1、1路径长最值问题处理方法常见模型 结构示例 应用的原理 基本思路 转化原则如图,定点 A,B 在定直线 l 的同侧,在定直线 l 上找一动点 P,使 PA+PB 的值最小. 两点之间,线段最短.作任意一定点关于直线 l的对称点,然后连接对称点与另一定点,根据两点之间线段最短,得出 PA+PB 的最小值.轴对称最值模型如图,定点 A,B 在定直线 l 的异侧,在定直线 l 上找一点 P,使|PA-PB|的值最大.三角形的三边关系作任意一定点关于直线 l的对称点,然后作过该对称点和另一定点的直线,交直线 l 于点 P,根据三角形中两边之差小于第三边,可得|PA-PB|的最大值.折叠求最值模型如图,
2、点 N 为定点,点 M 为动点,折叠图形后.求 AB 的最小值;求点 A到 BC 距离的最小值.平面内的点与圆上距离最大和最小的点均在该点与圆心连线所在的直线上;垂线段最短.以点 N 为圆心、AN 的长为半径作圆.连接 BN 交N于一点,当点 A与该交点重合时,AB 取最小值;过点 N 作 BC 的垂线,交N 于一点,当点 A与该交点重合时,点 A到 BC 的距离最小.尽量减少变量,向定点、定线段、定图形“靠拢”;使用同一变量表达所求目标.突破点 1 轴对称最值模型如图,在平面直角坐标系中,AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合,点 P 是 OA 上的一动点,点 N(3,0)在 OB 上,点
3、M 是 ON 的中点,AOB=30,要使 PM+PN 的值最小,则点 P 的坐标为 . 思路分析 定点 M,N 在定直线 OA 同侧,求 PM+PN 的最小值时,可作点 N 关于定直线 OA 的对称点 N,再连接MN,根据两点之间线段最短,得到点 P,M,N共线时,PM+PN 的值最小,据此进行求解.突破点 2 折叠求最值模型如图,在 RtABC 中,C=90,AC=6,BC=8,点 F 在边 AC 上,且 CF=2,点 E 为边 BC 上的动点,将CEF 沿直线EF 翻折,点 C 落在点 P 处,则点 P 到边 AB 距离的最小值为 . 思路分析 在该问题中,先找到定点 F,再以点 F 为圆
4、心、CF 的长为半径作圆,则点 P 在该圆上运动,求点 P到 AB 距离的最小值,即是求F 上的点到 AB 的最小距离,过点 F 作 AB 的垂线,交F 于一点,当点 P 与该点重合时,点 P 到 AB 的距离最小,据此求解即可.21.如图,在ABC 中,AB=AC,AD,CE 是ABC 的两条中线,点 P 是 AD 上的一个动点,则下列线段的长等于 BP+EP最小值的是( )A.BC B.CEC.AD D.AC2.矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,点 B 的坐标为(3,4),点 D 是 OA 的中点,点 E 在 AB 上,当CDE 的周长最小时,点 E 的坐标为 . (第 2
5、 题) (第 3 题)3.如图,AOB=45,点 P 是AOB 内一点,PO=5,点 Q,R 分别是 OA,OB 上的动点,则PQR 周长的最小值为 . 4.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,DAB=60,点 E 为 BC 的中点,点 P 是对角线 AC 上的动点,则PBE 周长的最小值为 . (第 4 题) (第 5 题)5.如图,在平面直角坐标系中,点 A(1,5),B(3,-1),点 M 在 x 轴上运动,当 AM-BM 的值最大时,点 M 的坐标为 . 6.在平面直角坐标系中,抛物线 y= x2-2x 经过点 A(4,0),点 C 的坐标为(1,-3),点 D 是抛物线对称轴上一动点
6、,当12|AD-CD|的值最大时,点 D 的坐标为 . 7.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,A=60,点 M 是 AD 边的中点,点 N 是 AB 边上一动点,将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到AMN,连接 AC,则 AC 的最小值为 . (第 7 题) (第 8 题) 8.如图,CD 是O 的直径,CD=4,ACD=20,点 B 为弧 AD 的中点,点 P 是直径 CD 上的一个动点,则 PA+PB 的最小值为 . 39.如图,抛物线 y=- x2+ x-2 与 x 轴交于点 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点为 D,在 y 轴上是否存在12 52一点 S,使得
7、SD-SB 的值最大?若存在,求出点 S 的坐标,并求出 SD-SB 的最大值;若不存在,请说明理由.参考答案高分突破微专项 3 路径长最值问题例 1 ( , ) 如图,作点 N 关于 OA 的对称点 N,连接 NM 交 OA 于点 P,此时 PM+PN 的值最小.OA 垂直平分32 32NN,AOB=30,ON=ON,NON=2AON=60,NON是等边三角形.点 M 是 ON 的中点,点 N(3,0),NMON,ON=3,OM= ON= ,PM=OMtanAON= = ,P( , ).即要使 PM+PN 的值最小,点 P 的坐标为12 32 32 33 32 32 32( , ).32 3
8、2例 2 当点 E 在 BC 上运动时,PF 的长固定不变,即 PF=CF=2.故点 P 在以点 F 为圆心、以 2 为半径的圆上运65动.如图,过点 F 作 FHAB 交F 于点 P,垂足为点 H,此时 PH 最短,则AFHABC, = .由已知得AF=4,AB=10, = ,即 FH= ,PH=FH-FP= -2= .故点 P 到 AB 距离的最小值为 .8 410 165 165 65 65强化训练1.B AB=AC,AD 是中线,ADBC,点 B,C 关于直线 AD 对称.连接 CE 交 AD 于点 F,当点 P 与点 F 重合时,BP+EP 的值最小,最小值为 CE 的长.故选 B.
