1、1江苏省扬州中学 2019 届高三数学上学期 10 月月考试题一.填空题1.已知全集 ，集合 ，则 = .4,321U3,2,1QPUPQ2.命题“ ”的否定是 0xRx3. 已知虚数 满足 ，则 z6iz|z4.“ ”是“ ”的 .条件.0)1ln(（从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选择填空）5.已知向量 当 三点共(,2)(4,5)(10,)OAkBOCk,ABC线时，实数 的值为 .6. 在 中，角 所对的边分别为 若, ,abc则 _ 2,sin3i,abcCA7. 设函数 满足 ，当 时，)(xf xffsin)(0，则 = .0)(xf
2、628. 已知 ， ，则 的值为 .tan)1tan()2sico9.已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时，yfxx(0,)x若 则 由大到小的顺序2()log.fx1(3),(),(2),4abfcf,abc是 .10. 若函数 的图象关于点()sinos()(06xx对称，且在区间 上是单调函数，则 的值为 (2,0),36 .211. 已知函数 若关于 的方程 恰24,0()5.xfex()50fax有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数 的取值集合为 .a12. 已知点 在 所在平面内，且OABC4,3,ABO则 取得最大值时线()0,OAB()0,段 的长度是 .C13. 在
3、中，若 则tantan5tan,Csin的最大值为 .14.已知定义在 上的函数 可以表示为一个偶函数 与R1()2xf()gx一个奇函数 之和，设()hx,()htpg2mh2若方程 无实根，则实数 的取值范围是 .1(.m()0pt二.解答题15.已知命题 指数函数 在 上单调递减，命题 关于:26)xfxaR:qx的方程 的两个实根均大于 3.若“ 或 ”为真,“23a210p且p”为假,求实数 的取值范围.q16. 函数 在一个周)0(3sin2cos6)( xxxf期内的图象如图所示, A为图象的最高点, B、 C为图象与 轴的交点,且 ABC为正三角形.3A BDOMCN()求 的
4、值及函数 ()fx的值域；()若 083()5fx,且012(,)3x,求 01的值.17. 已知向量 角 为 的(,)(sin,co(),2AmBC ,ABC内角，其所对的边分别为 ,.ab（1）当 取得最大值时，求角 的大小；（2）在（1）成立的条件下，.n当 时，求 的取值范围.3a2c18. 为丰富农村业余文化生活，决定在 A,B,N 三个村子的中间地带建造文化中心通过测量，发现三个村子分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 和以边 AB 的中心 M 为圆心，以 MC 长为半径的圆弧的中心 N 处，且AB8 km， BC km经协商，文化服务中心拟建在与 A,B42等距离的 O 处
5、，并建造三条道路 AO,BO,NO 与各村通达若道路建设成本 AO,BO 段为每公里 万元， NO 段a2为每公里 a 万元，建设总费用为 万元w（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离 N 村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离 N 村的距离. 419. 设 、 2()(fxbc)R（1）若 在 上不单调，求 的取值范围；,b（2）若 对一切 恒成立，求证： ；()|fxx214c（3）若对一切 ，有 ，且 的最大值为 1，求R1()0f23()xf、 满足的条件。bc20. 已知函数 ()xaef（1）若函数 ()fx的图象在 (1,)f处的切线经过点 (0,1)，求 a的
6、值；（2）是否存在负整数 a，使函数 x的极大值为正值？若存在，求出所有负整数 的值；若不存在，请说明理由；（3）设 0，求证：函数 ()f既有极大值，又有极小值5理科加试题1.已知矩阵 A ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 13 3c d，属于特征值 1 的一个特征向量为 2 求矩阵 A，并写出 A 的11 3 2逆矩阵2.在长方体 中，1ABCD是棱 的中点，42,FBC点 在棱 上，且 。求直E1113E线 与平面 所成角的正弦值的大小；FDA3. 某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每
