1、1第一节 平行四边形(含多边形)1.2015 河南,7涉及考点:平行四边形的性质、尺规作图、角平分线的性质、菱形的判定与性质、勾股定理如图,在ABCD 中,用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E,连接 BF.若 BF=6,AB=5,则 AE 的长为( )A.4 B.6 C.8 D.10(第 1 题) (第 2 题)2.2014 河南,7涉及考点:平行四边形的性质、勾股定理如图,ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,ABAC.若 AB=4,AC=6,则 BD 的长是( )A.8 B.9 C.10 D.113.2016 河南,10涉及考点:平行四边形的性质、外角的性质
2、如图,在ABCD 中,BEAB 交对角线 AC 于点 E,若1=20,则2 的度数为 . (第 3 题) (第 4 题)4.2009 河南,10涉及考点:平行四边形的性质、中位线定理如图,ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,点 E 是 BC 边的中点,OE=1,则 AB 的长是 . 第二节 矩形、菱形和正方形1.2016 河南,15涉及考点:折叠的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理如图,已知 ADBC,ABBC,AB=3.点 E 为射线 BC 上一个动点,连接 AE,将ABE 沿 AE 折叠,点 B 落在点 B处,过点 B作 AD 的垂线,分别交 AD,BC 于点
3、M,N.当点 B为线段 MN 的三等分点时,BE 的长为 . (第 1 题) (第 2 题)2.2014 河南,15涉及考点:折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理如图,在矩形 ABCD 中,AD=5,AB=7.点 E 为 DC 上一个动点,把ADE 沿 AE 折叠,当点 D 的对应点 D落在ABC 的平分线上时,DE 的长为 . 3.2013 河南,15涉及考点:折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 E 是 BC 边上一点,连接 AE,把B 沿 AE 折叠,使点 B 落在点 B处,连接 BC.当CEB为直角三角
4、形时,BE 的长为 . (第 3 题) (第 4 题)4.2009 河南,14涉及考点:折叠的性质、矩形的性质、勾股定理2动手操作:在矩形纸片 ABCD 中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的 A处,折痕为 PQ.当点 A在 BC 边上移动时,折痕的端点 P,Q 也随之移动.若限定点 P,Q 分别在 AB,AD边上移动,则点 A在 BC 边上可移动的最大距离为 . 5.2010 河南,22涉及考点:折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理(1)操作发现如图,矩形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE,且点 G
5、 在矩形 ABCD 内部,小明将 BG 延长交 DC 于点 F,认为 GF=DF,你同意吗?说明理由.(2)问题解决保持(1)中的条件不变,若 DC=2DF,求 的值.(3)类比探究保持(1)中的条件不变,若 DC=nDF,求 的值.6.2017 河南,7涉及考点:平行四边形的性质、菱形的判定如图,在ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有( )A.ACBD B.AB=BCC.AC=BD D.1=27.2016 河南,18涉及考点:菱形的判定、直角三角形的性质、圆的相关性质、相似三角形的判定与性质如图,在 RtABC 中,ABC=90,点 M
6、是 AC 的中点,以 AB 为直径作O 分别交 AC,BM 于点D,E,连接 DE.(1)求证:MD=ME;(2)填空:若 AB=6,当 AD=2DM 时,DE= ; 3连接 OD,OE,当A 的度数为 时,四边形 ODME 是菱形. 8.2015 河南,17涉及考点:菱形的判定、全等三角形的判定、圆的相关性质、平行四边形的判定、平行四边形面积的计算如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 是半圆上不与点 A,B 重合的一个动点,延长 BP 到点 C,使PC=PB,D 是 AC 的中点,连接 PD,PO.(1)求证:CDPPOB;(2)填空:若 AB=4,则四边形 AOPD 的最大面积为 ; 连
