1、- 1 -2018-2019 学年第一学期期中考试高二理科数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟第卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1与直线 平行且过点 的直线方程为（ ）:3450lxy1,2A B C D4430xy3410xyxy2若一组数据 的方差为 1，则 的方差为（ ） 12,nx 124,nxxA1 B 2 C 4 D83已知 ，且 ，则 （ ）3cos5,2taA. B. C. D. 4434434若数列 为等差数列， 为其前 项和，且 ，则
2、 （ ） nanS152a17SA. B. C. D. 1717275直三棱柱 中，若 ，1ABC90BAC， 则异面直线 与 所成的角等于（ ） 1A. 30 B. 45 C. 60 D. 906在等比数列 中， ， ，则na1472a3698a的前 9 项和 （ ） na9SA. B. C. 或 D. 或1147半径为 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）R- 2 -A. B. C. D. 3R36R324R316R8某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A B 265305C D （第八题图）1129平面内与点 距离为 ，且与点 距离(,3)(,1)为 2的直线的条数为（
3、）A B CD4210已知两点 ,若直线 上至少存在)0(,2(NM)3(xky 三个点 ，使得 是直角三角形，则实数 的取值范围是（ P ）A B C D, 54, 52,0,52,0,5211已知三棱锥 的四个顶点均在半径为 2 的球面上，且满足 ，PABC 0PAB， ，则三棱锥 的侧面积的最大值为（ ）0B0PABCA2 B4 C8 D1612如图所示，正方体 的棱长为 ，动点 在对角线 上，过点1A23P1BD作垂直于 的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为 ，设 ，P1BD yPx则当 时，函数 的值域为（ ）,5x()yfxA B 3,93,62C D,2,- 3
4、-（第十二题图）第卷二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 , , ,则向量 与 的夹角为 1a2b0)(aab14若实数 满足 则 的取值范围是 ,xy,1234,y1yzx15已知正方体 棱长为 ，点 是 的中点， 是 上的一动点，ABCDM1BCP1B则 的最小值为_ PM16在锐角 中，角 , , 所对的边长分别为 , , ，已知 ，且abc2,则 的周长的取值范围为 3cos2sincaBbACAB三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 10 分）已知函数 ， 2cos4)62sin()
5、( xxf（1）求函数 的单调减区间；)(xf（2）若 求函数 的值域,43)(xf18 （本小题满分 12 分）如图， 是矩形 中 边上的点， 为 边的中点， EABCDFCD,现将 沿 边折至 位置，且平面 平243ABEDEPBPBE面 C（1）求证：平面 平面 ； PBF- 4 -（2）求四棱锥 的体积PBEFC19 （本小题满分 12 分）第 31 届夏季奥林匹克运动会于 2016 年 8 月 5 日至 8 月 21 日在巴西里约热内卢举行如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚） 第 30 届伦敦 第 29 届北京 第 28 届雅典 第 27 届悉
6、尼 第 26 届亚特兰大中国 38 51 32 28 16俄罗斯 24 23 27 32 26（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可） ；（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和 （从第 26 届算起，不包括之前已y获得的金牌数）随时间 变化的数据：x时间 （届）x26 27 28 29 30金牌数之和 （枚）y16 44 76 127 165作出散点图如图：- 5 -由图可以看出，金牌数之和 与时间 之间存在线性相关关系，请求出 关于 的线性回归y
7、xyx方程，并预测从第 26 届到第 32 届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？附：对于一组数据 ， ， ，其回归直线 的斜率和截1,x2,nyba距的最小二乘估计分别为： ，1122nnii iii iixxyb20 （本小题满分 12 分）已知数列 满足： na2*12()nNa（1）求数列 的通项公式； na（2）若 ， 为数列 的前 项和，对于任意的正整数 都有 恒1bnSnb 123nS成立，求实数 的取值范围 21 （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 中， 底面 ，点 是1ABC1CABD的中点 AB（1）求证： 平面 ；1C1D（2）设 ， ，在线段 上是否存在点 ，
