1、1负数小史中国是最早采用正、负数表示相反意义的量,并进行负数运算的国家.有关正、负数的概念和运算法则的系统论述,记载于我国古代数学名著九章算术一书中,书中明确提出“正负术”,这是世界上至今发现的最早最详细的记载.公元 3世纪,我国数学家刘徽在“正负术”的注文中指出:“两算得失相反,要令正、负以名之,正算(筹)赤,负算(筹)黑,否则以邪正为异.”就是说,对两个得失相反的量,要以正、负加以区别,用红筹表示正,黑筹表示负,也可将算筹正放、斜放来区别.1.我国古代首次阐述了负数及其加减运算法则的数学著作是( )A.海岛算经 B.几何原本C.九章算术 D.周髀算经2.中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家
2、刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数.根据刘徽的这种表示法,观察图(1),可推算图(2)中所得的数值为 . 图(1) 图(2)无理数漫谈公元前 5世纪,毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个既不能用整数,也不能用分数来表示的新数无理数 .他的发现,在当时的数学届掀起了一场巨大风暴,导致西方数学史2上的“第一次数学危机”.这一发现第一次向人们揭示了有理数的缺陷,证实有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“空隙”,而这种“空隙”经后人证明简直多得“不可胜数”.这次数学危机,对以后两千多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直
3、觉、经验转向依靠证明,推动了公理几何学与逻辑学的发展,并且孕育了微积分的思想萌芽.1.在实数 0, , ,- 中,无理数有 个. 13 5 92.与 相乘并且结果为有理数的无理数是 (写出一个即可). 73.比较: -2(填“”,“”或“=”). 3-8.1杨辉三角我们已经知道(a+b) 2展开后等于 a2+2ab+b2,你能利用多项式乘法法则展开(a+b) 3,并且进一步展开(a+b) 4,(a+b)5吗?解决上述问题需要大量的计算,是否有简单的方法呢?我们不妨找找规律!如果将(a+b) n(n为非负整数)的每一项按字母 a的次数由大到小排列,就可以得到下面的等式:(a+b)0=1,它只有一
4、项,系数为 1;(a+b)1=a+b,它有两项,系数分别是 1,1;(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别是 1,2,1;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别是 1,3,3,1;2我们发现展开后系数的规律是:每一行的首末都是 1,其余的数都等于它肩上的两数字之和,并且与首尾两端“等距离”的两个数相等,具有对称美,每一行的第二个数比行数小 1.按照这个规律系数表为:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1上表可用来解释二项和的乘方规律.此表在我国南宋数学家杨辉 1261年的著作详解九章算
5、法中提到过,并说明此表引自北宋数学家贾宪在其所著的释锁算术,因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角,在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡是 1654年发现这一规律的,比杨辉要迟 393年,比贾宪迟 600年.1.如图(1)是杨辉三角,图(2)是对应的等式,11 1 (a+b)1=a+b1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b21 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 图(1) 图(2)根据前面各式的规律,则(a+b) 6= .如果将(a+b) 8的每一项按字母 a的次数由大到小排列,第六项是 .
6、2.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的数字三角形,我们称之为“杨辉三角”.从图中取一列数:1,3,6,10,记 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,那么 a4+a11-2a10+10的值是 . 斐波那契数列斐波那契数,是由意大利数学家列昂纳多斐波那契发现,亦称为斐波那契数列,其排列是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,依次类推下去,你会发现,后一个数等于前面两个数的和.斐波那契数列与黄金分割具有统一美.有趣的是,当数列中的数趋向于无穷大时,前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割比 0.618(或者说后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割比 0.618
7、).斐波那契数列与杨辉三角关系密切.如图所示,将杨辉三角左对齐,成如图所示排列,将同一斜行的数加起来,即得一数列 1,1,2,3,5,8,.31.数列 1,1,2,3,5,8,13,21,被称为斐波那契数列.在平面直角坐标系中,点 P位于原点,依次以斐波那契数列的每一项为平移距离,将点 P先向上平移 1个单位长度,得到点 P1,再向左平移 1个单位长度,得到点 P2,接着向下平移 2个单位长度,得到点 P3,然后向右平移 3个单位长度,得到点 P4如此平移下去,则点 P9的坐标为 . 2.阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务.斐波那契数列中的第 n个数可以用 ( )n-( )n表示(其
8、中 n1).这是用无15 1+52 1- 52理数表示有理数的一个范例.任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第 1个数和第 2个数.海伦-秦九韶公式假设在一个平面内,有一个三角形,边长分别为 a,b,c,半周长 p= ,此三角形的+2面积 S可由以下公式求得:S= ,古希腊的几何学家海伦(Heron,约公元(-)(-)(-)50年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名,在他的著作度量一书中,给出了公式和它的证明,这一公式称为海伦公式.我国南宋时期数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 S=.1422-(2+2-22 )2下面我们对公式进行变形:1422-(2+2-
9、22 )2=(12)2-(2+2-24 )2=(12+2+2-24 )(12-2+2-24 )=2+2+2-24 2-2-2+24=(+)2-24 2-(-)24=+2 +-2 +-2 +-2= .(-)(-)(-)这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式,所以我们也称公式为海伦-秦九韶公式.41.在ABC 中,AB=4, AC=5, BC=6,请你利用海伦-秦九韶公式求出ABC 的面积.2.如图,在ABC 中,AB=13,BC=12,AC=7,O 内切于ABC,切点分别是 D,E,F.(1)请你利用海伦-秦九韶公式求出ABC 的面积;(2)求O 的半径.参考答案负数小史1.C2.-3
10、 由题意知题图(2)表示+2 与-5 相加,根据有理数加法法则,可知结果为-3.无理数漫谈1.2 - =-3,为有理数;0, 均为有理数 ;, 均为无理数 .913 52. (答案不唯一)73. ( )3=-8.1,(-2)3=-8,-8.1-8, -2.3-8.1 3-8.1杨辉三角1.a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 56a 3b52.-24 由题可知 an=1+2+3+n= ,a 10= =55,a11= =66,则 a4+a11-(+1)2 10112 111222a10+10=10+66-255+10=-24.斐波那契数列1.(15,25) 易
11、知点 P1的坐标为(0,1),点 P2的坐标为(-1,1),点 P3的坐标为(-1,1-2),即(-1,-1),点 P4的坐标为(-1+3,-1),即(2,-1),点 P5的坐标为(2,-1+5),即(2,4),点 P6的坐标为(2-8,4),即(-6,4),点 P7的坐标为(-6,4-13),即(-6,-9),点 P8的坐标为(-6+21,-9),即(15,-9),点 P9的坐标为(15,-9+34),即(15,25).2.第 1个数为 ( - )= =1.151+52 1- 52 155第 2个数为 ( )2-( )2= ( + )( - )= 1 =1.15 1+52 1- 52 151+52 1- 52 1+52 1- 52 155海伦-秦九韶公式1.p= = ,4+5+62 152S ABC = = .152(152-4)(152-5)(152-6)15742.(1)AB=13,BC=12,AC=7,S= (-)(-)(-)= 16349=24 .35(2)记ABC 的周长为 l,O 的半径为 r,则 l=AB+BC+AC=32,S= lr=24 ,12 3r= = .48332332
