1、- 1 -2017-2018 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷理科数学(五)一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 为实数集，集合 ， ，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先确定集合 A,B，然后结合 Venn 图求解阴影部分表示的集合即可.【详解】求解分式不等式 可得 ，求解二次不等式 可得 ，则 ，韦恩图中阴影部分表示的集合为 ，即 .本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补运算， Venn 图及其应用等知识，意在考查学生的转化
2、能力和计算求解能力.- 2 -2.在复平面内，复数 的对应点坐标为 ，则 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先确定复数 z，然后求解 的共轭复数即可.【详解】由题意可得： ，则 ，其共轭复数为 .本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查复数的坐标表示，复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.函数 关于直线 对称，则函数 关于（ ）A. 原点对称 B. 直线 对称 C. 直线 对称 D. 直线 对称【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数图象的变换规律确定函数的对称性即可.【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度即可得
3、到函数 的图象，结合函数 关于直线 对称，可知函数 关于直线 对称.本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查函数的对称性，函数的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知实数 、 ，满足 ，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】- 3 -根据基本不等式得 范围，再根据绝对值定义得结果.【详解】由 ，知 ，故选 D.【点睛】本题考查基本不等式应用，考查基本求解能力.5.执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合流程图运行程序确定输出结果即可.【详解】结合流程图可知流程图运行过程如下：首先初
4、始化数据： ，第一次循环，满足 ，执行 ，此时不满足 为奇数，执行 ；第二次循环，满足 ，执行 ，此时满足 为奇数，执行 ；第三次循环，满足 ，执行 ，此时不满足 为奇数，执行 ；第四次循环，满足 ，执行 ，此时满足 为奇数，执行 ；第五次循环，不满足 ，跳出循环，输出 的值为 .本题选择 C 选项.- 4 -【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证6.已知实数 、 满足线性约束条件 ，则其表示的平面区域的面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析
5、】【分析】先作可行域，再根据三角形面积公式求结果.【详解】满足约束条件 ，如图所示：可知 范围扩大，实际只有 ，其平面区域表示阴影部分一个三角形，其面积为 故选 B【点睛】本题考查平面区域含义，考查基本求解能力.7.“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】- 5 -由题意考查充分性和必要性即可确定“ ”与“ ”的关系.【详解】当 时， ，满足 ，此时 不存在，则充分性不成立；若 ，则 ，据此可得： ，此时 ，满足 ，即必要性成立，综上可得：“ ”是“ ”的必要不充分条件.本题选择 B 选项.【点睛】本题
6、主要考查三角函数的性质，充分条件与必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.如图，椭圆 的上顶点、左顶点、左焦点分别为 、 、 ，中心为 ，其离心率为 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将 转化为 ，再根据离心率求比值.【详解】由 ，得 而 ，所以 ，故选 B【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本求解能力.9.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的- 6 -车，则她们坐车不同的搭配方式有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答
7、案】B【解析】【分析】由题意结合排列组合问题的解法整理计算即可求得最终结果.【详解】解法一：不对号入座的递推公式为： ， ，据此可得： ，即五个人不对号入座的方法为 种，由排列组合的对称性可知：若甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则坐车不同的搭配方式有种.本题选择 B 选项.解法二：设五位妈妈为 ，五个小孩为 ，对五个小孩进行排练后坐五位妈妈的车即可，由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，故排列的第五个位置一定是 ，对其余的四个小孩进行排列：；.共有 24 中排列方法，其中满足题意的排列方法为：， ， ， ，共有 11 种.本题选择 B 选项.【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置
8、)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法- 7 -10.已知数列 中第 项 ，数列 满足 ，且，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数加法法则得 ，根据关系式 得 ，联立方程解得 .【详解】由 ，得 ，又 ，即 ，有 ，故 选 C.【点睛】本题考查对数四则运算法则，考查基本求解能力.11.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一
