1、1河北省武邑中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考数学（理）试题说明：满分 150 分 时间 120 分钟第卷一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1.78 与 36 的最大公约数是( )A. 24 B. 18 C. 12 D. 6【答案】D【解析】【分析】 利用“更相减损术”即可得出【详解】78-36=42，42-36=6，36-6=30，30-6=24，24-6=18，18-6=12，12-6=6，因此 78 与 36 的最大公约数为 6故选：D【点睛】本题考查了“更相减损术” ，属于基础题2.湖南卫视爸爸去哪儿节目组为热心观众给予奖励，要从 2 014
2、 名小观众中抽取 50 名幸运小观众先用简单随机抽样从 2 014 人中剔除 14 人，剩下的 2 000 人再按系统抽样方法抽取 50 人，则在 2 014 人中，每个人被抽取的可能性 ( )A. 均不相等 B. 不全相等C. 都相等，且为 D. 都相等，且为【答案】C【解析】由题意可得，先用简单随机抽样的方法从 2014 人中剔除 14 人，则剩下的再分组，按系统2抽样抽取.在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到的机会相等，均为故选 C3.圆 和圆 的位置关系为( ).A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内含【答案】B【解析】【分析】分别求出两个圆的圆心和半径，根
3、据圆心距离和半径之间的关系即可得到两圆的位置关系【详解】分别求出两个圆的标准方程为 C1：（x+1） 2+y2=4，圆心 C1：（-1，0） ，半径r=2C2： x2+（y-2） 2=1，圆心 C2：（0，2） ，半径 R=1，则 ，r-R=2-1=1，R+r=1+2=3，1|C 1C2|3，两个圆相交故选：B【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，利用圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键4.若 ABC 中，sin A:sinB:sinC=2:3:4，那么 cosC=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由正弦定理可得： ，不妨设 ，由余弦定理可得： .本题选择 A 选项.
4、35.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是 ，侧棱长 ，高是 ，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 ，高是 ，所以组合体的体积是 ，故选 C.考点：几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的
5、组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题.视频6.直线 分别与 轴， 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆 上，则 面积的取值范围是A. B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，则由题意可得到点 P 直线距离的最大值和最小值，由此可求 面积的取值范围.【详解】由题圆心（2,0）到直线 的距离为 圆的半径为 ，设点 P 到直线的距离为 则 ，由易知由此可得即面积的取值范围是 .故悬案 B.【点睛】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题7.等差数列a n中，a 10，若其前 n 项和
6、为 Sn，且有 S14S 8，那么当 Sn取最大值时，n 的值为( )A. 8 B. 9 C. 10 D. 11【答案】D【解析】【分析】根据 S14=S8，可得 a9+a10+a14=0，故有 a11+a12=0再由 a10，可得 d0，故a110，a 120，可得 S11最大【详解】S 14=S8，a 9+a10+a14=0，a 11+a12=0再由 a 10，d0，故 a110，a 120，S 11最大故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前 n 项和公式的应用，数列的函数特性，属于基础题8.若等比数列a n的前 n 项和 Sn2010 nt(t 为常数)，则 a1
7、的值为( )A. 2008 B. 2009 C. 2010 D. 2011【答案】B5【解析】【分析】写出数列的前 3 项，利用 ，求出 t 的值，即可求出 a1的值【详解】：等比数列a n的前 n 项和 Sn=2010n+t，a 1=S1=2010+t，a 2=S2-S1=20102+t-2010-t=20092010，a 3=S3-S2=20103+t-20102-t=200920102， ，（2010+t）20092010 2=（20092010） 2，t=-1，a 1=2010+t=2009故选：B【点睛】本题考查数列的前 n 项和，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于基础题9.已
8、知函数 f（x）=cosxx 2，对于 上的任意 x1，x 2，有如下条件：x 1x 2；|x 1|x 2|；|x 1|x 2其中能使 f（x 1）f（x 2）恒成立的条件序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数 f（x）为偶函数，函数关于 y 轴对称，且在 上递增，在 上递减，相等于距离 y 轴越近的函数值越大，即绝对值越小，函数值越大，得出答案【详解】对于 上，f（-x）=f（x） ，函数 f（x）为偶函数，在 上，cosx 递减，-x 2递减，f（x）=cosx-x 2在（ 上递减，由对称性可知在在 上递增，距离 y 轴越近的函数值越大，即绝对值越小，函数值越大