7、接 OD,当PBA 的度数为 时,四边形 BPDO 是菱形. 49.2015 河南,15涉及考点:正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理如图,正方形 ABCD 的边长是 16,点 E 在边 AB 上,AE=3,点 F 是边 BC 上不与点 B,C 重合的一个动点,把EBF 沿 EF 折叠,点 B 落在 B处,连接 BC,BD.若CDB恰为等腰三角形,则 DB的长为 . 10.2018 河南,19涉及考点:正方形的判定、菱形的判定、圆的相关性质、等角对等边如图,AB 是O 的直径,DOAB 于点 O,连接 DA 交O 于点 C,过点 C 作O 的切线交 DO 于点E,连接 BC 交
8、 DO 于点 F.(1)求证:CE=EF;(2)连接 AF 并延长,交O 于点 G,连接 EG,OG,OC.填空:当D 的度数为 时,四边形 ECFG 为菱形; 当D 的度数为 时,四边形 ECOG 为正方形. 11.2012 河南,18涉及考点:平行四边形、菱形、矩形的判定,全等三角形的判定与性质如图,在菱形 ABCD 中,AB=2,DAB=60,点 E 是 AD 边的中点,点 M 是 AB 边上一动点(不与点A 重合),连接 ME 并延长,交射线 CD 于点 N,连接 MD,AN.(1)求证:四边形 AMDN 是平行四边形;(2)填空:当 AM 的值为 时,四边形 AMDN 是矩形; 当
9、AM 的值为 时,四边形 AMDN 是菱形. 512.2011 河南,22涉及考点:菱形的判定、直角三角形的判定与性质、三角函数如图,在 RtABC 中,B=90,BC=5 ,C=30.点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单3位长的速度向点 A 匀速运动,同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点 D,E 运动的时间是t(t0)秒.过点 D 作 DFBC 于点 F,连接 DE,EF.(1)求证:AE=DF.(2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗?如果能,求出相应的 t 值;如果不能,说明
10、理由.(3)当 t 为何值时,DEF 为直角三角形?请说明理由.参考答案第一节 平行四边形(含多边形)1.C 如图所示,连接 EF,设 AE 与 BF 交于点O.BAE=FAE,AEB=FAE,BAE=AEB,AB=BE.又 AB=AF,AFBE,四边形 ABEF6是菱形,OB= BF=3,OA= = =4,AE=2OA=8.12 2-2 52-322.C 四边形 ABCD 是平行四边形,AC=6,AO= AC=3,BD=2BO.ABAC,BAO=90.在12RtABO 中,AO=3,AB=4,BO= =5,BD=25=10. 32+423.110 四边形 ABCD 是平行四边形,CDAB,C
11、AB=1=20.BEAB,ABE=90,2=ABE+CAB=90+20=110.4.2 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AO=OC.又因为点 E 是 BC 边的中点,所以 BE=EC,则 OE 是ABC 的中位线,所以 AB=2OE=2.第二节 矩形、菱形和正方形1. 或 由题意可知,四边形 ABNM 是矩形,BN=AM.分两种情况 .(1)如图(1),当322 355BM= MN= AB=1 时,BN=2,AM= = =2 ,BN=2 .易证AMBBNE, =13 13 2-2 32-12 2 2 ,即 = ,解得 EN= ,BE=BN-EN= .(2)如图(2),当 BM= MN
12、= AB=2 时,BN=1,AM= 1 222 22 322 23 23= = ,BN= .易证AMBBNE, = ,即 = ,解得2-2 32-22 5 5 2 15EN= ,BE=BN-EN= .综上所述,BE 的长度是 或 .255 355 322 355图(1) 图(2) 2. 或 如图,连接 BD,过点 D作 DFAB 于点 F.设 BF=x.AB=7,AF=7-x.当点 D 的对52 53应点 D恰好落在ABC 的平分线上时,FBD=45,DF=BF=x.由折叠的性质知 AD=AD=5.在RtADF 中,AF 2+DF2=AD2,即(7-x) 2+x2=52,解得 x1=3,x2=
13、4.延长 FD交 DC 于点 G,则DGDC,CG=BF.ADE=D=90,EDG+ADF=90.又DAF+ADF=90,DAF=EDG.又AFD=EGD,ADFDEG, = .当 BF=3 时,DF=3,AF=7-3=4, = ,解得 EG= ,DE=DC-CG-EG=7-3- = .当 BF=4 时,DF=4,AF=7-3 5-34 32 32524=3, = ,解得 EG= ,DE=DC-CG-EG=7-4- = .综上可知 DE 的长为 或 .4 5-43 43 4353 52 5373.3 或 1.5 如图(1),当点 B落在 AD 上时,BEC=90,此时BAB=B=ABE=90,
