1、1课时训练(二十五) 直线与圆的位置关系(限时:50 分钟)|夯实基础 |1.2018保定二模 如图 K25-1, ABC中, AB=3,AC=4,BC=5,D,E分别是 AC,AB的中点,则以 DE为直径的圆与 BC的位置关系是 ( )图 K25-1A. 相切 B.相交 B. C.相离 D.无法确定2.2018眉山 如图 K25-2所示, AB是 O的直径, PA切 O于点 A,线段 PO交 O于点 C,连接 BC,若 P=36,则 B等于 ( )图 K25-2A.27 B.32C.36 D.543.如图 K25-3,直线 AB,BC,CD分别与 O相切于 E,F,G,且 AB CD,若 O
2、B=6 cm,OC=8 cm,则 BE+CG的长等于 ( )2图 K25-3A.13 cm B.12 cmC.11 cm D.10 cm4.2018烟台 如图 K25-4,四边形 ABCD内接于 O,点 I是 ABC的内心, AIC=124,点 E在 AD的延长线上,则 CDE的度数为 ( )图 K25-4A.56 B.62 C.68 D.785.2018安徽 如图 K25-5,菱形 ABOC的边 AB,AC分别与 O相切于点 D,E,若点 D是 AB的中点,则 DOE= . 图 K25-56.关注数学文化九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著 .书中有下列问题“今有勾八步,股十五步 .问勾
3、中容圆径几何?”其意思是:“如图 K25-6,今有直角三角形,勾(短直角边)长为 8步,股(长直角边)长为 15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”上述材料中内切圆的直径为 步 . 图 K25-67.2018临沂 如图 K25-7,在 ABC中, A=60,BC=5 cm,能够将 ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm. 3图 K25-78.2018包头 如图 K25-8,AB是 O的直径,点 C在 O上,过点 C的切线与 BA的延长线交于点 D,点 E在 上(不与BC点 B,C重合),连接 BE,CE.若 D=40,则 BEC= 度 . 图 K25-89.2018天津节
4、选 已知 AB是 O的直径,弦 CD与 AB相交, BAC=38.如图 K25-9,过点 D作 O的切线,与 AB的延长线交于点 P,若 DP AC,求 OCD的大小 .图 K25-9410.2018黄石 如图 K25-10,已知 A,B,C,D,E是 O上五点, O的直径 BE=2 , BCD=120,A为 的中点,延长 BA3BE到点 P,使 AP=BA,连接 PE.图 K25-10(1)求线段 BD的长;(2)求证:直线 PE是 O的切线 .11.2018曲靖 如图 K25-11,AB为 O的直径,点 C为 O上一点,将 沿直线 BC翻折,使 的中点 D恰好与圆心 O重BC BC5合,连
5、接 OC,CD,BD,过点 C的切线与线段 BA的延长线交于点 P,连接 AD,在 PB的另一侧作 MPB= ADC.图 K25-11(1)判断 PM与 O的位置关系,并说明理由;(2)若 PC= ,求四边形 OCDB的面积 .3612.如图 K25-12, ABC是一块直角三角板,且 C=90, A=30,现将圆心为点 O的圆形纸片放置在三角板内部 .图 K25-12(1)如图 ,当圆形纸片与两直角边 AC,BC都相切时,试用直尺与圆规作出射线 CO.(不写作法与证明,保留作图痕迹)(2)如图 ,将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动 1周,回到起点位置时停止 .若 BC=9,圆形纸片的半径为
6、2,求圆心 O运动的路径长 .7|拓展提升 |13.2017百色 以坐标原点 O为圆心,作半径为 2的圆,若直线 y=-x+b与 O相交,则 b的取值范围是 ( )A.0 b1.2, 以 DE为直径的圆与 BC的位置关系是相交 .故选 B.2.A 解析 由 PA是 O的切线,可得 OAP=90, AOP=54,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得 B=27.3.D 解析 AB CD, ABC+ BCD=180,CD ,BC,AB分别与 O相切于 G,F,E, OBC= ABC, OCB= BCD,12 12BE=BF,CG=CF, OBC+ OCB=90, BOC=90,BC= =10,
