1、1第 39 讲 概 率1. (2012，河北)掷一枚质地均匀的硬币 10 次，下列说法正确的是( B )A. 每 2 次必有 1 次正面向上B. 可能有 5 次正面向上C. 必有 5 次正面向上 D. 不可能有 10 次正面向上【解析】 由随机事件及概率的意义，知掷一枚质地均匀的硬币 10 次，可能有 5 次正面向上2. (2014，河北)某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是( D )第 2 题图A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花
2、色是红桃C. 暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 4【解析】 A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为 ，13故此选项错误B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ，故此选项错误C. 暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，1352 14从中任取一球是黄球的概率为 ，故此选项错误D. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上23的面点数是 4 的概率为 0.17，故此选项正确163. (2016，河北)如图，一枚质地均匀的正四面体骰
3、子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4.如图，正方形 ABCD 顶点处各有一个圈跳圈游戏的规则是：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长如：若从圈 A 起跳，第一次掷得 3，就顺时针连续跳 3 个边长，落到圈 D；若第二次掷得 2，就从 D 开始顺时针连续跳 2 个边长，落到圈 B设游戏者从圈 A 起跳(1)嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈 A 的概率 P1；(2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈 A 的概率 P2，并指出她与嘉嘉落回到圈 A 的可能性是否一样2第 3 题图【思路分析】 (1)本小题属于一步概率题，共有 4 种等可能的结
4、果，只有结果为 4 时，才能回到圈 A.(2)本小题属于两步放回概率题通过列表得出答案解：(1)掷一次骰子有 4 种等可能的结果，只有掷得 4 时，才会落回到圈 A， P1 .14(2)列表如下：第 1 次第 2 次 1 2 3 41 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4)从表中可以看出，所有等可能的结果共有 16 种，当两次掷得的数字和为 4 的倍数，即(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，4)时，才会落回到圈 A，即共包含 4 种
5、结果， P2 .416 14 P2 P1.淇淇与嘉嘉随机掷骰子落回到圈 A 的可能性一样4. (2017，河北)编号为 15 号的 5 名学生进行定点投篮，规定每人投 5 次，每命中 1次记 1 分，没有命中记 0 分如图所示的是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图，之后来了 6 号学生也按同样记分规定投了 5 次，其命中率为 40%.第 4 题图(1)求 6 号学生的积分，并将图增补为这 6 名学生积分的条形统计图；(2)在这 6 名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于 50%的学生的概率；(3)最后，又来了 7 号学生，也按同样记分规定投了 5 次这时 7 名学生积分的众数仍是前 6
6、 名学生积分的众数，求这个众数以及 7 号学生的积分【思路分析】 (1)由 6 号学生命中的次数为 540%2 可得答案，并补全条形图(2)由这 6 名学生中，命中次数大于 550%2.5 的有 2，3，4，5 号这 4 名学生，根据概率公式可得(3)根据众数的定义得出前 6 名学生积分的众数，进而求出 7 号学生的积分解：(1)6 号学生命中的次数为 540%2，则 6 号学生的积分为 2 分补全的条形统计图如答图(2)这 6 名学生中，命中次数大于 550%2.5 的有 2，3，4，5 号这 4 名学生，3选上命中率高于 50%的学生的概率为 .46 23(3)前 6 名学生积分的众数为
7、3，7 名学生积分的众数为 3，7 号学生的积分为 3 分或 0 分第 4 题答图确定性事件与随机事件例 1 (2018，长沙)下列说法正确的是( C )A. 任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上B. 天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D. “a 是实数，| a|0”是不可能事件【解析】 A. 任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，不一定有 5 次正面向上，故选项 A 错误B. 天气预报说“明天的降水概率为 40%”，只是刻画明天降雨的可能性大小，不表示明天有 40%的时间都在降雨，故
8、选项 B 错误C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，故选项 C 正确D. “ a 是实数，| a|0”是必然事件，故选项 D 错误.针对训练 1 (2018，襄阳)下列语句所描述的事件是随机事件的是( D )A. 任意画一个四边形，其内角和为 180B. 经过任意两点画一条直线C. 任意画一个菱形，是中心对称图形D. 过平面内任意三点画一个圆【解析】 A. 任意画一个四边形，其内角和为 180是不可能事件B. 经过任意两点画一条直线是必然事件C. 任意画一个菱形，是中心对称图形是必然事件D. 过平面内任意三点画一个圆是随机事件.概率的计算例 2 (2011，河北)如图，一转盘被