14、AB=AB,则四边形 ABEB是正方形,故 BE=AB=3.如图(2),连接 AC,在 RtABC 中,由勾股定理,得AC=5.当点 B落在 AC 上时,EBC=90,此时ABE=B=90,AB=AB=3,BE=BE,则BC=5-3=2.设 BE=x,则 BE=x,EC=4-x.在 RtBEC 中,由勾股定理,得 BE2+BC2=EC2,即x2+22=(4-x)2,解得 x=1.5,即此时 BE=1.5.故 BE 的长为 3 或 1.5.4.2 如图(1),当点 P 与点 B 重合时,易知 AB=AB=3;如图(2),当点 Q 与点 D 重合时,易知AD=AD=5,CD=AB=3,在 RtAD
15、C 中,AC= = =4,所以 AB=BC-AC=5-4=1.所以点2-2 52-32A在 BC 边上可移动的最大距离为 3-1=2.图(1) 图(2)5.(1)同意.理由如下:连接 EF,由题易知EGF=D=90,又EG=AE=ED,EF=EF,RtEGFRtEDF,GF=DF.(2)由(1)知,GF=DF.设 DF=x,BC=y,则有 GF=x,AD=y.DC=2DF,CF=x,AB=BG=DC=2x,BF=BG+GF=3x.在 RtBCF 中,BC 2+CF2=BF2,即 y2+x2=(3x)2, =2 或 =-2 (舍去), = = . 2 2 2 2(3)由(1)知,GF=DF,设
16、DF=x,BC=y,则有 GF=x,AD=y.DC=nDF,AB=BG=DC=nx,CF=(n-1)x,BF=BG+GF=(n+1)x.在 RtBCF 中,BC 2+CF2=BF2,即 y2+(n-1)x2=(n+1)x2. =2 或 =-2 (舍去), = = . 26.C 若添加 A 中的条件,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可得ABCD 是菱形;若添加 B 中的条件,根据“邻边相等的平行四边形是菱形”,可得ABCD 是菱形;若添加 C 中的条件,根据“对角线相等的平行四边形是矩形”,可得ABCD 是矩形,而不是菱形;若添加 D中的条件,根据“一条对角线平分一组对角的平行四边形是
17、菱形”,可得ABCD 是菱形.故选C.7.(1)证明:在 RtABC 中,点 M 是 AC 的中点,MA=MB,A=MBA.四边形 ABED 是圆内接四边形,ADE+ABE=180.又ADE+MDE=180,MDE=MBA.同理可证MED=A,8MDE=MED,MD=ME.(2)2608.(1)证明:点 D 是 AC 的中点,且 PC=PB,DPAB,DP= AB,12CPD=PBO.OB= AB,12DP=OB,CDPPOB.(2)4609.16 或 4 当点 F 在 BC 上且不与 B,C 重合时,BCCD.如图(1),当 DB=CD 时,CDB是等5腰三角形,DB=DC=16.如图(2)
18、,当 DB=CB时,点 B在 CD 的垂直平分线 MN 上,CDB是等腰三角形.根据题意可知 EM=AM-AE=8-3=5,EB=EB=AB-AE=13,MB= =12,BN=16-12=4.DB= = =4 .由题意可知,CB不2-2 2+2 42+82 5会与 CD 相等.故 DB的长为 16 或 4 .5图(1) 图(2)10.(1)证明:连接 OC.CE 是O 的切线,OCCE,FCO+ECF=90.DOAB,B+BFO=90.CFE=BFO,B+CFE=90.OC=OB,FCO=B,ECF=CFE,CE=EF.(2)3022.511.(1)证明:四边形 ABCD 是菱形,NDAM,N
19、DE=MAE,DNE=AME.又点 E 是 AD 的中点,DE=AE,NDEMAE,ND=MA,四边形 AMDN 是平行四边形.(2)1 212.(1)证明:在DFC 中,DFC=90,C=30,DC=2t,9DF=t.又AE=t,AE=DF.(2)能.理由如下:ABBC,DFBC,AEDF.又 AE=DF,四边形 AEFD 为平行四边形.在 RtABC 中,C=30,AB=BCtan 30=5 =5,AC=2AB=10.333若使平行四边形 AEFD 为菱形,则需 AE=AD,即 t=10-2t,t= ,103故当 t= 时,四边形 AEFD 为菱形.103(3)t 为 或 4 时,DEF 为直角三角形.52理由如下:当EDF=90时,四边形 EBFD 为矩形.在 RtAED 中,ADE=C=30,AD=2AE,即 10-2t=2t,t= .52当DEF=90时,由(2)知 EFAD,ADE=DEF=90.A=90-C=60,AD=AEcos 60,即 10-2t= t,解得 t=4.12当EFD=90时,此种情况不存在.综上所述,当 t= 或 4 时,DEF 为直角三角形.52