9、种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623-1662）是在 1654 年发现这一规律的，比杨辉要迟 393 年，比贾宪迟600 年。右图的表在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就。如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，则此数列前 16 项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】- 8 -分别考查每行第二个数和第三个数组成的数列，然后求和两次即可求得最终结果.【详解】考查每行第二个数组成的数列： ，归纳推理可知其通项公式为 ，其前
10、 项和 ；每行第三个数组成的数列： ，归纳推理可知其通项公式为 ，其前 项和 ，据此可得题中数列前 16 项和为 .本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列通项公式的求解，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知 的一内角 ， 为 所在平面上一点，满足 ，设，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论 的最大值即可.【详解】由题意可知， O 为 ABC 外接圆的圆心，如图所示，在圆 中， 所对的圆心角为，点 A,B 为定点，点 为优弧上的动点，则点 满足题中的已知条件，延长 交 于
11、点 ，设 ，由题意可知： ，由于 三点共线，据此可得： ，则 ，则 的最大值即 的最大值，由于 为定值，故 最小时， 取得最大值，- 9 -由几何关系易知当 是， 取得最小值，此时 .本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.13.已知函数 ，则 _【答案】4【解析】【分析】根据分段函数对应性，根据自变量大小对应代入解析式，即得结果.【详解】 【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然
12、后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14.已知过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线与抛物线交于 、 两点，则_【答案】【解析】- 10 -【分析】根据抛物线焦点弦性质得 ，对照比较与所求式子之间关系，即得结果.【详解】由 知 ，由焦点弦性质 ，而【点睛】本题考查抛物线焦点弦性质，考查基本求解能力.15.网格纸上小正方形的边长为 1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何
13、体的体积为_【答案】2【解析】【分析】先确定几何体，再根据长方体以及四棱柱体积公式求结果.【详解】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为 2，下底为 4，高为2）高为 2 的直四棱柱，所以 【点睛】先根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图，再在具体几何体中求体积.16.数列 是首项 ，公差为 的等差数列，其前 和为 ，存在非零实数 ，对任意有 恒成立，则 的值为_ 【答案】 或【解析】【分析】分类讨论 和 两种情况即可求得 的值.- 11 -【详解】当 时， 恒成立，当 时：当数列的公差 时， 即 ，据此可得 ，则 ，当数列的
14、公差 时，由题意有： ， ，两式作差可得： ，整理可得： ，即： ，则 ，-整理可得： 恒成立，由于 ，故 ，据此可得： ，综上可得： 的值为 或 .【点睛】本题主要考查等差数列的定义，数列的前 n 项和与通项公式的关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知 （ ） ，其图象的对称轴方程为 （ ） （1）求函数 的解析式；（2）当 ，且 ，求 值【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得 ，结合对称轴方程可知 ，据此可得，则 .（2）由题意可得 ， ，利用两
15、角和的正弦公式可得 .【详解】 （1） ，- 12 -由题意其对称轴方程为 （ ） ，知 是其一条对称轴，得 ，即 ，.（2）由 ， ，又 ，得 ， ，.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数解析式的求解，三角函数在给定区间上求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图：直线 平面 ，直线 平行四边形 ，四棱锥 的顶点 在平面上， ， ， ， ， ， ， 、 分别是 与的中点（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接 ，由题意可证得平面 平面 ，利用面面平行的性质定理可得 平- 13 -面 ；（2）过 作
16、 ，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，据此计算可得二面角的平面角 的余弦 .【详解】 （1）连接 ，底面 为平行四边形，是 的中点， 是 的中点， ，是 的中点， 是 的中点， ， ， 平面 平面 ，平面 ， 平面 ；（2）由 平面 ， 平行四边形 ，平面 底面 ， ， ， 四边形 为矩形，且 底面 ， ，过 作 ，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系（如图） ，由 ， ， ，知 ， 、 、 、 、 、 ，、 、 ，设平面 的法向量为 ，则 ,取 ， ， ，即 ，- 14 -设平面 的法向量为 则 ,取 ， ， ，即 ，二面角 的平
17、面角 的余弦 .【点睛】本题考查了立体几何中的判断定理和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员。为此中国海军在全国 9 省 9 所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员。2017 年 4
