1、1课时训练(十四) 二次函数的综合应用(限时:70 分钟)1.2018玉林 如图 K14-1,一段抛物线 y=-x2+4(-2 x2)为 C1,与 x 轴交于 A0,A1两点,顶点为 D1;将 C1绕点 A1旋转180得到 C2,顶点为 D2;C1与 C2组成一个新的图像,垂直于 y 轴的直线 l 与新图像交于点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),与线段D1D2交于点 P3(x3,y3),x1,x2,x3均为正数,设 t=x1+x2+x3,则 t 的取值范围是 ( )图 K14-1A.6k ; 8a+4bk;a+ 2b4k.其中正确结论的个数是 ( )2图 K14-3A.1 个 B.2
2、个 C.3 个 D.4 个4.如图 K14-4,平面直角坐标系中,抛物线 y= x2-2x+3 交 x 轴于点 B,C,交 y 轴于点 A,点 P(x,y)是抛物线上的一个动点,14连接 PA,AC,PC,记 ACP 的面积为 S.当 y3 时, S 随 x 变化的图像大致是 ( )图 K14-4图 K14-55.如图 K14-6,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆” .已知点 A,B,C,D 分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为 y=x2-2x-3,AB 为半圆的直径,则这个“果圆”被 y 轴截得的弦 CD 的长为 . 3图 K14-66.如图 K14-7,在平
3、面直角坐标系 xOy 中, A(-3,0),B(0,1),形状相同的抛物线 Cn(n=1,2,3,4,)的顶点在直线 AB 上,其对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为 2,3,5,8,13,那么这些抛物线称为“美丽抛物线”,根据上述规律,抛物线C2的顶点坐标为 ;若这些“美丽抛物线”与抛物线 y=-x2+1 形状相同,试写出抛物线 C10的解析式 . 图 K14-77.如图 K14-8,曲线 BC 是反比例函数 y= (4 x6)的一部分,其中 B(4,1-m),C(6,-m),抛物线 y=-x2+2bx 的顶点记作 A.kx图 K14-8(1)求 k 的值;(2)判断点 A 是否可与点 B
4、重合;(3)若抛物线与曲线 BC 有交点,求 b 的取值范围 .48.在平面直角坐标系中,直线 y=x+4 与 x,y 轴分别交于 A,B 两点,抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A,B 两点,并与 x 轴交于另一点 C(点 C 在点 A 的右侧),点 P 是抛物线上的一个动点 .(1)求抛物线的解析式及点 C 的坐标 .(2)若点 P 在第二象限内,过点 P 作 PD x 轴于点 D,交 AB 于点 E,当点 P 运动到什么位置时, PE 最长?最长是多少?图 K14-99.2018金华、丽水 如图 K14-10,抛物线 y=ax2+bx(a0)过点 E(10,0),矩形 ABCD 的边
5、AB 在线段 OE 上(点 A 在点5B 的左边),点 C,D 在抛物线上 .设 A(t,0),当 t=2 时, AD=4.(1)求抛物线的函数表达式 .(2)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动,向右平移抛物线 .当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G,H,且直线 GH 平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离 .图 K14-106参考答案1.D 解析 旋转后的抛物线的解析式为 y=(x-4)2-4=x2-8x+12,x 1,x2,x3均为正数, 点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)在第四象限,根据对称性可知: x1
6、+x2=8, 2 x34, 10 x1+x2+x3120,即 10 t12 .2.B 解析 如图,作 BE x 轴于点 E,连接 OB,设抛物线的解析式为 y=ax2,由题意可知 AOE=75, AOB=45, BOE=30,OA= ,2OB= 2,BE= OB=1,12OE= = ,OB2-BE2 3 点 B 的坐标为( ,-1),代入 y=ax2得 a=- ,313y=- x2.133.B 解析 对称轴为直线 x=- =2,b2a7b=- 4a,故结论正确; 一次函数与反比例函数的图像都经过点 A,x= 1 时, a+b=k,故结论错误; 由图像可知, x=2 时,4 a+2b ,k2 8
7、a+4bk,故结论正确;a+ 2b=- +2b= b,4k=4(a+b)=4 - +b =3b, 二次函数图像开口向下, a0, b3b,a+ 2b4k,故结论错b4 74 b4 74误 .4.B 解析 当 y=0 时, x2-2x+3=0,解得 x1=2,x2=6, 点 B 的坐标为(2,0),点 C 的坐标为(6,0);当 x=0 时, y= x2-14 142x+3=3,则点 A 的坐标为(0,3) .抛物线的对称轴为直线 x=4,点 A 关于直线 x=4 的对称点为(8,3),利用待定系数法可求出直线 AC 的解析式为 y=- x+3.12过点 P 作 PD y 轴交 AC 于点 D,
