1、1专题四 与圆有关的计算类型一 与切线有关的简单证明与计算(2018昆明)如图，AB 是O 的直径，ED 切O 于点 C，AD 交O 于点 F，AC 平分BAD，连接 BF.(1)求证：ADED；(2)若 CD4，AF2，求O 的半径【分析】 (1)连接 OC，先证明 OCAD，然后利用切线的性质得 OCDE，从而得到 ADED；(2)OC 交 BF于 H，如解图，利用圆周角定理得到AFB90，再证明四边形 CDFH 为矩形得到 FHCD，CHF90，利用垂径定理得到 BHFH，在 RtABF 中，利用勾股定理计算出 AB，从而得到O 的半径【自主解答】 (1)证明：连接 OC，如解图，AC
2、平分BAD，12，OAOC，13，23，OCAD，ED 切O 于点 C，OCDE，ADED；例 1 题解图(2)解：OC 交 BF 于点 H，如解图，AB 为直径，AFB90，易得四边形 CDFH 为矩形，2FHCD4，CHF90，OHBF，BHFH4，BF8，在 RtABF 中，AB 2 ，AF2 BF2 22 82 17O 的半径为 .171(2018河南说明与检测)如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上任一点(1)若BAC30，过点 C 作半圆 O 的切线交直线 AB 于点 P.求证：PBCAOC；(2)若 AB6，过点 C 作 AB 的平行线交半圆 O 于点 D，当以点 A、
3、O、C、D 为顶点的四边形为菱形时，求的长BC 2(2018河南说明与检测)如图，在O 中，AOB120，点 C 为 的中点，延长 OC 到点 D，使AB CDOC，AB 交 OC 于点 E.(1)求证：DA 是O 的切线；(2)若 OA6，求弦 AB 的长33(2018河南说明与检测)如图，ABC 中，ACB90，D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的O 交 BC 于点 E，连接 AE 交 CD 于点 P，交O 于点 F，CAEADF.(1)判断 AB 与O 的位置关系，并说明理由；(2)若 PFPC12，AF5，求 CP 的长4(2018金华)如图，在 RtABC 中，点 O 在斜边 A
4、B 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC，AB相交于点 D，E，连接 AD.已知CADB.(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若 BC8，tan B ，求O 的半径1245(2018玉林)如图，在ABC 中，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D，DACB.(1)求证：AC 是O 的切线；(2)点 E 是 AB 上一点，若BCEB，tanB ，O 的半径是 4，求 EC 的长126(2018天津)已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC38.()如图，若 D 为 的中点，求ABC 和ABD 的大小；AB ()如图，过点 D 作O 的切线，与 AB 的延长线交
5、于点 P，若 DPAC，求OCD 的大小图5图7(2018信阳一模)如图，AB 是O 的弦，D 为半径 OA 的中点，过 D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E，交O于点 F，且 CECB.(1)求证：BC 是O 的切线；(2)连接 AF，BF，求ABF 的度数68(2018河南说明与检测)如图，AB 是O 的直径，C 是 的中点，O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点AB D，E 是 OB 的中点，CE 的延长线交切线 BD 于点 F，AF 交O 于点 H，连接 BH.(1)求证：ACCD；(2)若 OB2，求 BH 的长类型二 与四边形判定结合的证明与计算(2018河南)如图，AB 是O