7、一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球若摸中甲箱中的红球，则可获奖金 m元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金 n元活动规定：参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止 （1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金 元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由4. 已知 （ ） ， 是关于 的 次多项式；2()1)nfxN()gx2n（1）若 恒成立，求 和 的值；并写出一个满3(gx1足条件的 的表达式，无需证明()x（2）求证：对于任意给定的正整数 ，
8、都存在与 无关的常数 ， ，nx0a1CEBDAA1D1 C1B1F6， ，使得2an221201()()()nnfxaxax1nn扬州中学高三年级 10 月份阶段检测数学试卷答案18.10一.填空题1. 1；2. ；3. ；4.必要不充分；5.2 或2,0xRx511；6. 7. ；.318.1；9.bac；10. 或11. ；12. ；13. ；14. 。5.65,2lne63572m二.解答题15.解：当 为真时， ， ；当 为真时，p01aaq，解得：32()0af5.2由题意知 、 一真一假。 （1）当 真 假时， 解得pqpq732,5a7（2）当 假 真时， 解得;apq72,a
9、或 35573.22a或16. 解：() 由已知可得: 2()6coscos3(0)xfxx =3cosx+)3sin(2si3xx又由于正三角形 ABC 的高为 2 ,则 BC=4 所以,函数 4824) ， 得， 即的 周 期 Tf 。所以，函数 ,(的 值 域 为xf 。()因为 ， 由538)(0f()有 ，)4(sin2)(00xxf54)3(sin0x即 ，由 x0)2,()3(310） ， 得，（所以, 5)4(1)4(cos0x即 ，故 )1(0f )3(in320 4)3(sin20x )2534(2 4i)cos(4si 0xx567 817.解：（1） ，令，sin,2A
10、t原式 ，当 ，即 ， 时， 取得最大值.（2）当 时， ， .由正弦定理得：（ 为 的外接圆半径）于是 .由 ，得 ，于是 ， ，所以 的范围是 .18.解：（1）不妨设 ,依题意， ，且ABO3,0， ，34MC由 4,34tan.cosAON若三条道路建设的费用相同，则 a)tn4(2cos9所以 所以 。,2)3sin(12由二倍角的正切公式得， ，即3tant83NO答：该文化中心离 N 村的距离为 .)8(km（2）总费用 3,0,tan43cos24即 ，令ain842si,0cos4i2 得当 ，时 ， 当， 03inin0 所以当 有最小值，这时，时 ，42s73,7tanN
11、O答：该文化中心离 N 村的距离为 .)74(km19. 解（1）由题意 ， ；2bb（2）须 与 同时成立，即2xcxcx， ；2()401b2+14b（3）因为 ，依题意，对一切满足 的实数 ，有|x|2xx()0f10当 有实根时， 的实根在区间 内，设()0fx()0fx2,，所以 ，即 ，又2()fxbc(2)fb40bc，于是， 的最大值为 ，2231(,3xx23()1xf(3)1f即 ，从而 故 ，即9bc8b4802b，解得 45b4,bc当 无实根时， ，由二次函数性质知，()0fx20c在 上的最大值只能在区间的端点处取得，所以，2bc(,3当 时， 无最大值于是， 存在
12、最大值()f2)1xf23()1xf的充要条件是 ，即 ，所以，()3f49bc又 的最大值为 ，即 ，从而5b21xf(3)1f31bc由 ，得 ，38c240bc20b即 所以 、 满足的条件为且 综上： 且0b538c54.b1120.解：（1）2(1)()xaef , (1)f()1fae函数 ()fx在 ,f处的切线方程为： ，又直线过点yaex(0,1 ，解得： )1ae1ae2 分（2）若 0，2()()xf，当 (,)x时， 0f恒成立，函数在 上无极值；(,0)当 0,1时， ()fx恒成立，函数在 上无极值； ,1方法（一）在 ,上，若 ()fx在 0处取得符合条件的极大值
13、 0()fx，则01()xf，5 分则 ，由（3）得： 0201xae，代入（2）得：002011()xxae（ ）（ ）（ ），结合（1）可解得： 02x，再由00()xaef得：0x02xae，设 ()xh，则 (2)xhe，当 时， ()0hx，即 ()hx是增函数，12所以 024()ahxe，又 ，故当极大值为正数时， 24(,0)ae，从而不存在负整数 a满足条件 8 分方法（二）在 时，令 ，则(1,+)x2()(1)xH()2)xHe 为负整数 (,)x,eaaxa 在 上单调减20ae()0x()x1,)又 ， ，使得 (1)H2240ae0(,2)x0()Hx5 分且 时，