8、使得 ?若存在，2AB1ABM1BC确定点 的位置；若不存在，说明理由M- 6 -22 （本小题满分 12 分）已知圆 :C，直线 ，过2234xy:m360xy的一条动直线 l与直线 相交于 N，与圆 C相交于 QP,两点， M是 P中点(1,0)Am(1)当 时，求直线 的方程；23PQ(2)设 ，试问 是否为定值,若为定值,请求出 的值；若不为定值，请说明理tMNt t由NCM QPOA xylml- 7 -高二理科数学答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.D 7.C 8.B 9.B 10.D 11.C 12.C二、填空
9、题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16. 31,10223,6三、解答题（共 6 小题，每小题 5 分，共 70 分）17（本小题满分 12 分）解 231()2sin()4cos(sin2cos)2cs6fxxxxxA（4 分）)6ii3（1）当 时 为减函322,(6kxkZ(fx数（5 分）即 时 为减函数5,()3(fx则 为减区间为 （7 分）()fx,)36kkZ（2）当 时， （8 分）,4412,3x 的值域为 . （10 分）sin,16x()f2,18. （本小题满分 12 分）（1）证明：在 中，由 得 ,RtDEFF45DE在 中，
10、由 得 ,tABAB45（2 分）90,- 8 -,PBECDBEPBECD且F. （6 分）且(2)过 作POBE, ，且 ,PBECDBEPBCD且, （9 分）CD四棱锥 的高 ,BEF2h,14BCEFADDEFSS.（12 分）184233PV19. （本小题满分 12 分）解：（1）近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图如图：3 分由图可得中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散 5 分（2）因为 ， ， ， ， 28x5.6y51()381iiixy5210iix- 9 -所以，1.380)(12
11、niiiiixyb8 分，9 分ayx85.639.所以金牌数之和 关于时间 的线性回归方程为 ，10 分x38.129.yx当 时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值 ，32x .81.3故预测到第 32 届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为 238 枚12 分21. （本小题满分 12 分）（1）解：由题意得，当 n=1 时， ，则 ， 1 分12a1当 时， ，则 ，3 分2n12na 2121()na两式相减得 ， 即 ，5 分()nn当 n=1 时，也符合上式，则 .6 分21na（2）解：由（1）得 = 7 分1nb24()1()21nn所以 8 分()12nb所以 = 10 分
12、1()()35721nS n 2(1)n 是关于 的增函数，当 n=1 时， 最小为n S43因为对于任意的正整数 n， 恒成立，所以 ，解得 ，2356故实数 的取值范围是 . 12 分5(,)621. （本小题满分 12 分）- 10 -证明：（1）连结 ，设 与 的交点为 ，连结 ，1CBDE1CBED 是 的中点， 是 的中点，A 2 分E1 平面 ， 平面 ，DCB11CDB 平面 5 分1A（2）在线段 上存在点 且 1M114A使得 . 6 分BMC证明如下：在线段 上取点 且 ，连结 .1AB11BM 底面 ， 底面 ， 7 分1ADCAD由已知 ， 为线段 的中点，C 又 ，
13、DB1AB 平面 8 分 平面 ， 9 分M1CDM由已知 得 ,12AB1122,B在 中， 同理 ,1Rt1tan12tanBD 即 .11112BDMBD1M又 ， 平面 CC又 平面 ， 12 分11122 （本小题满分 12 分）(1) 当直线 l与 x轴垂直时,易知 1符合题意; 2 分当直线与 轴不垂直时,NCM QPOA xylmlE - 11 -设直线 l的方程为 )1(xky,由于 32PQ, 所以 .1CM由 132k,解得 34k. 4 分故直线 l的方程为 1x或 043y 5 分(2)当 l与 轴垂直时,易得 ),(M, )5,1(N,又 )0,1(A则 ),3(M )350(AN,故 A. 即 6 分t当 l的斜率存在时,设直线 l的方程为 )(xky,代入圆的方程得 056)2()1( 22 kxkx.则 ,1321M 213)(kxyM,8 分即 ),(22kk, A),(22k.9 分又由 ,0631yx得 )315,6(N, 则 )5(kAN. 10 分故 t 5)1(35)1(5)31( 222 kkM . 综上, 的值为定值,且 12 分tt解法二（几何法）:连结 CA,延长交 m于点 R，计算 CA 斜率 知 mAR.又 lCM于 , - 12 -故 ANR MC.于是有 ARCNA. 由 ,105,得 .5 故 . t