6、 的直径，DOAB 于点 O，连接 DA 交O 于点 C，过点 C 作O 的切线交 DO 于点 E，连接 BC 交 DO 于点 F.(1)求证：CEEF；(2)连接 AF 并延长，交O 于点 G.填空：当D 的度数为_时，四边形 ECFG 为菱形；当D 的度数为_时，四边形 ECOG 为正方形7例 2 题图【分析】 (1)连接 OC，如解图，利用切线的性质得1490，再利用等腰三角形的性质和互余证明12，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；(2)要证明四边形 ECFG 为菱形，可知CEF 为等边三角形，ACB90，CFE60，D 可求；四边形 ECOG 为正方形，COG90，COF45，则C
7、OA45，根据ACO 是等腰三角形，在 RtAOD 中，已知DAO，则D 可求【自主解答】 (1)证明：连接 OC，如解图，CE 为切线，OCCE，OCE90，即1490，DOAB，3B90，23，2B90，又OBOC，4B，12，CEFE；(2)解：当D30时，四边形 ECFG 为菱形，【解法提示】四边形 ECFG 为菱形，CECFFGEG，由(1)知 CEEF，ECF 是等边三角形，CFD60，ACB90，DCF90，D906030.当D22.5时，四边形 ECOG 为正方形【解法提示】8例 2 题解图四边形 ECOG 为正方形，COCE，OCE90，COE 是等腰直角三角形，COE45，
8、DOAB，DOA90，COADOACOE45，OAOC，CAB67.5，D9062.522.5.1(2016河南)如图，在 RtABC 中，ABC90，点 M 是 AC 的中点，以 AB 为直径作O 分别交AC，BM 于点 D，E.(1)求证：MDME；(2)填空：若 AB6，当 AD2DM 时，DE_；连接 OD，OE，当A 的度数为_时，四边形 ODME 是菱形92(2015河南)如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A、B 重合的一个动点，延长 BP 到点C，使 PCPB，D 是 AC 的中点，连接 PD、PO.(1)求证：CDPPOB；(2)填空：若 AB4，则四边形
9、 AOPD 的最大面积为_；连接 OD，当PBA 的度数为_时，四边形 BPDO 是菱形3(2014河南)如图，CD 是O 的直径，且 CD2 cm，点 P 为 CD 的延长线上一点，过点 P 作O 的切线 PA，PB，切点分别为点 A，B.(1)连接 AC，若APO30，试证明ACP 是等腰三角形；(2)填空：当 DP_ cm 时，四边形 AOBD 是菱形；当 DP_ cm 时，四边形 AOBP 是正方形104(2018驻马店一模)如图，AC 是O 的直径，点 P 在线段 AC 的延长线上，且 PCCO，点 B 在O 上，且CAB30.(1)求证：PB 是O 的切线；(2)若 D 为圆 O
10、上任一动点，O 的半径为 5 cm 时，当弧 CD 长为_时，四边形 ADPB 为菱形；当弧 CD 长为_时，四边形 ADCB 为矩形5(2018濮阳一模)如图，已知ABC 内接于O，AB 是直径，ODAC，ADOC.11(1)求证：四边形 OCAD 是平行四边形；(2)探究：当B_时，四边形 OCAD 是菱形；当B 满足什么条件时，AD 与O 相切？请说明理由6(2017河南模拟)已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是经过 A、B、C 三点的圆，CD 与O 相切于点 C，点 P 是 上的一个动点(点 P 不与 B、C 点重合)，连接 PA、PB、PC.BC (1)求证：CACB；(2
11、)当点 P 满足_时，CPAABC，请说明理由；当ABC 的度数为_时，四边形 ABCD 是菱形127(2018河南说明与检测)如图，ABC 内接于圆 O，且 ABAC.延长 BC 到点 D，使 CDCA，连接 AD 交圆 O 于点 E.(1)求证：ABECDE.(2)填空：当ABC 的度数为_时，四边形 AOCE 是菱形；若 AE ，AB2 ，则 DE 的长为_3 28(2018河南说明与检测)如图，半圆 O 的直径为 AB，点 M 为半圆上一动点(不与点 A，B 重合)，点 N为 的中点，NDAB 于点 D，过点 M 的切线交 DN 的延长线于点 C.AM (1)若 MCAB，求证：ADC