14、 ，即 ； 时， ，即 ；0x()0x()fx0x()()fx 在 处取得极大值 （*）()fx0 00()xaef又 代入（*）得：020()(1)xHae001x000()()fxx不存在负整数 满足条件 a8 分（3）设 2()(1)xge，则 ()2)xgae，因为 0a，所以，当 0时， 0， (单调递增；当 0x时，()gx， ()单调递减；故 ()gx至多两个零点又 ， 1，所以存在 1(,)，使 1()gx13再由 ()gx在 0,)上单调递增知，当 1,时， (x，故 2()0gxf， ()fx单调递减；当 ()x， 时， )0g，故 ()f， f单调递增；所以函数 f在 处
15、取得极小值 1x12 分 当 0x时， xe，且 0，所以 22()(1)(1)gaaxxa，函数 2yx是关于 的二次函数，必存在负实数 t，使 ()0gt，又(0)ga，故在 ,t上存在 2x，使 2()0g，再由 ()g在 ,0)上单调递减知，当 2x时， (gx，故 2()0gxf， ()fx单调递增；当 (,0)时， )0，故 ()f， f单调递减；所以函数 fx在 处取得极大值 2综上，函数 ()既有极大值，又有极小值 16 分理科加试答案1. 解：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 可得， 11 3 3c d6 ，即 cd6； 11 11由矩阵 A 属于特征值 1
16、的一个特征向量为 2 ，可得 3 2 3 3c d14 ，即 3c2d2 解得 即 A ， A 的逆3 2 3 2 c 2，d 4 ) 3 32 4矩阵是 2. 解：分别以 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标1,DCAzyx,系 ，则 ，xyzD1(20)(4)(02),(1),(40)EF所以 ，设平面,11 ,32的一个法向量为 ，由 解得 取AC),(zyxn,01CDnA,yzx，则 ，因为 ， ， ，所以1y)2,(4|EF3|1nEF,因为 ，所以nEF,cos| 2310,cos是锐角，是直线 与平面 所成角的余角，所以直线,EFACD1与平面 所成角的正弦值为 EFACD142
17、3. 解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 n元为事件 M则 3()4PM 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 元的概率为 4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：先在甲箱中摸球，参与者获奖金 x可取 0,mn+ 则 3121(0),()()4436432PmPxx= 15310()46241mnEmnx=+=+ 6 分先在乙箱中摸球，参与者获奖金 h可取 0,则 2131(0),(),()34342PnPn2mEh=+=+8 分21mnx-当 时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较3n大；当 2m=时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当 3n时，先在
18、乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大答：当 时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望2m值较大；当 3n=4. 解：（1）令 ，则 ，即 ，1x()(1)fg()10gf因为 ，所以 ； ()30nf0令 ，则 ，即 ，x23()()f()()fg因为 ，因为 ，所以 ；(1)g1nf10例如 2()nxN（2）当 时， ，故存在常数 ，22()fxx0a，1a16使得 201()fxax假设当 （ ）时，都存在与 无关的常数 ， ， ，nkNx0a12，k使得 2212101()()()()kkkkkfxaxaxaxax，即 22212101()()()()()kk
19、kkkk则当 时，1n2122()()(1)k kfxxx101()k kkkaaxa 122011 10(kkxx 2121)kkk x 3 322011110( kkaxaxaa 2 102032 23)()()()kkxax 121211()()()kk kk kaxaxa12232 000xa101021()()()()kk kxx ；2121k kk kaax令 ， ， （ ） ，001a2mmk17；112kkaa故存在与 无关的常数 ， ， ， ， ；使得x01a2ka12 2210()()()()kk kkf xxxax 综上所述，对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ，n0， ， ，1a2na使得 2212101()()()()nnnnnfxxaxaxax
