1、- 1 -灌南华侨高级中学 20182019 学年度第一学期期中考试高二数学试卷（分值：160 分 时间：120 分钟）1、填空题：（70 分）1命题“ ， ”的否定是 xR210x2命题“若 则方程 有实数根”的逆命题是 0,m2m3由不等式组 所确定的平面区域的面积等于 ,13xy4若 ，则 的最小值是 0,4abab且14ab5若命题 是真命题，则实数 c 的取值范围是 2“,0“xRcx对6已知函数 lny，则这个函数在点 1处的切线方程是 7若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解x0axb(,)x02axb集是 8某单位用 3.2 万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从
2、启用的第一天起连续使用，第天的维修保养费为 元,若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用n49()10nN了 天 9在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 过点 ，且该曲),(y2为 常 数bax)5,2(P线在点 处的切线与直线 平行，则 的值是 P037x- 2 -yxlBFOcb a10在平面直角坐标系 xOy 中，直线 被圆 截得的032xy 4)1(2x2y）（弦长为 11若函数 在定义域内是增函数，则实数 的取值范围是 2lnfxmxm12已知函数 的定义域为 ，则 的最大值为 xxfcos21)( 2,)(xf13在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 圆 的 方 程 为 ， 若
3、 直 线 上xOyC28150xyx2ykx至 少 存 在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值是 C14在平面直角坐标系 xy中，椭圆 的标准方程为)0,(12babyax，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B，设原点到直线 B的距离为 1d， 到 的距离为 2d，若 16d，则椭圆 C的离心率为 二、解答题：（本大题共 6 小题,共 90 分.） 15 （本题满分 14 分）设 p:实数 x 满足 ,其中 ,命题 实数 满足 .22430axa:qx260,8x()若 且 为真，求实数 的取值范围；1,apqx()若 是 的充分不必要条件,求实数 的
4、取值范围. a- 3 -16 （本题满分 14 分）若不等式 的解集是 ，0252xa 21x（1）求实数 的值； （2）求不等式 的解集.01522axa17 （本题满分 14 分）已知椭圆的右焦点 ，左、右准线分别为 ： ， ： ，且 ，,0Fm1l1xm2l1xl分别与直线 相交于 两点2lyx,AB若离心率为 ，求椭圆的方程；2当 时，求椭圆离心率的取值范围7AF- 4 -18 （本题满分 16 分）已知函数 在点 处的切线方程为32,fxabxabR1,f20y求函数 的解析式；fx若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求2,12,x12fxfc实数 的最小值c- 5 -19 （
5、本题满分 16 分）已知函数 .32()()fxaxR（）若函数 在区间 上为增函数，求实数 的取值范围；1,)a（）若 是函数 的极值点，求函数 在区间 上的最大值；3x(fx()fx1,420 （本题满分 16 分）- 6 -已知椭圆 E： 的左焦点为 F，左准线 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心，圆 C 恰2184xyl好经过坐标原点 O，设 G 是圆 C 上任意一点.（1）求圆 C 的方程；（2）若直线 FG 与直线 交于点 T，且 G 为线段 FT 的中点，求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长；l（3）在平面上是否存在定点 P，使得 ？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说12F明
6、理由.- 7 -灌南华侨高级中学 20182019 学年度第一学期期中考试高二数学试卷（分值：160 分 时间：150 分钟）2、填空题：（70 分）2命题“ ， ”的否定是 xR210x答案： ， 02命题“若 则方程 有实数根”的逆命题是 0,m2xm答案：若方程 有实数根， 则2x03由不等式组 所确定的平面区域的面积等于 答案：,10,3xy 26若 ，则 的最小值是 0,4aba且 4ab答案：16 解析： 111616()882baab7若命题 是真命题，则实数 c 的取值范围是 2“,40“xRcx对答案： 解析： ，解得 。12c2()216已知函数 lnyx，则这个函数在点
7、1x处的切线方程是 答案： 10解析： ， ，切点为 ，所以所求切线方程为ll1yxx1|lnxy(1,0)，即 。y7若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集是 x0axb(,)x02axb 答案： (,1)(2,)- 8 -解析：不等式 的解集是 ，所以 ，0axb(1,)0ab所以 或 。)202xx18某单位用 3.2 万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第天的维修保养费为 元,若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了 n49()10nN 天 答案：800。解析：本题是实际应用问题，设使用这台仪器的日平均费用为 y，则。(1)49n+3201
8、249n+3209320ny ，等号成立当且仅当 时成立。90,89在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 过点 ，且该曲线在)(y2为 常 数bax)5,2(P点 处的切线与直线 平行，则 的值是 P0327x【答案】 21【解析】根据 点在曲线上，曲线在点 处的导函数值等于切线斜率， ，P2 xbay，将 带入得 ，解得 ，则27k)5,(P274ba23ba1b10在平面直角坐标系 xOy 中，直线 被圆 截得的弦长为 03xy4)1(x22y）（ 【答案】 52【解析】根据直线和圆的位置关系，直线与圆相交，求弦长，构建“黄金三角形”勾股定理，圆心为 ， ，圆心到直线的距离 ，弦长= =)