12、N；填空：四边形 OMCD 是何种特殊的四边形？_(2)填空：当ANM_时，四边形 ANMO 为菱形139(2018河南说明与检测)如图，在 RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径的O 与 AC 边交于点 D，过点 D 作O 的切线交 BC 于点 E，连接 OE.(1)求证：OEAD；(2)填空：BAC_时，四边形 ODEB 是正方形；当BAC_时，AD3DE.1410(2017濮阳一模)如图，AB 是O 的直径，点 P 是 AB 下方的半圆上不与点 A，B 重合的一个动点，点 C 为 AP 中点，延长 CO 交O 于点 D，连接 AD，过点 D 作O 的切线交 PB 的延长线于点 E，
13、连 CE 交 AB于点 F，连接 DF.(1)求证：DACECP；(2)填空：四边形 ACED 是何种特殊的四边形？在点 P 运动过程中，线段 DF、AP 的数量关系是_11如图，已知A 的半径为 4，EC 是A 的直径，点 B 是A 的切线 CB 上的一个动点，连接 AB 交A于点 D，弦 EF 平行于 AB，连接 DF，AF.15(1)试判断直线 BF 与A 的位置关系，并说明理由；(2)填空：当CAB_时，四边形 ADFE 为菱形；当 EF_时，四边形 ACBF 为正方形12(2018河南说明与检测)如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点E
14、，过点 D 作 DFAC 于点 F.(1)求证：DF 为O 的切线；(2)若过点 A 且与 BC 平行的直线交 BE 延长线于点 G，连接 CG.设O 的半径为 5.当 CF_时，四边形 ABCG 为菱形；当 BC4 时，四边形 ABCG 的面积是_516参考答案类型一针对训练1(1)证明：AB 是O 的直径，ACB90.BAC30，ABC60.OBOC，OBC 是等边三角形OCBC，OBCBOC60.AOCPBC120.CP 是O 的切线，OCCP.OCP90.ACOPCB.在AOC 和PBC 中，PBCAOC. AOC PBCOC BC AOC PCB)(2)解：如解图，四边形 AOCD
15、为菱形，OAADCDOC.连接 OD，则 OAODOC，AOD 和COD 都是等边三角形AODCOD60.BOC60.17 的长为 .BC 60 3180如解图，同理，BOC120， 的长为 2.BC 120 3180综上可知， 的长为 或 2.BC 图图第 1 题解图2(1)证明：如解图，连接 AC.C 是 的中点，AB .AC BC 第 2 题解图AOB120，AOCBOC60.OAOC，AOC 是等边三角形OACOCA60，ACOC.CDOC，CDAC.DACD OCA30.12DAOOACDAC90.OA 是O 的半径，DA 是O 的切线(2)解：OAOC，AOCBOC60，AEBE，
16、OEAB.在 RtAOE 中，AEOAsin 606 3 .32 3AB2AE6 .3183(1)证明：AB 与O 相切，理由如下：ACB90，CAEAEC90，CAEADF，AECFDC，ADFFDC90，即ADC90.CDAB.又CD 为O 的直径，AB 与O 相切第 3 题解图(2)解：连接 FC，DE，如解图，CD 为O 的直径，DEC90，ACB90，DEAC，CAEDEA，DEADCF，CAEDCF，即CAPFCP，CPAFPC，CAPFCP， ，PCPF PAPC ，PCPA PFPC 12PA2PC4PF，PF AF ，13 53CP2PF .1034(1)证明：连接 OD，O
17、BOD，3B，B1，13，在 RtACD 中，1290，4180(23)90，19第 4 题解图ODAD，OD 为O 的半径，AD 为O 的切线；(2)解：设O 的半径为 r，在 RtABC 中，ACBCtan B4，根据勾股定理得：AB 4 ，42 82 5OA4 r，5在 RtACD 中，tan1tan B ，12CDACtan12，根据勾股定理得：AD 2AC 2CD 216420，在 RtADO 中，OA 2OD 2AD 2，即(4 r) 2r 220，5解得：r .3 525(1)证明：AB 是直径，ADB90，BBAD90，DACB，DACBAD90，BAC90，BAAC，AC 是
