江苏省扬州中学2019届高三数学上学期10月月考试题.doc

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1、1江苏省扬州中学 2019 届高三数学上学期 10 月月考试题一.填空题1.已知全集 ,集合 ,则 = .4,321U3,2,1QPUPQ2.命题“ ”的否定是 0xRx3. 已知虚数 满足 ,则 z6iz|z4.“ ”是“ ”的 .条件.0)1ln((从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选择填空)5.已知向量 当 三点共(,2)(4,5)(10,)OAkBOCk,ABC线时,实数 的值为 .6. 在 中,角 所对的边分别为 若, ,abc则 _ 2,sin3i,abcCA7. 设函数 满足 ,当 时,)(xf xffsin)(0,则 = .0)(xf

2、628. 已知 , ,则 的值为 .tan)1tan()2sico9.已知函数 的图象关于直线 对称,且当 时,yfxx(0,)x若 则 由大到小的顺序2()log.fx1(3),(),(2),4abfcf,abc是 .10. 若函数 的图象关于点()sinos()(06xx对称,且在区间 上是单调函数,则 的值为 (2,0),36 .211. 已知函数 若关于 的方程 恰24,0()5.xfex()50fax有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数 的取值集合为 .a12. 已知点 在 所在平面内,且OABC4,3,ABO则 取得最大值时线()0,OAB()0,段 的长度是 .C13. 在

3、中,若 则tantan5tan,Csin的最大值为 .14.已知定义在 上的函数 可以表示为一个偶函数 与R1()2xf()gx一个奇函数 之和,设()hx,()htpg2mh2若方程 无实根,则实数 的取值范围是 .1(.m()0pt二.解答题15.已知命题 指数函数 在 上单调递减,命题 关于:26)xfxaR:qx的方程 的两个实根均大于 3.若“ 或 ”为真,“23a210p且p”为假,求实数 的取值范围.q16. 函数 在一个周)0(3sin2cos6)( xxxf期内的图象如图所示, A为图象的最高点, B、 C为图象与 轴的交点,且 ABC为正三角形.3A BDOMCN()求 的

4、值及函数 ()fx的值域;()若 083()5fx,且012(,)3x,求 01的值.17. 已知向量 角 为 的(,)(sin,co(),2AmBC ,ABC内角,其所对的边分别为 ,.ab(1)当 取得最大值时,求角 的大小;(2)在(1)成立的条件下,.n当 时,求 的取值范围.3a2c18. 为丰富农村业余文化生活,决定在 A,B,N 三个村子的中间地带建造文化中心通过测量,发现三个村子分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 和以边 AB 的中心 M 为圆心,以 MC 长为半径的圆弧的中心 N 处,且AB8 km, BC km经协商,文化服务中心拟建在与 A,B42等距离的 O 处

5、,并建造三条道路 AO,BO,NO 与各村通达若道路建设成本 AO,BO 段为每公里 万元, NO 段a2为每公里 a 万元,建设总费用为 万元w(1)若三条道路建设的费用相同,求该文化中心离 N 村的距离;(2)若建设总费用最少,求该文化中心离 N 村的距离. 419. 设 、 2()(fxbc)R(1)若 在 上不单调,求 的取值范围;,b(2)若 对一切 恒成立,求证: ;()|fxx214c(3)若对一切 ,有 ,且 的最大值为 1,求R1()0f23()xf、 满足的条件。bc20. 已知函数 ()xaef(1)若函数 ()fx的图象在 (1,)f处的切线经过点 (0,1),求 a的

6、值;(2)是否存在负整数 a,使函数 x的极大值为正值?若存在,求出所有负整数 的值;若不存在,请说明理由;(3)设 0,求证:函数 ()f既有极大值,又有极小值5理科加试题1.已知矩阵 A ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 13 3c d,属于特征值 1 的一个特征向量为 2 求矩阵 A,并写出 A 的11 3 2逆矩阵2.在长方体 中,1ABCD是棱 的中点,42,FBC点 在棱 上,且 。求直E1113E线 与平面 所成角的正弦值的大小;FDA3. 某商场举办“迎新年摸球”活动,主办方准备了甲、乙两个箱子,其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同),每

