1、1江苏省沭阳县修远中学等三校 2019 届高三数学 12 月份联考试题（扫描版）2345数学试题参考答案1、填空题：每小题 5 分，共计 70 分1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ,1,0101453yx2348. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 34,228,98ln,5二、解答题15.解：（1） ()sin(cos)(cos3s)fxxxx4 分 3321in2127 分T（2） 即 sincosinsicoABCsi()sinicosABC,10 分0C1,23又 ，()sin()2f时 取到最大值 12 分3,0B6()2Bf此时 ,又 14 分2A13,sin2
2、ABCcbSbc16.解（1）因为函数 的是定义在区间 上的减函数，奇函数，fx,然后将所求不等式等价转化为即lg2fxf， 21lg)(f.4 分由此求得解集为 19,3.7 分（2）由题意知： 时， 值域有交集0,1xfxg与6时， 是减函数.0,1x2lg1fxx-0fx， ，.9 分当 时， 时单调递减，a2,0xga1x， ， 2a11 分当 时， 时单调递增，0a2,01xga显然不符合. 1,gx，.13 分综上： 的取值范围为 a2,.14 分17.解：（1） 设矩形的另一边长为 ，则,/BCDEy2240xySABCDE。 2 分xy40又 ，即 ，得 。3 分330x301
3、x)(SDEFG 4)2(当且仅当 =20 时面积取得最大值； 6 分“x（2） ， =21)0(1023 xS 80421x= ， 8 分321S242804)(xx3,不妨令 ， ，令f)(3,10,1,40t则 ,86082tttg 3,t216)(tt3,1,7在 时单调递减，当 时 取得最小值)(tg30,130t)(tg310此时 的最小值为 ，此时 的取值为32S95122x10.12 分答：（1） 的取值范围 ；矩形花园 面积的最大值为 400 平方米；x301xDEFG（2） 的最小值为 ，此时 的值为 10 米. 14321S95分18.解：(1)由 ， 2 分axxf2l
4、n)(可得 ,0,2l)( ag所以 ，因为 ， 由 得 ；x1 ,0)(xga21列表得： a2,0a21,)(xg0 递增 递减所以 时，0a的单调增区间为 ；单调减区间为 .6 分)(xga21,0,21a（2）由（1）可得 ， .7 分)(f当 时， ，由（1）知 在 单调递增，0a2)(xfa21,0可得当 时 当 时，,x,0)(xf ,)(f所以 在 内单调递减，在 内单调递增，)(f1, a21,所以 在 处取得极小值，符合题意. .10 分x当 时, , 在 单调递增,在 内单调递减,2a)(xf1018所以当 时 单调递减,不符合题意13 分,0x,0)(xf)(f当 时,
5、 ，当 时 单调递增，21a1a12a,0)(xf)(f当 时 单调递减.,x,0)(xf)(f所以 在 处取得极大值，不符合题意.)(f综上可知，实数 的取值范围为 . .16 分 a21,19.解：（1） ； ,12.4 分由已知有 ，22133231 nnaaa 得 .213231 ann两式相减，得 ，12因为 ，所以 ， 0n221aann.6 分由上式有 ,3222121 ann两式相减，得 an因为 ，得 ， 01n1.8 分由知 ，2,1a有 .12nn所以 .an.10 分（2）由 ，把这些数表示成如下数表的形式：njibjiji 129nnn222331311将此表对称地补
6、成一个 的数表：n.nnn nn222313313221311 12 分数表中第一行的和为 ，)12(2131 nnM第二行的和为 ，)(2n第 行的和为 . . n)1(nn14 分则 nnM222121 432 43nn 所以 .1231n16 分20. 解：（1） xfeaxfea得 ，0)(f 1)(,)1(,fa函数 在点 处的切线方程为xf )(xey分 ；410（2） aexf)(当 时， 恒成立 为增函数，0a0fx函数 至多有一个零点，不符合题意； 5 分fx当 时，令 ，解得 xfealnxa在 单调递减，在 单调递增，fx,lnal,函数 有两个不同的零点12x极小值 ，
7、fxlnl lnafea0解得 ； 6 分2ea因为函数 是 上的连续函数，在 单调递减fxR,l又因为 ， 7 分0)1(e由零点定理知函数 在区间 上存在唯一一个零点；fxaln,1又因为 ，其中 ，)l2()ln2(af 2e设 ， ，ape01)(ap在 单调递增， ，)(,2eln2)(a3)(2e， 9 分01ln(lnf函数 在 单调递增，x,a由零点定理知函数 在区间 上存在唯一一个零点.fxaln2,综上可知，函数 有两个不同的零点时， 2e分 ；10 ， 120xf 分 ；1证明如下：有两个不同的零点 ， 不妨设1212xfeaxfx12,x,21x111 1220x xe
8、aea 121212xxefx121212xxfx 分 ；112212x12112121212 xxxxxeef 12112xxxee 分 ；14设 ，则021x1211 2xxeeT设 =e 0e在 单调递减0,+，进而；0T120xf综上可得: 为负.)2(1xf .16分数学(附加题)参考答案21B 解：设曲线 C 上的任意一点 P(x， y)， P 在矩阵 A 对应的变换下得到点1 21 0Q(x， y)12则 ， 即 x2 y x， x y，1 21 0xy xy 所以 x y， y x y25 分代入 x22 xy2 y21，得 y22 y 2( )21，即 x2 y22，x y2
9、 x y2所以曲线 C1的方程为 x2 y22 10 分21C （1） ，2sin306化为 ，即 的普通方程为 ，3col30xy消去 ，得 的普通方程为 s 2inxyC245 分（2）在 中，令 得 ，30xyy3,0P ，倾斜角 ，k56 的参数方程可设为 ，即 ，l3cos 50in6xty3)2 1(xty为 参 数代入 得 ， ，方程有两解，24xy23tt70， ， ， 同号，13t1512t 2PABt12t10 分22.解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件 B，那么 ,10)(425AC所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是.109)()(4 分(2)随机变量
10、 可能取的值为 1,2. 13事件“ ”是指有两人同时承担 H 任务，2则，41253AC)(.)(1所以, 的分布列是1 24341所以.52110 分23.证明：（1）当 时，左边=0=右边，不等式成立。n1 分（2）假设当 时，不等式成立，)(*Nk即 .21kkba2 分当 时，1kn分左 边 4211 kkk kkkabba abab 因为 为正实数，且 ，所以 ，, 1所以 ，41baba于是 ， 6 分从而 211422 kkkkk abbaba8 分所以左边 . 1)()1(22124 kkkkk14所以 时，不等式成立.1kn由（1） （2）知，对一切自然数 ，所证不等式成立.1,nN10 分