18、O 的切线(2)解：BCEB，ECEB，设 ECEBx，在 RtABC 中，tanB ，AB8，ACAB 12AC4，在 RtAEC 中，EC 2AE 2AC 2，x 2(8x) 24 2，解得 x5，CE5.6解：()AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC38，ACB90，ABC52，D 为 的中点，AOB180，AB AOD90，20ABD45.()连接 OD，如解图，DP 切O 于点 D，ODDP，即ODP90，由 DPAC，又BAC38，PBAC38，AOD 是ODP 的一个外角，AODPODP128，ACD64，OCOA，BAC38，OCABAC38，OCDACDOCA
19、643826.第 6 题解图7(1)证明：连接 OB，如解图，CECB，CBECEB，CDOA，DAEAED90，又CEBAED，DAECBE90，OAOB，OABOBA，OBACBE90，即OBC90，OBBC，OB 是O 的半径，BC 是O 的切线；(2)解：连接 OF，交 AB 于点 H，如解图，DFOA，ADOD，FAFO，又OFOA，OAF 为等边三角形，AOF60，21ABF AOF30.12第 7 题解图8(1)证明：连接 OC，如解图，第 8 题解图C 是 的中点，AB 是O 的直径，AB COAB.BD 是O 的切线，BDAB.OCBD，OAOB，ACCD.(2)解：E 是
20、OB 的中点，OEBE.在COE 和FBE 中，CEOFEB，OEBE，COEFBE，COEFBE，COBF，OB2，BF2，AF 2 ，AB2 BF2 5AB 是直径，BHAF，ABFBHF， ，ABBH AFBF即 ABBFAFBH，BH .ABBFAF 422 5 4 55类型二针对训练221(1)证明：ABC90，AMMC，BMAMMC，AABM，四边形 ABED 是圆内接四边形，ADEABE180，又ADEMDE180，MDEMBA，同理证明：MEDA，MDEMED，MDME.(2)解：由(1)可知，AMDE，DEAB， ，DEAB MDMAAD2DM，DMMA13，DE AB 62
21、.13 13故答案为 2.第 1 题解图当A60时，四边形 ODME 是菱形理由如下：如解图，四边形 ODME 是菱形，ODOEDMMG，DMME，DME 是等边三角形，EDM60，DEAB，AMDE60.2(1)证明：PCPB，D 是 AC 的中点，DPAB，DP AB，CPDPBO，12BO AB，12DPBO，在CDP 与POB 中，DP BO CPD PBOPC PB )CDPPOB(SAS)；(2)4【解法提示】当四边形 AOPD 的 AO 边上的高等于半径时有最大面积，AB4，OA2，最大面积为 224；23第 2 题解图60【解法提示】连接 OD，如解图，DPAB，DPBO，四边
22、形 BPDO 是平行四边形，四边形 BPDO 是菱形，PBBO，POBO，PBBOPO，PBO 是等边三角形，PBA 的度数为 60.第 3 题解图3(1)证明：连接 OA，如解图，PA 是O 的切线，OAPA，在 RtAOP 中，AOP90APO903060，ACP30，APO30，ACPAPO，ACAP，ACP 是等腰三角形(2)解：DP1，理由如下：四边形 AOBD 是菱形，OAADOD，AOP60，OP2OA，DPOD.DP1，DP 1，理由如下：2四边形 AOBP 是正方形，AOP45，OAPA1，OP ，2DPOP1，DP 1.24(1)证明：如解图，连接 OB、BC.OAOB，O
23、ABOBA30，COBOABOBA60，OBOC，OBC 是等边三角形，BCOC，PCOC，24BCCOCP，PBO90，OBPB，OB 是O 的半径，PB 是O 的切线图图图第 4 题解图(2)解： 的长为 cm 时，四边形 ADPB 是菱形理由如下：CD 53如解图，四边形 ADPB 是菱形，CAB30，DAC30，COD2CAD60， 的长为 cm.CD 60 5180 53当弧 CD 的长为 cm 时，103四边形 ADCB 为矩形，理由如下：如解图，当四边形 ADCB 是矩形时，易知COD120， 的长为 cm.CD 120 5180 1035(1)证明：OAOC，ADOC，OAAD