7、一个箱子中只有一个红球,其余都是黑球若摸中甲箱中的红球,则可获奖金 m元;若摸中乙箱中的红球,则可获奖金 n元活动规定:参与者每个箱子只能摸一次,一次摸一个球;可选择先摸甲箱,也可先摸乙箱;如果在第一个箱子中摸到红球,则可继续在第二个箱子中摸球,否则活动终止 (1)如果参与者先在乙箱中摸球,求其恰好获得奖金 元的概率;(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大,请你帮他设计摸箱子的顺序,并说明理由4. 已知 ( ) , 是关于 的 次多项式;2()1)nfxN()gx2n(1)若 恒成立,求 和 的值;并写出一个满3(gx1足条件的 的表达式,无需证明()x(2)求证:对于任意给定的正整数 ,

8、都存在与 无关的常数 , ,nx0a1CEBDAA1D1 C1B1F6, ,使得2an221201()()()nnfxaxax1nn扬州中学高三年级 10 月份阶段检测数学试卷答案18.10一.填空题1. 1;2. ;3. ;4.必要不充分;5.2 或2,0xRx511;6. 7. ;.318.1;9.bac;10. 或11. ;12. ;13. ;14. 。5.65,2lne63572m二.解答题15.解:当 为真时, , ;当 为真时,p01aaq,解得:32()0af5.2由题意知 、 一真一假。 (1)当 真 假时, 解得pqpq732,5a7(2)当 假 真时, 解得;apq72,a

9、或 35573.22a或16. 解:() 由已知可得: 2()6coscos3(0)xfxx =3cosx+)3sin(2si3xx又由于正三角形 ABC 的高为 2 ,则 BC=4 所以,函数 4824) , 得, 即的 周 期 Tf 。所以,函数 ,(的 值 域 为xf 。()因为 , 由538)(0f()有 ,)4(sin2)(00xxf54)3(sin0x即 ,由 x0)2,()3(310) , 得,(所以, 5)4(1)4(cos0x即 ,故 )1(0f )3(in320 4)3(sin20x )2534(2 4i)cos(4si 0xx567 817.解:(1) ,令,sin,2A

10、t原式 ,当 ,即 , 时, 取得最大值.(2)当 时, , .由正弦定理得:( 为 的外接圆半径)于是 .由 ,得 ,于是 , ,所以 的范围是 .18.解:(1)不妨设 ,依题意, ,且ABO3,0, ,34MC由 4,34tan.cosAON若三条道路建设的费用相同,则 a)tn4(2cos9所以 所以 。,2)3sin(12由二倍角的正切公式得, ,即3tant83NO答:该文化中心离 N 村的距离为 .)8(km(2)总费用 3,0,tan43cos24即 ,令ain842si,0cos4i2 得当 ,时 , 当, 03inin0 所以当 有最小值,这时,时 ,42s73,7tanN

11、O答:该文化中心离 N 村的距离为 .)74(km19. 解(1)由题意 , ;2bb(2)须 与 同时成立,即2xcxcx, ;2()401b2+14b(3)因为 ,依题意,对一切满足 的实数 ,有|x|2xx()0f10当 有实根时, 的实根在区间 内,设()0fx()0fx2,,所以 ,即 ,又2()fxbc(2)fb40bc,于是, 的最大值为 ,2231(,3xx23()1xf(3)1f即 ,从而 故 ,即9bc8b4802b,解得 45b4,bc当 无实根时, ,由二次函数性质知,()0fx20c在 上的最大值只能在区间的端点处取得,所以,2bc(,3当 时, 无最大值于是, 存在

12、最大值()f2)1xf23()1xf的充要条件是 ,即 ,所以,()3f49bc又 的最大值为 ,即 ,从而5b21xf(3)1f31bc由 ,得 ,38c240bc20b即 所以 、 满足的条件为且 综上: 且0b538c54.b1120.解:(1)2(1)()xaef , (1)f()1fae函数 ()fx在 ,f处的切线方程为: ,又直线过点yaex(0,1 ,解得: )1ae1ae2 分(2)若 0,2()()xf,当 (,)x时, 0f恒成立,函数在 上无极值;(,0)当 0,1时, ()fx恒成立,函数在 上无极值; ,1方法(一)在 ,上,若 ()fx在 0处取得符合条件的极大值

