1、1江苏省邗江中学 2018-2019 学年度第一学期高二数学期中试卷说明：本试卷分填空题和解答题两部分,共 160 分,考试用时 120 分钟. 第卷（填空题 共 70 分）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.命题“ ， ”的否定是 2x42.函数 在点 处切线的斜率为 3f1,A3.若双曲线 的焦距为 ,则其离心率 2(0)4ya43e4.函数 的单调减区间为 xln5. 已知圆 的圆心为抛物线 的焦点，且与直线22aybr24yx相切，则该圆的方程为 3420xy6. “ ”是“ ”成立的 _ 条件 （从“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分”中选择
2、一个正确的填写）7.抛物线 上的点 到焦点 的距离为 5， 为坐标原点，则20ypx4,MyFO OM8. 已知抛物线 的准线经过双曲线 的右顶点，则双曲线的渐28yx )0(132ayx近线方程为 9.已知圆 过点 ，且圆心在 轴的正半轴上直线 被圆 所截得的弦长C(1,0)x:lyxC为 ，则过圆心且与直线 垂直的直线的方程为 2l10. 若函数 在区间 上有极小值，则实数 的取值范围为 11.已知 F1，F 2分别是椭圆 + =1（ab0）的左右焦点，点 A 是椭圆的右顶点，O2xy为坐标原点，若椭圆上的一点 M 满足 MF1MF 2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为_ _212.
3、已知直线 ，分别与直线 和曲线 交于点 M,N 两点，则线段yt38yx2xyeMN 长度的最小值是 13在平面直角坐标系 中，点 Q 为圆 上的一动点，直线xO1)4()(22与直线 相交于点 P,则当实数 k 变化时，线段 PQ 长的02:1kyxl 0:2kyl最小值是 14.已知函数 ， （ 为自然对数的底数） ，若 使得函数51, 8lnxfmeR,a有三个零点，则 m 的取值范围是 yfxa第卷（解答题 共 90 分）二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分 14 分）已知直线 .:20lxym（1）求过点 且与直线
4、 平行的直线方程；l（2）若直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积大于 4，求实数 的取值范围.l m16.（本题满分 14 分）已知命题 ：方程 表示圆；命题 ：方程p2240xymyq表示焦点在 轴上的椭圆.215xyma（1）若命题 为真命题时，求实数 的取值范围；p（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.qa317.（本题满分 14 分）已知圆 一动直线 过 与圆 相交于 两点， 是,4)3(:22yxCl)0,1(ACQP、M的中点， 与直线 相交于PQl 6:yxm.N（1）当 时，求直线 的方程；2l（2）探索 是否与直线 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说
5、明ANMl理由.18.（本题满分 16 分）一个创业青年租用一块边长为 4 百米的等边ABC 田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜田地内拟修建笔直小路 MN，AP，其中 M，N 分别为 AC，BC 的中点，点 P 在 BC 上规划在小路 MN 与 AP 的交点 O（O 与 M、N 不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N 为出入口（小路的宽度不计） 为节约资金，小路 MO 段与 OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路 AO 段的建造费用为每百米 4 万元，小路 ON 段的建造费用为每百米 3 万元（1）若拟修的小路 AO 段长为 百米，
6、求小路 ON 段的建造费用；7（2）设BAP ，求 cos 的值，使得小路 AO 段与 ON 段的建造总费用最小19.（本题满分 16 分）如图，椭圆 的离心率为 ，焦点到相应准线的距离为 1，点21(0)xyab2， ， 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 的直线 交椭圆于点 ，ABCClD交 轴于点 ，直线 与直线 交于点 x1(0)Mx， ACBD2()Nxy，（1）求椭圆的标准方程；4（2）若 ，求直线 的方程；2CMDl（3）求证： 为定值 1x20.（本题满分 16 分）已知函数 2()ln,()fxgxm(1)求过点 的 的切线方程;(2)当 时,求函数 在 上的最大值;(