8、如图,设点 P 的坐标为 x, x2-2x+3 ,14则点 D 的坐标为 x,- x+3 ,当 0 x6 时,12DP=- x+3- x2-2x+3 =- x2+ x,12 14 14 32S= OCDP=- x2+ x,12 34 92当 6x8 时, DP= x2-2x+3- - x+3 = x2- x,14 12 14 32S= OCDP= x2- x.12 34 9285.3+ 解析 连接 CM,3 抛物线的解析式为 y=x2-2x-3, 点 D 的坐标为(0, -3),OD 的长为 3,设 y=0,则 0=x2-2x-3,解得: x=-1 或 3,A (-1,0),B(3,0),AO
9、= 1,BO=3,AB 为半圆的直径,AB= 4,CM=2,OM=1,在 Rt COM 中, OC= = ,CM2-OM2 3CD=CO+OD= 3+ .36.(3,2) y=-(x-144)2+49解析 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,则 解得:-3k+b=0,b=1, k=13,b=1,故直线 AB 的解析式为 y= x+1,13 抛物线 C2的顶点的横坐标为 3,且顶点在直线 AB 上, 抛物线 C2的顶点坐标为(3,2) . 对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为:2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 从第 3 个数开始,每个数都是前两个数的和,9 抛物线 C10
10、的顶点的横坐标为 144,则纵坐标为 144+1=49,13 抛物线 C10的顶点坐标为(144,49), 抛物线 C10与抛物线 y=-x2+1 的形状相同, 抛物线 C10的解析式为 y=-(x-144)2+49.7.解:(1) B (4,1-m),C(6,-m)在反比例函数 y= 的图像上,kxk= 4(1-m)=6(-m),解得 m=-2,k= 41-(-2)=12.(2)m=- 2,B (4,3), 抛物线 y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2,A (b,b2).若点 A 与点 B 重合,则有 b=4,且 b2=3,显然不成立, 点 A 不与点 B 重合 .(3)当抛物线经过点
11、B(4,3)时,有 3=-42+2b4,解得 b= ,198显然抛物线右半支经过点 B;当抛物线经过点 C(6,2)时,有 2=-62+2b6,解得 b= ,196这时仍然是抛物线右半支经过点 C,b 的取值范围为 b .198 1968.解:(1) 直线 y=x+4 与 x,y 轴分别交于 A,B 两点,A (-4,0),B(0,4),10将点 A,B 的坐标代入抛物线解析式得:-16-4b+c=0,c=4, 解得: b= -3,c=4, 则抛物线的解析式为 y=-x2-3x+4,令 -x2-3x+4=0,解得: x1=-4,x2=1, 点 C 的坐标为(1,0) .(2)设 P 点横坐标为
12、 m,则纵坐标为 -m2-3m+4,E 点纵坐标为 m+4,则 PE=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-3m+4-m-4=-m2-4m=-(m+2)2+4,(-4m0)当 m=-2 时, PE 有最大值 4,此时点 P 的纵坐标为 6,故当点 P 运动到( -2,6)时, PE 最长,最长为 4.9.解:(1)设抛物线的函数表达式为 y=ax(x-10). 当 t=2 时, AD=4, 点 D 的坐标是(2,4) . 4=a2(2-10),解得 a=- .1411 抛物线的函数表达式为 y=- x2+ x.14 52(2)由抛物线的对称性得 BE=OA=t,AB= 10-2t.当 x=t
13、时, y=- t2+ t.14 52 矩形 ABCD 的周长 =2(AB+AD)=2 =- t2+t+20=- (t-1)2+ .(10-2t)+(-14t2+52t) 12 12 412- 0,0110,12 当 t=1 时,矩形 ABCD 的周长有最大值,最大值是 .412(3)连接 DB,取 DB 的中点,记为 P,则 P 为矩形 ABCD 的中心,由矩形的对称性知,平分矩形 ABCD 面积的直线必过点 P.连接 OD,取 OD 中点 Q,连接 PQ.当 t=2 时,点 A,B,C,D 的坐标分别为(2,0),(8,0),(8,4),(2,4) .结合图像知,当点 G,H 分别落在线段 AB,DC 上且直线 GH 过点 P 时,直线 GH 平分矩形 ABCD 的面积 .AB CD, 线段 OD 平移后得到线段 GH,线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P. 抛物线的平移距离 =OG=DH=QP.在 OBD 中, PQ 是中位线,PQ= OB=4.12所以抛物线向右平移的距离是 4.