18、 月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有 10000 名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收 50 名学员。培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动” ） ，这批海航班学员在 10 月参加活动的次数统计如图所示：（1）从海航班学员中任选 2 名学员，他们 10 月参加活动次数恰好相等的概率；（2）从海航班学员中任选 2 名学员，用 表示这两学员 10 月参加活动次数之差绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】- 15 -（1）
19、由频率分布表可看出：50 名海航班学员中参加活动一次有 10 人，参加活动 2 次有 25人，参加活动 3 次有 15 人，从中任选 2 名学员，则 .（2）依题意，随机变量 的取值有 0、1、2，计算可得 ； ，据此可得数列的分布列，然后求解其数学期望可得 .【详解】 （1）由频率分布表可看出：50 名海航班学员中参加活动一次有 10 人，参加活动 2次有 25 人，参加活动 3 次有 15 人，据此计算可得 .（2）依题意，随机变量 的取值有 0、1、2，求解相应的概率值可得从海航班中任选 2 名学员，记事件 :“这两人中一人参加 1 次活动，一人参加 2 次活动，事件 :“这两人中一人参
20、加 2 次活动，一人参加 3 次活动” ，事件 :“这两人中一人参加 1 次活动，一人参加 3 次活动” ，； ，随机变量 的分布列为：随机变量 的期望 .【点睛】本题主要考查 等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，焦距为 ，直线 ： 与椭圆相交于 、 两点， 关于直线 的对称点 在椭圆上斜率为 的直线 与线段 相交于点 ，与椭圆相交于 、 两点- 16 -（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形 面积的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的离心率可得 ， ，则椭圆方程为 ；（2）设直线 方程： ， 、 ，联立直
21、线方程与椭圆方程可得，由两点之间距离公式可得 ，由直线与椭圆相交可得，且 ，故 ，结合二次函数的性质可得四边形 面积的取值范围 【详解】 （1）由椭圆焦距为 ，设 ， ，连结 ，设 ，则 ，又 ，得 ，解得 ， ，所以椭圆方程为 ；（2）设直线 方程： ， 、 ，由 ，得 ，所以 ，- 17 -由（1）知直线 ： ，代入椭圆得 ，得 ，由直线 与线段 相交于点 ，得 ，而 与 ，知 ， ，由 ，得 ，所以 ，四边形 面积的取值范围 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(
22、2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形21.已知函数 ， （1）讨论函数 的单调性；（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得 （ ） ，分类讨论可得当 时， 在 上单调递减；当 时，在 上， 单调递增；在 上， 单调递减.（2）由题意可得 （ ） ，切线放缩可得 ，分类讨论 和 两种情况可得实数 的取值范围 【详解】 （1）由题知 （ ） ，当 时，恒有 ，得 在 上单调递减； 当 时，由 ，得 ，在 上，有 ， 单调递增；- 18 -在 上，有 ， 单调递减.（2）由题知 （ ） ，
23、由 时，恒有 ，知 ，当 ，即 时， 恒成立，即 在 上单调递增，（合题意） ；当 时，即 时，此时导函数有正有负，且有 ，由 ，得 ，且 在 上单调递增，当 时， ， ， ， ，故 在 上存在唯一的零点 ，当 时， ，即 在 上递减，此时 ，知 在 上递减，此时 与已知矛盾（不合题意） ；综合上述：满足条件的实数 的取值范围 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几
24、何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.（）求曲线 的普通方程；（）经过点 作直线 交曲线 于 两点，若 恰好为线段的三等分点，求直线 的普通方程.【答案】 （1）曲线 的普通方程为 ；（2）直线 的普通方程为或 .- 19 -【解析】【分析】（1）根据三角函数平方关系消参数得曲线 的普通方程；（2）先设直线的参数方程，代入圆方程，根据参数几何意义 ，列方程解得 ，最后根据点斜式得结果.【详解】 （）由曲线
25、 的参数方程，得 （ 为参数）所以曲线 的普通方程为 . （）设直线 的倾斜角为 ，则直线的参数方程为 （ 为参数）代入曲线 的直角坐标方程，得 ，即所以 ，由题意可知 ，得所以 ，即 或 . 即 或 .所以直线 的普通方程为 或【点睛】直线的参数方程的标准形式的应用过点 M0(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数， t 可正、可负、可为 0)若 M1， M2是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1， t2，则(1)M1， M2两点的坐标分别是( x0 t1cos ， y0 t1sin )，( x0 t2cos ， y0 t2sin ).(2)|M1M2| t1
26、t2|.(3)若线段 M1M2的中点 M 所对应的参数为 t，则 t ，中点 M 到定点 M0的距离|MM0| t| .(4)若 M0为线段 M1M2的中点，则 t1 t20.23.已知函数 ， .（1）解不等式 ；- 20 -（2）若存在 ,使得 成立, 求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2）先求 、两个函数值域，再根据它们交集非空列不等式，解得实数 的取值范围.【详解】 （）由当 时， ，得 ,即 ；当 时， ，得 ,即 ；当 时， ，得 ,即 ；综上：不等式 解集是 ；（）存在 ,使得 成立，即 、 两个函数值域有交集由 ，知 ，由 ，知所以 ，即 为所求 .【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