9、2.(3, ) 点 B 的坐标为(3,4),OA=3,OC=4,C(0,4).点 D 是 OA 的中点,OD=AD= .如图,作点 D 关于直43 32线 AB 的对称点 F,则 AF=AD= ,故点 F 的坐标为( ,0).根据轴对称的性质,可知直线 FC 与 AB 的交点就是使得32 924CDE 的周长最小的点 E.利用待定系数法可得直线 CF 的解析式为 y=- x+4,当 x=3 时,y= ,故点 E 的坐标为89 43(3, ).433.5 如图,分别作点 P 关于 OA,OB 的对称点 M,N,连接 OM,ON,MN,MN 交 OA,OB 于点 Q,R,此时PQR 周长最小,为2
10、MN 的长.由轴对称的性质可得,OM=ON=OP=5,MOA=POA,NOB=POB,则MON=2AOB=245=90.在RtMON 中,MN= =5 ,即PQR 周长的最小值等于 5 .2+2 2 24. +1 如图,连接 DE,交 AC 于点 F,连接 PD,易得 PB=PD,PD+PEDE,当点 P 与点 F 重合时,PD+PE 的值最3小,且最小值为 DE 的长,易得 DE= ,故 PB+PE 的最小值为 ,易得 BE=1,故PBE 周长的最小值为 +1.3 3 35.( ,0) 如图,作点 B 关于 x 轴的对称点 B,连接 AB并延长与 x 轴交于点 N,此时 AN-BN=AN-B
11、N=AB,MA-72MB=MA-MBAB.点 B和点 B(3,-1)关于 x 轴对称,B(3,1).设直线 AB的解析式为 y=kx+b,将 A(1,5),B(3,1)分别代入,得 解得 故直线 AB的解析式为 y=-2x+7,令 y=0,解得 x= ,当 AM-BM 的值最+=5,3+=1, =-2,=7, 72大时,点 M 的坐标为( ,0).726.(2,-6) 易知抛物线的对称轴为直线 x=2.如图,作点 C 关于直线 x=2 的对称点 C(3,-3),作直线 AC,与直线 x=2 交于点 D.设直线 AC的解析式为 y=kx+b,将 A(4,0),C(3,-3)分别代入,得 解得 故
12、直4+=0,3+=-3, =3,=-12,线 AC的解析式为 y=3x-12,当 x=2 时,y=-6,故点 D 的坐标为(2,-6).57. -1 易知 MA是定值,且 MA=1,AC 的长度取最小值时,点 A在 MC 上.过点 M 作 MFDC 交 CD 的延长线于7点 F,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,点 M 为 AD 的中点,A=60,CD=AD=2,DM= AD=1,FDM=60,12FD=DMcos 60= ,FM=DMsin 60= ,FC=FD+DC= ,MC= = = ,AC=MC-MA= -1.12 32 52 2+2 (32)2+(52)2 7 7故 AC 的最小值
13、为 -1.78.2 如图,作点 A 关于直线 CD 的对称点 M,则点 M 在O 上,连接 MB 交 CD 于点 P,则此时 PA+PB 取最小值,为BM.连接 OB,OM.ACD=20,点 B 为弧 AD 的中点,BOD=20,DOM=40,BOM=60.OB=OM,BOM 是等边三角形,BM=OB= CD=2,即 PA+PB 的最小值为 2. 129.如图,作直线 BD 交 y 轴于点 S,此时 SD-SB 有最大值,最大值等于 BD 的长.y=- x2+ x-2=- (x- )2+ ,12 52 12 52 98点 D 的坐标为( , ).5298将 y=0 代入 y=- x2+ x-2
14、,12 52得- x2+ x-2=0,解得 x1=1,x2=4,12 52点 B 的坐标为(1,0),点 A 的坐标为(4,0).设直线 BD 的解析式为 y=kx+b,将 B(1,0),D( , )分别代入,5298得 解得+=0,52+=98, =34,=-34,故直线 BD 的解析式为 y= x- ,34 34点 S 的坐标为(0,- ).346过点 D 作 DEx 轴于点 E,则 BE= ,DE= .32 98在 RtBDE 中,BD= = = .2+2(32)2+(98)2158故在 y 轴上存在一点 S,使得 SD-SB 的值最大,最大值为 ,此时点 S 的坐标为(0,- ).158 34
