1、1课时训练(十八) 特殊三角形(限时:40 分钟)|夯实基础 |1.等腰三角形的一边长等于 5,另一边长等于 10,则它的周长是 ( )A.20 B.25 C.20 或 25 D.152.2018湖州 如图 K18-1,AD,CE 分别是 ABC 的中线和角平分线,若 AB=AC, CAD=20,则 ACE 的度数是 ( )图 K18-1A.20 B.35 C.40 D.703.2018郴州 如图 K18-2, AOB=60,以点 O 为圆心,以任意长为半径作弧交 OA,OB 于 C,D 两点;分别以 C,D 为圆心,以大于 CD 的长为半径作弧,两弧相交于点 P;以 O 为端点作射线 OP,
2、在射线 OP 上截取线段 OM=6,则 M 点到 OB 的距离为 ( )12图 K18-2A.6 B.2 C.3 D.3 34.2018黄冈 如图 K18-3,在 ABC 中, DE 是 AC 的垂直平分线,且分别交 BC,AC 于点 D 和 E, B=60, C=25,则 BAD 为 ( )2图 K18-3A.50 B.70 C.75 D.805.2018淄博 如图 K18-4,在 Rt ABC 中, CM 平分 ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N,且 MN 平分 AMC,若AN=1,则 BC 的长为 ( )图 K18-4A.4 B.6 C.4 D.83
3、6.2018包头 如图 K18-5,在 ABC 中, AB=AC, ADE 的顶点 D,E 分别在 BC,AC 上,且 DAE=90,AD=AE.若 C+ BAC=145,则 EDC 的度数为 ( )图 K18-5A.17.5 B.12.5 C.12 D.107.关注数学文化 2018长沙 我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为 5 里,12 里,13 里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1 里 =500 米,则该沙田的面积为
4、( )A.7.5 平方千米 B.15 平方千米C.75 平方千米 D.750 平方千米38.2018青岛 如图 K18-6,三角形纸片 ABC,AB=AC, BAC=90,点 E 为 AB 中点 .沿过点 E 的直线折叠,使点 B 与点 A重合,折痕 EF 交 BC 于点 F.已知 EF= ,则 BC 的长是 ( )32图 K18-6A. B.3 C.3 D.3322 2 39.2018长春 如图 K18-7,在 ABC 中, AB=AC.以点 C 为圆心,以 CB 长为半径作圆弧,交 AC 的延长线于点 D,连接 BD.若 A=32,则 CDB 的大小为 度 . 图 K18-710.关注数学
5、文化 2018湘潭 九章算术是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图 K18-8 所示, ABC 中, ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求 AC 的长 .如果设 AC=x,则可列方程为 . 图 K18-811.2018曲靖 如图 K18-9,在 ABC 中, AB=13,BC=12,点 D,E 分别是 AB,BC 的中点,连接 DE,CD.如果 DE=2.5,那么ACD 的周长是 . 图 K18-9412.2017连云港 如图 K18-10,已知等腰三角形 ABC 中, AB=
6、AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,且 AD=AE,连接 BE,CD,交于点 F.(1)判断 ABE 与 ACD 的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点 A,F 的直线垂直平分线段 BC.图 K18-1013.2017内江 如图 K18-11,AD 平分 BAC,AD BD,垂足为 D,DE AC.求证: BDE 是等腰三角形 .5图 K18-11|拓展提升 |14.2018玉林 如图 K18-12, AOB=60,OA=OB,动点 C 从点 O 出发,沿射线 OB 方向移动,以 AC 为边在右侧作等边三角形 ACD,连接 BD,则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关系是 (
7、)图 K18-12A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直15.2018湖州 如图 K18-13,已知在 ABC 中, BAC90,点 D 为 BC 的中点,点 E 在 AC 上,将 CDE 沿 DE 折叠,使得点 C 恰好落在 BA 延长线上的点 F 处,连接 AD,则下列结论不一定正确的是 ( )6图 K18-13A.AE=EFB.AB=2DEC. ADF 和 ADE 的面积相等D. ADE 和 FDE 的面积相等16.2018娄底 如图 K18-14, ABC 中, AB=AC,AD BC 于 D 点, DE AB 于点 E,BF AC 于点 F,DE=3 cm,则 BF= _cm.