9、等分成三个扇形，上面分别标有1，1，2 中的一个数，指针位置固定转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上，当作指向右边的扇形)(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合” 用列表法(或画树状图法)求两人“不谋而合”的概率例 2 题图【思路分析】 (1)由转盘被等分成三个扇形，上面分别标有1，1，2，利用概率公式即可求得小静转动转盘一次，得到负数的概率(2)依据题意先列表或画树状图列举出所有4等可能的结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率解：(1)
10、转盘被等分成三个扇形，上面分别标有1，1，2，小静转动转盘一次，得到负数的概率为 .13(2)列表如下：小静小宇 1 1 21 (1，1) (1，1) (1，2)1 (1，1) (1，1) (1，2)2 (2，1) (2，1) (2，2)从表中可以看出，一共有 9 种等可能的结果，其中两人得到的数相同的结果有 3 种，所以两人“不谋而合”的概率为 .39 13针对训练 2 (2018，山西)在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球两次都摸到黄球的概率是( A )A. B. C. D. 49 13 29
11、 19【解析】 画树状图如答图训练 2 答图从树状图中可以看出，共有 9 种等可能的结果，其中两次都摸到黄球的结果有 4 种，所以两次都摸到黄球的概率为 .49用频率估计概率例 3 (2018，呼和浩特 )某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( D )例 3 题图A. 袋中装有大小和质地都相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中随机取一个，取到红球B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面
12、的点数之和是 7 或超过 9【解析】 A. 袋中装有大小和质地都相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为 ，不符合题意B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶35数的概率为 ，不符合题意C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为12，不符合题意D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是1457 或超过 9 的概率为 ，符合题意.13针对训练 3 (2018，永州)在一个不透明的盒子中装有 n 个球，它们除了颜色之外没有其他区别，其中含有 3 个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再
13、放回盒中通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.03，那么可以推算出 n 的值大约是 100 .【解析】 由题意，可得 0.03.解得 n100.所以可推算出 n 的值大约是 100.3n统计与概率综合例 4 (2018，菏泽 )为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间” ，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击 10 发子弹，成绩用如图所示的折线统计图表示：例 4 题图(1)依据折线统计图，得到下面的表格：射击次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲的成绩/环
14、 8 9 7 9 8 6 7 a 10 8乙的成绩/环 6 7 9 7 9 10 8 7 b 10其中 a 8 ， b 7 ；(2)甲的成绩的众数是 8 ，乙的成绩的中位数是 7.5 ；(3)请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定；(4)该校射击队要参加市里组织的射击比赛，已预选出 2 名男同学和 2 名女同学，现要从这 4 名同学中任意选取 2 名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法，求出恰好选到 1 男1 女的概率【思路分析】 (1)根据折线统计图即可得(2)根据众数和中位数的定义可得(3)求出甲、乙两人成绩的方差，方差小的成绩稳定(4)列表得出所有等可能的结果，从中找到 1男
15、1 女的结果数，利用概率公式计算可得解：(1)8 7(2)8 7.5(3)甲成绩的平均数为(672849210)108.甲成绩的方差为 (68) 22(78) 24(88) 22(98) 2(108) 21.2.110乙成绩的平均数为(674892102)108.乙成绩的方差为 (68) 24(78) 2(88) 22(98) 22(108) 21.8.110因为 1.21.8，所以甲成绩更稳定(4)用 A， B 表示男生， a， b 表示女生列表如下：A B a bA AB Aa AbB BA Ba Bb6a aA aB abb bA bB ba从表中可以看出，一共有 12 种等可能的结果，