7、OB2+OC2BE+CG= 10(cm).故选 D.4.C 解析 点 I是 ABC的内心, BAC=2 IAC, ACB=2 ICA, AIC=124, B=180-( BAC+ ACB)=180-2( IAC+ ICA)=180-2(180- AIC)=68,又四边形 ABCD内接于 O, CDE= B=68,故选 C.5.60 解析 连接 OA, 四边形 ABOC是菱形,11BA=BO ,AB 与 O相切于点 D,OD AB.D 是 AB的中点,OD 是 AB的垂直平分线, OA=OB , AOB是等边三角形, AOD= AOB=30,12同理 AOE=30, DOE= AOD+ AOE=
8、60,故答案为 60.6.67. 解析 设圆的圆心为点 O,能够将 ABC完全覆盖的最小圆是 ABC的外接圆,连接 OB,OC,1033 在 ABC中, A=60,BC=5 cm, BOC=120,作 OD BC于点 D,则 ODB=90, BOD=60,BD= ,OB= ,即 OB= , 2OB= ,即 ABC外接圆的直径是 52 52sin60 533 1033 1033cm,8.115 解析 连接 OC,AC,由 CD是切线得 OCD=90.又因为 D=40可得 COD=50.因为 OA=OC,可得 OAC=65.因为四边形 ACEB是圆内接四边形,由圆内接四边形对角互补得到 BEC的度
9、数 .9.解:如图,连接 OD.DP 切 O于点 D,OD DP,即 ODP=90.DP AC, BAC=38, P=38,12 AOD是 ODP的外角, AOD= ODP+ P=128. ACD= AOD=64.12又 OA=OC,得 ACO= A=38. OCD= ACD- ACO=64-38=26.10.解:(1)连接 DE,如图, BCD+ DEB=180, DEB=180-120=60.BE 为直径, BDE=90,在 Rt BDE中, DE= BE= 2 = ,BD= DE= =3.12 12 3 3 3 3 3(2)证明:连接 EA,如图,BE 为直径, BAE=90,A 为 的
10、中点, ABE=45,AB=AE,BEBA=AP ,而 EA BA, BEP为等腰直角三角形, PEB=90,PE BE, 直线 PE是 O的切线 .11.解:(1) PM与 O相切 .理由如下:连接 DO并延长交 PM于 E,如图, 沿直线 BC翻折, 的中点 D恰好与圆心 O重合,BC BC13OC=DC ,BO=BD,OC=DC=BO=BD , 四边形 OBDC为菱形,OD BC, OCD和 OBD都是等边三角形, COD= BOD=60, COP= EOP=60. MPB= ADC,而 ADC= ABC, ABC= MPB,PM BC,OE PM,OE=OP cos60= OP,12P
11、C 为 O的切线, OC PC,OC= OP,12OE=OC ,而 OE PM,PM 是 O的切线 .(2)在 Rt OPC中, OC= PC= =1,33 33 3 四边形 OCDB的面积 =2S OCD=2 12= .34 3212.解:(1)如图 ,CP就是所要求作的射线 .14(2)如图 , OO1O2就是圆心 O的路径 .由题意得 OO1 BC,O1O2 AB,OO2 AC.易证 OO1O2 CBA, = . OO1O2的周长 ABC的周长 OO1BC过点 O作 OD BC,垂足为点 D,过点 O1作 O1E BC,O1F AB,垂足分别为点 E,F,连接 BO1,则四边形 ODEO
12、1是矩形 .O 1E=O1F,O1E BC,O1F AB,BO 1平分 ABC. O1BE= ABC= 60=30.12 12BE= O1E=2 .3 3DE=BC-CD-BE= 9-2-2 =7-2 .3 3OO 1=DE=7-2 .3在 Rt ABC中, BC= 9, A=30,AB= 2BC=18,AC= BC=9 .3 3 ABC的周长为 27+9 .3 = . OO1O2的周长27+93 7-239 OO1O2的周长为 15+ ,即圆心 O运动的路径长为 15+ .3 313.D 解析 如图,将直线 y=-x向上平移为 y=-x+b1,当 y=-x+b1与圆相切时, b1最大,由平移