9、，6|x 1|x 2|，故选：A【点睛】考查了偶函数的图象和性质，属于基础题型，应熟练掌握10.已知 ， 、 满足 ，且的最大值是最小值的 4 倍，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示, 可知当 过点 时有最小值为 ,当过点 时有最大值为 ,故选 A.考点：线性规划.11.已知数列 的前 项和为 159131721 ，则的值是( ).A. 13 B. 76 C. 46 D. 76【答案】B【解析】【分析】由已知可得 ，求得 ，即可得到答案【详解】由题意 ，所以 ，7所以 ，故选 B【点睛】本题主要考查了数列的前 项和的应用，其中解答
10、中认真审题，主要数列前 项和公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题12.设点 M(x0，1)，若在圆 O： x2 y21 上存在点 N，使得 OMN45，则 x0的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】过 O 作 OP MN， P 为垂足， OP OMsin 451， OM ， OM22， 12， 1，1 x01. 答案 B. 第卷二、填空题：（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13.如果双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】双曲线 的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切渐近线 与抛物线的方程联立的
11、 ，得到 的=0再利用双曲线的离心率的计算公式即可得出8【详解】双曲线 的渐近线 ，与抛物线的方程联立的 ，得到 此条渐近线与抛物线 y=x2+1 相切， ，化为 该双曲线的离心率 故答案为 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，熟练掌握直线与圆锥曲线相切=0、离心率的计算公式是解题的关键14.过点 作直线 交 轴于点 ，过点 作 交 轴于点 ，延长 至点 ，使得 ，则 点的轨迹方程为_【答案】【解析】分析：由题意可得点 M 为线段 PN 的中点，且 FM 是线段 PN 的垂直平分线，设点 ，点，由 ，可得点 ，设点 ，再由线段的中点坐标公式可得 P 的轨迹方程.详解：由题意可得，定点 ，点
12、M 为线段 PN 的中点，且 FM 是线段 PN 的垂直平分线，设点 ，点 ，由 ，求得 ，设点 ，再由线段的中点坐标公式可得：，消去参数，可得 .故答案为： .9点睛：本题主要考查求点的轨迹方程的求法，把参数方程化为直角坐标方程.15.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取_名学生【答案】60【解析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查的，该校一年级、二
13、年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5:6，应从一年级本科生中抽取学生人数为： .故选：A.视频16.棱长为 1 的正方体 中， 分别是 的中点. 在直线 上运动时，三棱锥 体积不变； 在直线 上运动时， 始终与平面 平行；平面 平面 ；连接正方体 的任意的两个顶点形成一条直线，其中与棱 所在直线异面的有 条；其中真命题的编号是_.（写出所有正确命题的编号）【答案】【解析】【分析】画出正方体图形，P 在直线 BC1上运动时，三棱锥 A-D1PC 的体积不变；三角形 AD1P 面积不变，C 到平面距离不变，体积为定值；Q 在直线 EF 上运动时，可证面 GEF平面 AA1C1C，GQ
14、面 GEF，从而判定是否成立10M 是正方体的面 A1B1C1D1内到点 D 和 C 1距离相等的点，则 M 点的轨迹是一条线段线段A1D1满足题意可列举出所求与棱 AA1异面的直线，从而判定真假【详解】：P 在直线 BC1上运动时，三棱锥 A-D1PC 的体积不变；三角形 AD1P 面积不变，C 到平面距离不变，体积为定值；Q 在直线 EF 上运动时，EFAC，GFC 1C，可知面 GEF平面 AA1C1C，GQ面 GEF，所以成立易得 即以正方体 ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱 AA1异面的有BC、BC 1、B 1C、B 1C1、C 1D1、B 1D1、
15、CD、CD 1、C 1D、BD 1、B 1D、BD 共 12 条，故不正确；故答案为：【点睛】本题考查棱锥的结构特征，轨迹方程，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题三、解答题：（第 17 题 10 分，其余每题均为 12 分，满分 70 分）17.在三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ， ， ，点 是的中点（1）求证： 平面 ；（2）求证： .【答案】 （1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）设 CB1与 C1B 的交点为 E，连接 DE，根据 D 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点，可知DEAC 1，而 DE平面 CDB1，AC 1平面 CDB1，根据线面平行的判定定理可知 A
16、C1平面CDB1；11（2）三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面三边长 AC，BC，AB 满足勾股定理则 ACBC，又侧棱垂直于底面 ABC，则 CC1AC，又 BCCC 1=C，根据线面垂直的判定定理可知 AC面 BB1C1C 又B1C 平面 BCC1，根据线面垂直的性质可知 ACBC 1【详解】连接 BC1交 B1C 与点 O，连接 OD.四边形 BB1C1C 为矩形，点 O 为 BC1的中点. 又点 D 为 BA 的中点 ODAC 1 OD 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1AC 1平面 CDB1 .（2） ACBC,CC 1平面 ABC, ， 又 CC1BC=C AC面 BB1C