7、0,a(3)证明:当 时,不等式 对任意 均成立(其中3m2()()xfxge1,2为自然对数的底数, )N DMCBAyxO（第 19 题图）5江苏省邗江中学 2018-2019 学年度第一学期高二数学期中试卷 参考答案一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1. ， 2. 3. ，4.如写成 也正确2x43ln621(0,1(0,)25. 6.必要不充分 7. 8. 1y43yx9. 10. 11. 12. 132 ，14.30x 713ln4em15.解：（1)与直线平行的直线的斜率为 ， 2 分2因为点 在该直线上，所以所求直线方程为 ， 4 分13()2yx即
8、直线方程为 . 6 分40x（2）直线与两坐标轴的交点分别为 ， 8 分则所围成的三角形的面积为 ， 10 分 由题意可知 ，化简得 ， 解得 或 ，所以实数 的取值范围是 . 14 分16.解：（1）若命题 为真命题时，p则由方程 2240xymy即 表示圆， 2 分2 解之得 4 分20m 6 分1（2）由 成立得 8 分q510am ，66若 是 的必要不充分条件，则 ， 10 分pqqp 12 分162a解之得 45 14 分17.解：（1）当直线 与 轴垂直时，易知 符合题意 1 分lxx当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为lxl )(ky32PQ134CM则由 ，得 4 分12
9、kk5 分综上，所求的直线 的方程为 6 分l 0431yx、(2) ANCMANCMANC当直线 与 轴垂直时，易得 ，lx)35,1(则 ,350AAN、 8 分5CM当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为lxl )1(xky则由 ，得 ， 12 分063)1(yk)315,6(kN则 AN5, 531)(kCM综上， 与直线 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，l且 14 分5AN18.解（1）在AOM 中， 222OAMOMcosA430xy直 线 方 程 为7 2 分22 2(7)AMcos3化简得： 0 0， 1， 4 分则 ，313ONA2答：小路 ON 段的建造费用为 3 万元
10、6 分（2）由正弦定理得：MO2sinisin()则 ，3AOsi3coisin3sicosNM2n9 分设小路 AO 段与 ON 段的建造总费用为 ()f则 ， 9sin3cos43()4AO3Nif 611 分，若 满足 ，且 ，2cos()inf 003cos403列表如下：( ， )600( ， )0()f 0 AA则当 时， 有极小值，此时也是 的最小值0()f ()f 15 分3cos4答：当 cos ，小路 AO 段与 ON 段的建造总费用最小16 分8N DMCBAyxO（第 19 题图）19.解（1）由椭圆的离心率为 ，焦点到对应准线的距离为 1.2得 解得 2 分21ca，
11、 ， ac，所以，椭圆的标准方程为 . 4 分21xy（2）由（1）知 ，设 ，(0,1)C0(,)D因为 ， 得 ，所以 ， 6 分M2y2y代入椭圆方程得 或 ，所以 或 ，06x61(,)61(,)2D所以 的方程为： 或 . 9 分l 12y2yx（3）设 D 坐标为( x3， y3）,由 ， M(x1，0)可得直线 的方程 ， 0,)CC1yx联立椭圆方程得： 解得 , . 12 分12xy， 1324x213xy由 ，得直线 BD 的方程： ， (2,0)B21(2)4xx直线 AC 方程为 ， 21yx联立得 ， 15 分21从而 =2 为定值. 16 分1x解法 2：设 D 坐
12、标为( x3， y3） ，由 C,M,D 三点共线得 ，所以 ， 10 分13131xy9由 B,D,N 三点共线得 ，将 代入可得32=yx221yx， 12 分322xy和相乘得，23333122=2xyxyxyx. 16 分233()xx20.解：(1)设切点坐标为 ,则切线方程为 ,将 代入上式,得 ,切线方程为 ; 3 分(2)当 时, , , 4 分当 时, ,当 时, , 在 递增,在 递减, 6 分当 时, 的最大值为 ;当 时, 的最大值为 ; 8 分(3) 可化为 ,设,要证 时 对任意 均成立, 只要证 ,下证此结论成立 9 分 ,当 时, ,10设 ,则 , 在 递增, 11 分又 在区间 上的图象是一条不间断的曲线,且 , 使得 ,即 , 13 分当 时, ;当 时, ;函数 在 递增,在 递减, , 在 递增, ,即 ,当 时,不等式 对任意 均成立16 分