16、其中 1 男 1 女的结果有 8 种， P(恰好选到 1 男 1 女) .812 23针对训练 4 (2018，唐山古冶区模拟)2017 年 4 月 15 日至 5 月 15 日，某市约 8 万名初三毕业生参加了中考体育测试，为了了解今年初三毕业生的体育成绩，从某校随机抽取了 60名学生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格(分别用 A，B，C，D 表示)四个等级进行统计，并绘制成下面的统计表和扇形图(如图)：等级 成绩/分 频数 频率A 2730 24 0.4B 2326 m xC 1922 n yD 18 及 18 以下 3 0.05合计 60 1.00训练
17、4 题图请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：(1)m 21 ， n 12 ， x 0.35 ， y 0.2 ；(2)在扇形图中，B 等级所在扇形对应的圆心角的度数是 126 ；(3)请你估计该市这 8 万名初三毕业生成绩等级达到优秀和良好的一共大约有多少万人；(4)初三(1)班的甲、乙、丙、丁四人的成绩均为 A，现决定从这四名同学中选两名参加学校组织的体育活动，直接写出恰好选中甲、乙两名同学的概率【思路分析】 (1)易知 x35%0.35，用总人数 60 乘 35%可得 m 的值，用总人数 60 减去已知人数可得 n 的值，进而可得 y 的值(2)用 360乘相应频率即为 B 等级所在扇
18、形对应的圆心角的度数(3)该市初三毕业生总人数 8 万乘 A，B 两个等级的频率的和即为所求的人数(4)用列举法求概率即可解：(1)21 12 0.35 0.2 (2)126 (3)8(0.40.35)6(万人)答：该市这 8 万名初三毕业生成绩等级达到优秀和良好的一共大约有 6 万人 (4)P(恰好选中甲、乙两名同学) .16一、 选择题1. (2018，烟台)下列说法正确的是( A )A. 367 人中至少有 2 人生日相同B. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是13C. 天气预报说明天的降水概率为 90%，则明天一定会下雨D. 某种彩票中奖的概率是 1%，则买 100 张
19、彩票一定有 1 张中奖【解析】 A. 367 人中至少有 2 人生日相同，故选项 A 正确B. 任意掷一枚质地均匀的7骰子，掷出的点数是偶数的概率是 ，故选项 B 错误C. 天气预报说明天的降水概率为1290%，只是刻画明天降雨的可能性大小，不表示明天一定会下雨，故选项 C 错误D. 某种彩票中奖的概率是 1%，只是刻画中奖的可能性大小，不表示买 100 张彩票一定有 1 张中奖，故选项 D 错误2. (2018，玉林)某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率的折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( D )第 2 题图A. 抛一枚硬币，出现正面朝上B. 掷一个正六面体
20、的骰子，出现 3 点朝上C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D. 从一个装有 2 个红球和 1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球【解析】 A. 抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，不符合这一结果，故此选项错12误B. 掷一个正六面体的骰子，出现 3 点朝上的概率为 ，不符合这一结果，故此选项错16误C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为 ，不符合14这一结果，故此选项错误D. 从一个装有 2 个红球和 1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为 ，符合这一结果，故此选项正确133. (2018，广州)甲袋中装有两个相同的小球，
21、分别写有数字 1 和 2，乙袋中装有两个相同的小球，分别写有数字 1 和 2.从两个口袋中各随机取出一个小球，取出的两个小球上都写有数字 2 的概率是( C )A. B. 12 13C. D. 14 16【解析】 画树状图如答图所示第 3 题答图从树状图中可以看出，一共有 4 种等可能的结果，其中取出的两个小球上都写有数字 2的结果有 1 种，故取出的两个小球上都写有数字 2 的概率是 .144. (2018，威海)一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数，分别是2，1，0，1.卡片除数不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数之积为负数的概率是( B )A. B
22、. C. D. 14 13 12 34【解析】 画树状图如答图8第 4 题答图从树状图中可以看出，一共有 12 种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上数之积为负数的结果有 4 种，所以抽取的两张卡片上数之积为负数的概率为 .412 13二、 填空题5. (2018，扬州 )有 4 根细木棒，长度分别为 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，从中任选3 根，恰好能搭成一个三角形的概率是（ ）.34【解析】 从 4 根细木棒中任取 3 根，有 2，3，4；3，4，5；2，3，5；2，4，5，共 4种等可能的取法，其中能搭成一个三角形的有 2，3，4；3，4，5；2，4，5，共 3 种取法，故所求概
23、率为 .346. (2018，滨州)若从1，1，2 这三个数中，任取两个分别作为点 M 的横、纵坐标，则点 M 在第二象限的概率是（ ）.13【解析】 列表如下：1 1 21 (1，1) (2，1)1 (1，1) (2，1)2 (1，2) (1，2)从表中可以看出，一共有 6 种等可能的结果，其中点 M 在第二象限的结果有 2 种，所以点 M 在第二象限的概率是 .26 13三、 解答题7. (2018，苏州)如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字 1，2，3.(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为（ ） ；2