8、 图 K18-1417.2018永州 现有 A,B 两个储油罐,它们相距 2 km,计划修建一条笔直的输油管道,使得 A,B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 0.5 km,输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 种 . 7参考答案1.B 解析 当 5 为腰,10 为底时, 5+5=10, 不能构成三角形;当 10 为腰,5 为底时, 5+1010, 能构成三角形, 等腰三角形的周长为 10+10+5=25.2.B 解析 ABC 是等腰三角形, AD 是其底边上的中线, AD 也是底边上的高线, ACB=90- CAD=70.又CE 是 ACB 的平分线, ACE= ACB=35.12
9、3.C 解析 过点 M 作 ME OB 于点 E,由题意可得: OP 是 AOB 的平分线,则 POB= 60=30,ME= OM=3.故选 C.12 124.B 解析 DE 垂直平分 AC,AD=CD , DAC= C=25, ADB= DAC+ C=25+25=50.在 ABD 中, BAD=180- B- BDA=180-60-50=70.故选 B.5.B 解析 在 Rt ABC 中, CM 平分 ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N,且 MN 平分 AMC, AMN= NMC= B, NCM= BCM= NMC, ACB=2 B,NM=NC, B=3
10、0,AN= 1,MN= 2,AC=AN+NC= 3,BC=6,故选 B.6.D 解析 由 C+ BAC=145得知 B=35.由 AB=AC 得知 B= C=35.由等腰直角三角形的性质可得 AED=45,又 AED= EDC+ C, EDC=45-35=10.7.A 解析 52+122=132, 此三角形为直角三角形,又 5 里 =5500 米 =2500 米 =2.5 千米,12 里 =12500 米 =6000米 =6 千米, S= 62.5=7.5(平方千米) .128.B 解析 在 ABC 中, AB=AC, BAC=90, B=45.由折叠的性质可得 BAF= B=45, AFB=
11、180- B- BAF=90.在 Rt ABF 中,点 E 是 AB 的中点, EF 是斜边 AB 上的中线, AB= 2EF=2 =3.在 Rt ABC 中, AB=AC=3,根32据勾股定理,得 BC= =3 .32+32 289.37 解析 AB=AC , A=32, ACB= (180- A)= (180-32)=74.由已知得12 12CB=CD, CBD= CDB. ACB 是 CBD 的一个外角, ACB= CBD+ CDB, CDB= ACB= 74=37.12 1210.x2+9=(10-x)2 解析 根据 AC+AB=10,其中 AC=x,则 AB=10-x,在 Rt AB
12、C 中,利用勾股定理得 AB2=AC2+BC2,代入数据即可得到: x2+9=(10-x)2.11.18 解析 易知 DE 是 ABC 的中位线,所以 AC=5,由于 AB=13,BC=12,52+122=132,因此 ABC 是直角三角形, ACB=90,CD 是斜边 AB 上的中线,因此 CD= AB=6.5,而 AD=6.5,AC=5,所以 ACD 的周长是 6.5+6.5+5=18.1212.解:(1) ABE= ACD.理由如下:因为 AB=AC, BAE= CAD,AE=AD,所以 ABE ACD,所以 ABE= ACD.(2)证明:因为 AB=AC,所以 ABC= ACB.由(1
13、)可知 ABE= ACD,所以 FBC= FCB,所以 FB=FC.又因为 AB=AC,所以点 A,F 均在线段 BC 的垂直平分线上,即直线AF 垂直平分线段 BC.13.证明:如图所示, DE AC, 1 =3 .AD 平分 BAC, 1 =2, 2 =3 .AD BD, 2 + B=90,3 + BDE=90, B= BDE,BE=DE , BDE 是等腰三角形 .14.A 解析 如图, AOB=60,OA=OB, AOB 是等边三角形, AO=AB. ACD 是等边三角形, AC=AD. 又 OAB= CAD=60, 1 =2, AOC ABD(SAS), ABD= AOC=60, A
14、BD= OAB,BD OA.915.C 解析 连接 CF.由折叠的性质可知 CD=DF,CE=EF,DE 是 CF 的垂直平分线 .又 DC=DF=DB , BFC 是直角三角形, BF FC,DE BF.又 点 D 是 BC 的中点, DE 是 ABC 的中位线, AE=EC=EF ,AB=2DE,S ADE=S FDE,故选项 A,B,D正确 .由题意无法得出 AD 与 EF 平行, ADF 与 ADE 的面积不一定相等,故不一定正确的是选项 C.16.6 解析 在 ABC 中, AB=AC,AD BC,所以 AD 平分 BAC,又 DE AB,过 D 作 DG AC 于 G,则 DG=D
15、E=3 cm,BF DG.再根据等腰三角形三线合一的性质,知 D 是 BC 边中点,由此可得 BF=2DG=6 cm.17.4 解析 如图,设 AB 中点为 O,则 AO=BO=1 km,直线 l1与 l2经过点 O,且与直线 AB 的夹角等于 30(即 AOM= BON= AOP= BOQ=30),过 A 作 AP l1于点 P,AM l2于点 M,垂足分别为 P,M;过 B 作 BQ l1于点 Q,BN l2于点 N,垂足分别为 Q,N.根据直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半,得 AP=AM=BQ=BN=0.5 km.直线 l3,l4与直线 AB 的距离为 0.5 km,则直线 l1,l2,l3,l4是符合要求的直线 .