9、1,2(r 5321|d2dr- 9 -529411若函数 在定义域内是增函数，则实数 的取值范围是 2lnfxmxm答案： 1解析： ，函数 在 上是增函数，2fxfx(0,)所以 即 对 恒成立，10fm21(,)x，当 时， ，所以只要 。22()txxxmaxt max12t12已知函数 的定义域为 ，则 的最大值为 fcos1)(2,)(f答案： 4解析： ，当 时， ；当 时， xxfsin21)( )6,20)(xf 2,6(。 在 上是减函数，在 上是增函数。0co,当 时， 。2x4)(maxf13在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 圆 的 方 程 为 ， 若 直 线 上
10、 至 少 存 在OyC28150xy2ykx一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值是 k【答案】 。43【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离【解析】圆 C 的 方 程 可 化 为 ： ， 圆 C 的圆心为 ，半径为 1。241xy(4,0)由题意，直 线 上 至 少 存 在一点 ，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆2yk0(,2)Axk有公共点；存在 ，使得 成立，即 。0xR1min- 10 -yxlBFOcb a 即为点 到直 线 的 距 离 ， ， 解 得minAC2ykx241k2k。403k 的最大值是 。4314在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C的标
11、准方程为 )0,(12bayx，右焦点为F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B，设原点到直线B的距离为 1d， F到 l的距离为 2d，若 16d，则椭圆 C的离心率为 【答案】 3【解析】如图， l： x ca2， d2 c b2，由等面积得： 1d bc。若 126，则2 6a，整理得： 0622ba，两边同除以： 2a，得： 0ab，解之得： b 3，所以，离心率为：31e2b二、解答题：（本大题共 6 小题,共 90 分.） 15 （本题满分 14 分）设 p:实数 x 满足 ,其中 ,命题 实数 满足 .22430axa:qx260,8x()若 且 为真，求实数 的取值范围；1,ap
12、q()若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围. a解:由 得 ，22430x(3)0x又 ,所以 , aa- 11 -当 时， 1 ,即 为真时实数 的取值范围是 1 . 2 分1a3xpx3x由 ,得 ,即 为真时实数 的取值范围是 . 4 分26082q2若 为真，则 真且 真，所以实数 的取值范围是 . 7 分pqpx3x() 是 的充分不必要条件，即 ,且 , 9 分pqp设 A= ,B= ,则 ,|x|qAB又 A= = , B= = ， 12 分|p|3xa或 |x23x或则 0 ,且 所以实数 的取值范围是 . 14 分2a31a16 （本题满分 14 分）若不等式 的解集
13、是 ，0252xa 21x（1）求实数 的值； （2）求不等式 的解集.01522ax解：（1）由题意可得， 是方程 的两根，且 ，, 0252x0a，解得， 。7 分 a52（2） 即 ， ，012x 0352x0352x解得， ，3不等式 的解集为 。14 分01522ax13,217 （本题满分 14 分）已知椭圆的右焦点 ，左、右准线分别为 ： ， ： ，且 ，,Fm1lxm2l1xl分别与直线 相交于 两点2lyxAB若离心率为 ，求椭圆的方程；2- 12 -当 时，求椭圆离心率的取值范围7AFB解：（1）由已知得 ，从而 ，1,2mca)1(2mab2由 得 ，从而 。2eb故 ，
14、得所求方程为 。1,a12yx（2）易得 ，),(mA),(B从而 ,1,1,FF故 ，得 ， 724)(2B 10m由此离心率 ，故所求的离心率范围为 . mace1)()2,(18 （本题满分 16 分）已知函数 在点 处的切线方程32,fxabxabR1,f为 20y求函数 的解析式；fx若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求2,12,x12fxfc实数 的最小值c解： 23fxabx根据题意，得 即 解得1,0f32,0a1ab所以 3fx令 ，即 得 2x1xx,1 ,22- 13 -fx + +2增 极大值 减 极小值 增 2因为 ， ，1ff所以当 时， ， ,xmax2m
15、in2f则对于区间 上任意两个自变量的值 ，都有21,x，所以 1maxin4fxfffc所以 的最小值为 4 c19 （本题满分 16 分）已知函数 .32()()fxaxR（）若函数 在区间 上为增函数，求实数 的取值范围；1,a（）若 是函数 的极值点，求函数 在区间 上的最大值；3x()fx()fx1,4解：（） ，由 在区间 上是增函数2()3faf,则当 时，恒有 ，2 分1,x()0fx即 在区间 上恒成立。4 分230a 1,由 且 ，解得 .7 分46,3 ()2fa 0（）依题意得 ，(),30,4f则 ，322()(8fxxfx令解得 ，9 分12,，解得 或 ，又 ，(
16、)380fx令 13x14x所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，10 分,4而 12 分(1)6()1(4)2fff故 在区间 上的最大值是 。15 分x,16f20 （本题满分 16 分）- 14 -已知椭圆 E： 的左焦点为 F，左准线 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心，圆 C 恰好2184xyl经过坐标原点 O，设 G 是圆 C 上任意一点.（1）求圆 C 的方程；（2）若直线 FG 与直线 交于点 T，且 G 为线段 FT 的中点，求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长；l（3）在平面上是否存在定点 P，使得 ？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明12F理由.解：（1）由
17、椭圆 E： ，得 ： ， ， ，2184xyl4x(,0)C(2,)F又圆 C 过原点，所以圆 C 的方程为 4 分2()16y（2）由题意，得 ，代入 ，得 ，(3,)Gyx15Gy所以 的斜率为 ， 的方程为 ， 8 分F15kF(2)yx（注意：若点 G 或 FG 方程只写一种情况扣 1 分）所以 到 的距离为 ，直线 被圆 C 截得弦长为 (4,0)C2d 2156()7故直线 被圆 C 截得弦长为 710 分F（3）设 ， ，则由 ，得 ，(,)Pst0(,)Gxy12FP200()1xyst整理得 ，12 分2001626stst又 在圆 C： 上，所以 ，(,)xy(4)1xy2008xy代入得 ， 14 分208stst又由 为圆 C 上任意一点可知， 解得 0(,)Gxy2,016,st4,0st所以在平面上存在一点 P，其坐标为 16 分(4,)