24、3(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是 3 的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解)第 7 题图【思路分析】 (1)由标有数字 1，2，3 的转盘中，奇数有 1，3 共 2 个，利用概率公式计算可得(2)根据题意列表得出所有等可能的结果数，得出其中这两个数字之和是 3 的倍数的结果数，再根据概率公式即可得出答案解：(1)23(2)列表如下：91 2 31 (1，1) (2，1) (3，1)2 (1，2) (2，2) (3，2)3 (1，3) (2，3) (3，3)从表中
25、可以看出，一共有 9 种等可能的结果，其中这两个数字之和是 3 的倍数的结果有3 种，所以 P(这两个数字之和是 3 的倍数) .39 138. (2018，南充)“每天锻炼一小时，健康生活一辈子” 为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的 15 名领操员进行比赛，成绩如下表：成绩/分 7 8 9 10人数 2 5 4 4(1)这组数据的众数是 8 ，中位数是 9 ；(2)已知获得 10 分的选手中，七、八、九年级分别有 1 人、2 人、1 人，学校准备从中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率【思路分析】 (1)根据众数和中位数的定义求解可得(2)利用画树状图
26、法列举出所有等可能的结果，然后利用概率公式即可求解解：(1)8 9(2)画树状图如答图第 8 题答图从树状图中可以看出，一共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到八年级两名领操员的结果有 2 种，所以 P(恰好抽到八年级两名领操员) .212 161. (2018，淄博，导学号 5892921)“推进全科阅读，培育时代新人” 某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级 50 名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：时间/h 6 7 8 9 10人数 5 8 12 15 10(1)写出这 50 名学生读书时间的平均数、众数、中位数；(2)根据上述表格补全如图所示的条形统计图；(3)学校
27、欲从这 50 名学生中，随机抽取 1 名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于 9 h 的概率是多少？第 1 题图【思路分析】 (1)根据平均数、众数、中位数的定义求解即可(2)根据题意直接补全10图形即可(3)从表格中得知在 50 名学生中，读书时间不少于 9 h 的有 25 人，利用概率公式可得出结论解：(1)观察表格，可知这 50 名学生读书时间的平均数为(65788129151010)508.34.这 50 名学生读书时间中，9 出现了 15 次，出现的次数最多，这 50 名学生读书时间的众数是 9.将这 50 名学生读书时间按从小到大的顺序排列，其中处于中间的
28、两个数是 8 和 9，这 50 名学生读书时间的中位数为 (89)8.5.12(2)补全的条形统计图如答图所示第 1 题答图(3)读书时间是 9 h 的有 15 人，读书时间是 10 h 的有 10 人，读书时间不少于 9 h 的有 151025(人) P(被抽到学生的读书时间不少于 9 h) .2550 122. (导学号 5892921)某校八年级甲、乙两班各有学生 50 人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整【收集数据】从甲、乙两个班各随机抽取 10 名学生进行身体素质测试，测试成绩(百分制)如下：甲班：65 75 75 80 60 50 75 90
29、85 65乙班：90 55 80 70 55 70 95 80 65 70【整理描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩/分人数班级50 x6060 x7070 x8080 x9090 x100甲班 1 3 3 2 1乙班 2 1 m 2 n在表中： m 3 ， n 2 .【分析数据】(1)两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：班级 平均数 中位数 众数甲班 72 x 75乙班 73 70 y在表中： x 75 ， y 70 ；(2)若规定测试成绩在 80 分(含 80 分)以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班 50 名学生中身体素质为优秀的学生有 20 人；11(3)现从
30、甲班指定的 2 名学生(1 男 1 女)，乙班指定的 3 名学生(2 男 1 女)中分别抽取 1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用画树状图法或列表法求被抽到的 2 名学生是1 男 1 女的概率【思路分析】 【整理描述数据】将收集的数据用画正字法整理即可得 【分析数据】(1)根据众数和中位数的定义求解可得(2)用总人数乘乙班样本中优秀人数所占百分比可得(3)列表得出所有等可能的结果，利用概率公式求解可得解：【整理描述数据】3 2【分析数据】(1)75 70(2)20(3)列表如下：男 女男 1 男、男 1 女、男 1男 2 男、男 2 女、男 2女 男、女 女、女从表中可以看出，一共有 6 种等可能的结果，其中抽到的 2 名学生是 1 男 1 女的结果有3 种，所以 P(被抽到的 2 名学生是 1 男 1 女) .36 12
