函数，所以方程 仅有两解 因此，存在 ， ， 或 ， ， 满足条件20. 已知函数 ， ， ，且 的最小值为 （1）求 的值；（2）若不等式 对任意 恒成立，其中 是自然对数的底数，求 的取值范围；（3）设曲线 与曲线 交于点 ，且两曲线在点 处的切线分别为 ，试判断 ， 与轴是否能围
17、成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由【答案】 （1）2；（2） ；（3） ， 与轴能围成 2 个等腰三角形【解析】试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可求得 a=-2；(2) 不等式即 ，构造函数令 ，分类讨论可得 的取值范围是 (3) 设 ， 的倾斜角分别为 ， ，若 ， 与轴所围成的三角形是等腰三角形，则 或 分类讨论： 和 两种情况可得 ， 与轴能围成 2 个等腰三角形试题解析：（1） ，所以 ，则 的最小值为 ，因此抛物线 的对称轴为 ，即 ，所以 （2）由（1）知， 不等式 即 ，所以 对任意 恒成立 - 15 -令 ，则 若 ，则 ，所以函数 在
18、上单调减，故 ，解得 ，此时无符合题意的 值； 若 ，令 ，解得 列表如下： 极小值 由题意，可知 解得 故 的取值范围为 （3）设 ， 的倾斜角分别为 ， ，则 ， 因为 ，所以 ， ，则 ， 均为锐角若 ， 与轴所围成的三角形是等腰三角形，则 或 当 时， ，即 ，解得 ，而 ，即 ，整理得， ，解得 所以存在唯一的 满足题意 当 时，由 可得 ，而 ，即 ，整理得， - 16 -令 ，则 令 ，解得 列表如下： 极小值 而 ， ， ，所以 在 内有一个零点，也是 上的唯一零点所以存在唯一的 满足题意综上所述， ， 与轴能围成 2 个等腰三角形点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有
19、效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用徐州市 2017 届高三信息卷数学(附加题)本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21. 如图，点 ， ，
20、 ， 在圆 上， ， 的延长线交于点 ， ， 交于点 ，且若 ， ，求 的长- 17 -【答案】1【解析】试题分析：利用题意结合圆的性质和相似三角形的性质可得 DF=1.试题解析：因为 ，所以 因为 ，所以 因为 ， ，所以 ，又 所以 ，故 所以 ，又因为 ，所以 ，则 又因为 ， ，所以 22. 已知矩阵 的一个特征值为 2，其对应的一个特征向量为 若 ，求，的值【答案】 ，的值分别为 ， 【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得，的值分别为 ， 试题解析：由条件知， ，即 ，即 ，所以 解得 所以 则 ，所以 解得所以，的值分别为 ， 23. 在极坐标系中，已知曲线 ，若
21、直线 被曲线 截得的弦长为 ，求正实数 的- 18 -值【答案】2【解析】试题分析：利用极坐标方程联立可得正实数 的值为 2.试题解析：直线与曲线 均过极点 ，令 ，得 ，所以 ，解得 24. 已知 ，且 ， ，求 的取值范围【答案】【解析】试题分析：利用题意结合柯西不等式的结论构造关于实数 a 的不等式，求解不等式可得 的取值范围是 试题解析：因为 ， ， 即 ，所以 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25. 在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ，点在棱 上，且 建立如图所示的空间直角坐标系（1
22、）当 时，求异面直线 与 的夹角的余弦值；（2）若二面角 的平面角为，求的值- 19 -【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：(1)结合题中的空间直角坐标系计算可得异面直线 与 的夹角的余弦值为 .(2)二面角 的平面角为，则平面的法向量 ，据此列方程可解得的值为试题解析：（1）易知 ， ， 因为 ， ，所以 ，当 时， 所以 ， 所以 ，故异面直线 与 的夹角的余弦值为 （2）由 可知， ，所以 ，由（1）知， 设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，解得 ， ，所以平面 的一个法向量为 设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，解得 ， ，所以平面 的一个法向量为 因为二面角 的平面角为，-
23、20 -所以 ，即 ，解得 或 （舍） ，故的值为点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在26. 将边长为 1 的正三角形 各边 等分，过各等分点在 内作边的平行线如图所示是 时的图形记 中边长为的菱形的个数为 （1）写出 的值；（2）求 的值【答案】 （1）3；（2） 【解析】试题分析：(1)画图可得 ；(2)由题意可得递推关系 ，累加即有 试题解析：（1） （2）设与 相邻的平行线为 ，- 21 -则 中边长为的菱形的个数为 考虑 比 增加的菱形数：以 为对角线的菱形数为 ；以 为一边，对边在 上的菱形数为 所以7 分则 ，上述各式相加，得 ，所以 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项