13、知 CAO= AOC=45,OC=2,OA=b 1=2 .同理,将 y=-x向下平移为 y=-x+b2,当 y=-x+b2与圆相切时, b2最小,此时 b2=-2 , 当 y=-x+b与2 2圆相交时, b的取值范围为 -2 b2 .2 214.D 解析 由题意 CD与 P1相切于点 E,P 1E CD.又 AOD=30,r=1 cm, 在 OEP1中, OP1=2 cm.又 OP= 6 cm,P 1P=4 cm, P到达 P1需要时间为:4 1=4(秒) .同理,当 P在直线 CD的右侧时,P1P=8 cm, P到达 P1需要时间为:8 1=8(秒), P与直线 CD相切时,时间为 4或 8
14、秒 .故选 D.1515.D 解析 如图 , O与 l1和 l2分别相切于点 A和点 B,OA l1,OB l2,l 1 l2, 点 A,B,O共线, l 1和 l2的距离 =AB=2,所以 正确;作 NH AM,如图 ,则四边形 ABNH为矩形, NH=AB= 2.在 Rt MNH中, 1 =60,MN= = ,所以 正确;NHsin60433当直线 MN与 O相切时,如图 ,则5 =2,3 =4,l 1 l2, 5 +2 +3 +4 =180, 5 +3 =90, MON=90,所以 正确;过点 O作 OC MN于 C,如图 ,S 四边形 ABNM=S OAM+S OMN+S OBN, 1
15、AM+ 1BN+ MNOC= (BN+AM)2,12 12 12 12即 (AM+BN)+ MNOC=AM+BN,12 12AM+BN= ,MN= ,OC= 1,433 433而 OC MN, 直线 MN与 O相切,所以 正确 .16.3或 4 解析 如图 ,当 P与直线 CD相切时,设 PC=PM=x.316在 Rt PBM中, PM 2=BM2+PB2,x 2=42+(8-x)2,x= 5,PC= 5,BP=BC-PC=8-5=3.如图 ,当 P与直线 AD相切时,设切点为 K,连接 PK,则 PK AD,四边形 PKDC是矩形 .PM=PK=CD= 2BM,BM= 4,PM= 8,在 R
16、t PBM中, PB= =4 .82-42 3综上所述, BP的长为 3或 4 .317.解析 (1)根据题目中所给的方法由切线长定理知 AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x,根据勾股定理得( x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即 x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面积公式计算;(2)由 ACBC=2mn得( x+m)(x+n)=2mn,即 x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求证;(3)作 AG BC,由三角函数得 AG=ACsin60= (x+m),CG=ACcos60= (x+m),BG=BC-CG=(x+n)- (x+m),在 Rt ABG32 12 1
17、2中,根据勾股定理可得 x2+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面积公式计算可得 .解:设 ABC的内切圆分别与 AC,BC相切于点 E,F,CE的长为 x.根据切线长定理,得 AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)证明:如图,在 Rt ABC中,根据勾股定理,得( x+m)2+(x+n)2=(m+n)2.整理,得 x2+(m+n)x=mn.所以 S ABC= ACBC12= (x+m)(x+n)12= x2+(m+n)x+mn12= (mn+mn)1217=mn.(2)证明:由 ACBC=2mn,得( x+m)(x+n)=2mn,整理,得 x2+(m+n)x=mn,所以
18、AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2x2+(m+n)x+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.根据勾股定理的逆定理,得 C=90.(3)如图,过点 A作 AG BC,垂足为 G.在 Rt ACG中, AG=ACsin60= (x+m),CG=ACcos60= (x+m).32 12所以 BG=BC-CG=(x+n)- (x+m).12在 Rt ABG中,根据勾股定理,得+ =(m+n)2,32(x+m)2(x+n)-12(x+m)2整理,得 x2+(m+n)x=3mn,所以 S ABC= BCAG12= (x+n) (x+m)12 32= x2+(m+n)x+mn34= (3mn+mn)34= mn.318