24、，AODADO，ODAC，OACAOD，OACOCAAODADO，AOCOAD，25OCAD，四边形 OCAD 是平行四边形；(2)解：30【解法提示】四边形 OCAD 是菱形，OCAC，又OCOA，OCOAAC，AOC60，B AOC30；12当B45时，AD 与O 相切，理由如下：AD 与O 相切，OAD90，ADOC，AOC90，B AOC45.126(1)证明：连接 CO 并延长交 AB 于点 E，如解图，CD 与O 相切于点 C，CECD，四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD，CEAB，AEBE，BCAC；(2)解：当 ACAP 时，CPAABC.理由如下：ACBC，ACAP，A
25、BCBAC，APCACP，ABCAPC，BACACP，在CPA 与ABC 中， ， APC ABC ACP CABAC CA )CPAABC；26图图第 6 题解图当ABC 的度数为 60时，四边形 ABCD 是菱形理由如下：如解图，连接 OC，OB，ABC60，BCD120，CD 与O 相切于点 C，OCD90，BCO30，OBOC，OBC30，ABO30，BO 垂直平分 AC，ABBC，四边形 ABCD 是菱形7(1)证明：ABAC, CDCA，ABCACB，ABCD.四边形 ABCE 是圆内接四边形，ABCAEC180，BAEBCE180.CEDAEC180，ECDBCE180，CEDA
26、BC，ECDBAE.CEDACB.ACBAEB，CEDAEB.在ABE 和CDE 中， AB CD CED AEB， DCE BAE)ABECDE.(2)解：60； .53 38解：(1) 连接 ON，如解图27点 N 为 的中点，ANMN，AM OAOM，ONON，AONMON.OANOMN，CM 为O 的切线，CMOM.第 8 题解图CMNOMN90，NDAB，NADAND90，ANDCMN，MCAB，CDAB，MCND，即NCM90.又ANNM，ADN90，ANDNMC，ADCN.矩形(2)120.9(1)证明：连接 OD，DE 是O 的切线，ODDE，第 9 题解图在 RtODE 和
27、RtOBE 中，OD OB，OE OE， )RtODERtOBE.DOEBOE DOB，12OAOD，AADO DOB，12BOEA，28OEAD.(2)解：45 3010(1)证明：DE 为O 的切线，ODDE，CDE90，点 C 为 AP 的中点，DCAP，DCADCP90，AB 是O 直径，APB90，四边形 DEPC 为矩形，DCEP，在DAC 和ECP 中，AC PC ACD CPEDC EP )DACECP；(2)解：DACECP，ADCE，DACECP，ADCE，四边形 ACED 是平行四边形；DF AP.理由如下：12OAOD，DAOADO，ADCE，ADODCF，DAODCF
28、，A，C，F，D 四点共圆， ，AC DF ACDF，AC AP，12DF AP.1211(1)证明：BF 与A 相切，理由如下：BC 是A 的切线，ACB90，29EFAB，AEFCAB，AFEFAB，又AEAF，AEFAFE，FABCAB，在ABC 和ABF 中，AF AC FAB CABAB AB )ABCABF(SAS)；AFBACB90，AF 是A 的半径，BF 与O 相切(2)解：60理由如下：连接 CF，如解图所示，第 11 题解图若四边形 ADFE 为菱形，则 AEEFFDDA，又CE2AE，CE 是圆 A 的直径，CE2EF，CFE90，ECF30，CEF60，EFAB，AEFCAB，CAB60；4 .理由如下：2若四边形 ACBF 为正方形，则 ACCBBFFA4，且 AFAE，EF 4 .AE2 AF2 2第 12 题解图12(1)证明：连接 OD，ABAC，OBOD，ABCACB，OBDODB，30ACBODB，ODAC.DFAC，DFOD，DF 为O 的切线(2)解：2.5. 100.