17、1C B 1C 面 BB1C1C .【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定，同时考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题18.为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民 25 人，女性市民 75 人进行调查，得到以下的 列联表： 支持 不支持 合计男性 20 5 25女性 40 35 75合计 60 40 10012根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取 4 位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的 4 位市民中持“支持”态度的人数为 X,求 X 的分布列及
18、数学期望。附： .0.15 0.100 0.050 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】 （1）有 97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关.； （2） .【解析】【分析】（1）计算 K2，与 2.706 比较大小；（2）由 列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为 ）将频率视为概率，即从 A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为 . 由于总体容量很大，故 X 可视作服从二项分布，即 B(4, )，求出 X 的分布列，代入公式计算数学期望和方差【详解】 （）由列联表可得而 P（ ）=0.025所以有 97.5%的把握
19、认为 “支持政策”与“性别”有关. （2） 由 列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为 ，将频率视为概率，即从 A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为 . 由于总体容量很大，故 X 可视作服从二项分布，即 B(4, )，13所以 . 从而 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4X 的数学期望为 。【点睛】本题考查了独立性检验，分层抽样，随机变量分布，属于中档题19.已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线 l1：x2y70 相切过点 B(2,0)的动直线l 与圆 A 相交于 M，N 两点(1)求圆 A 的方程；(2)当|MN|2 时，求直线 l 的方程【答案】 （1） ；
20、（2） 或 .【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，求解半径，即可得到圆的方程（2）画出图形，设出直线方程，利用垂径定理，已经圆心到直线的距离与半径关系，求解即可【详解】(1)设圆 A 的半径为 R.圆 A 与直线 l1：x2y70 相切，R2.圆 A 的方程为(x1) 2(y2) 220.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时，x2，(y2) 219，y2，|MN|2.符合题意；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0.|MN|2， 2() 2(2) 2，解得 k.此时直线 l 的方程为 3x4y60.综上，所求直线 l 的方程为
21、 x2 或 3x4y60.【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力1420.已知等比数列 的公比为 ，与数列 满足 （ ）（1）证明数列 为等差数列；（2）若 ，且数列 的前 3 项和 ，求 的通项，（3）在(2)的条件下，求 .【答案】 （1）证明见解析；（2） ；（3） 。【解析】【分析】(1)证明：设 的公比为 由 ，得到 ，利用等差数列的定义，可得到结论；(2) 由题意，根据等差的通项公式和前 项和公式，列出方程组，求得 ，即可得到数列的通项公式；(3)由 ，求得数列 的前 8 项均为正，从第 9 项开始为负，分类讨论即可求解【详解】(1)证明：设 的公比为 （
22、） （ ） （与 无关的常数）数列 为等差数列，公差为 . (2)解: 即 ，解得 (3)由 得 ， 可得 的前 8 项均为正，从第 9 项开始为负 当 时，159 分当 时,综上所述： 【点睛】本题主要考查了等差数列的判定与证明，以及等差数列的通项公式和前 项和公式的应用，其中解答第三问时，根据数列的通项公式，得到前 8 项均为正，从第 9 项开始为负，分类讨论即可求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和推理与运算能力21.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 M，N 分别为线段 A1B，B 1C 的中点（1）求证：MN平面 AA1C1C；（2）若ABC=90，AB=BC=2，AA
23、 1=3，求点 B1到面 A1BC 的距离【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】【分析】（1）根据中位线定理可得 MNA 1C1，故而 MN平面 AA1C1C；（2）根据 V CA1B1B=V B1A1BC列方程求出点 B1到面 A1BC 的距离【详解】 （1）证明：连接 BC1，四边形 BCC1B1是平行四边形，N 是 B1C 的中点，N 是 BC1的中点，又 M 是 A1B 的中点，MNA 1C1，又 A1C1平面 AA1C1C，MN平面 AA1C1C，16MN平面 AA1C1C（2）解：ABBC，BB 1BC，ABBB 1=B，BC平面 ABB1A1， ，又 A1B= ， 设 B1
24、到平面 A1BC 的距离的距离为 h，则 ， ， ， 点 B1到面 A1BC 的距离为 【点睛】本题考查了线面平行的判定，空间距离的计算，属于中档题22.已知二次函数 满足 ，且 对一切实数 恒成立. （1）求 ； （2）求 的解析式；（3）求证： 【答案】 （1）1 ； （2） ；（3）见解析.【解析】【分析】（1） ）由已知令 得： 可求 f（1）的值 （2）令由利用待定系数法求函数的解析式 （3）由（2）知 故17，即可证明不等式.【详解】 （1）由已知令 得： （2）令 由得： 即则 对任意实数 恒成立就是 对任意实数恒成立，即：则（3）由（2）知 故故原不等式成立【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质以及利用放缩法证明不等式，综合性较强