13、 0()fx,则01()xf,5 分则 ,由(3)得: 0201xae,代入(2)得:002011()xxae( )( )( ),结合(1)可解得: 02x,再由00()xaef得:0x02xae,设 ()xh,则 (2)xhe,当 时, ()0hx,即 ()hx是增函数,12所以 024()ahxe,又 ,故当极大值为正数时, 24(,0)ae,从而不存在负整数 a满足条件 8 分方法(二)在 时,令 ,则(1,+)x2()(1)xH()2)xHe 为负整数 (,)x,eaaxa 在 上单调减20ae()0x()x1,)又 , ,使得 (1)H2240ae0(,2)x0()Hx5 分且 时,

14、 ,即 ; 时, ,即 ;0x()0x()fx0x()()fx 在 处取得极大值 (*)()fx0 00()xaef又 代入(*)得:020()(1)xHae001x000()()fxx不存在负整数 满足条件 a8 分(3)设 2()(1)xge,则 ()2)xgae,因为 0a,所以,当 0时, 0, (单调递增;当 0x时,()gx, ()单调递减;故 ()gx至多两个零点又 , 1,所以存在 1(,),使 1()gx13再由 ()gx在 0,)上单调递增知,当 1,时, (x,故 2()0gxf, ()fx单调递减;当 ()x, 时, )0g,故 ()f, f单调递增;所以函数 f在 处

15、取得极小值 1x12 分 当 0x时, xe,且 0,所以 22()(1)(1)gaaxxa,函数 2yx是关于 的二次函数,必存在负实数 t,使 ()0gt,又(0)ga,故在 ,t上存在 2x,使 2()0g,再由 ()g在 ,0)上单调递减知,当 2x时, (gx,故 2()0gxf, ()fx单调递增;当 (,0)时, )0,故 ()f, f单调递减;所以函数 fx在 处取得极大值 2综上,函数 ()既有极大值,又有极小值 16 分理科加试答案1. 解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 可得, 11 3 3c d6 ,即 cd6; 11 11由矩阵 A 属于特征值 1

16、的一个特征向量为 2 ,可得 3 2 3 3c d14 ,即 3c2d2 解得 即 A , A 的逆3 2 3 2 c 2,d 4 ) 3 32 4矩阵是 2. 解:分别以 为 轴,建立如图所示的空间直角坐标1,DCAzyx,系 ,则 ,xyzD1(20)(4)(02),(1),(40)EF所以 ,设平面,11 ,32的一个法向量为 ,由 解得 取AC),(zyxn,01CDnA,yzx,则 ,因为 , , ,所以1y)2,(4|EF3|1nEF,因为 ,所以nEF,cos| 2310,cos是锐角,是直线 与平面 所成角的余角,所以直线,EFACD1与平面 所成角的正弦值为 EFACD142

17、3. 解:(1)设参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n元为事件 M则 3()4PM 即参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 元的概率为 4分(2)参与者摸球的顺序有两种,分别讨论如下:先在甲箱中摸球,参与者获奖金 x可取 0,mn+ 则 3121(0),()()4436432PmPxx= 15310()46241mnEmnx=+=+ 6 分先在乙箱中摸球,参与者获奖金 h可取 0,则 2131(0),(),()34342PnPn2mEh=+=+8 分21mnx-当 时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金期望值较3n大;当 2m=时,两种顺序参与者获奖金期望值相等;当 3n时,先在

18、乙箱中摸球,再在甲箱中摸球,参与者获奖金期望值较大答:当 时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金期望2m值较大;当 3n=4. 解:(1)令 ,则 ,即 ,1x()(1)fg()10gf因为 ,所以 ; ()30nf0令 ,则 ,即 ,x23()()f()()fg因为 ,因为 ,所以 ;(1)g1nf10例如 2()nxN(2)当 时, ,故存在常数 ,22()fxx0a,1a16使得 201()fxax假设当 ( )时,都存在与 无关的常数 , , ,nkNx0a12,k使得 2212101()()()()kkkkkfxaxaxaxax,即 22212101()()()()()kk

19、kkkk则当 时,1n2122()()(1)k kfxxx101()k kkkaaxa 122011 10(kkxx 2121)kkk x 3 322011110( kkaxaxaa 2 102032 23)()()()kkxax 121211()()()kk kk kaxaxa12232 000xa101021()()()()kk kxx ;2121k kk kaax令 , , ( ) ,001a2mmk17;112kkaa故存在与 无关的常数 , , , , ;使得x01a2ka12 2210()()()()kk kkf xxxax 综上所述,对于任意给定的正整数 ,都存在与 无关的常数 ,n0, , ,1a2na使得 2212101()()()()nnnnnfxxaxaxax

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