1、- 1 -18-19 学年高三年级上学期数学学科期中试卷（文） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。每题仅有一个正确答案）1设集合 ( )A B C D 2在复平面内，复数 对应的点在（ ）i1A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为 5 分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点 A 表示甲的创造力指标值为 4，点 B 表示乙的空间能力指标值为 3，则下面叙述正确的是（ ）A 乙的记忆能力优于甲的记忆能力 B 乙的创造力优于观察能力C 甲的六大能力整体水平优于乙 D 甲的六大能
2、力中记忆能力最差4双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）A B C D 5在等比数列 中， ， ，则 等于( )A B C D - 2 -6函数 在点 处的切线方程为（ ）A B C D 7向量 ,若 ，则 （ ）A B C D 8函数 的最大值为，A B C D 9执行如右图所示的程序框图，输出的 的值是( )A 9 B 10 C 11 D 1210在边长为 1 的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两个顶点间距离大于 1 的概率为A. B. C. D.5215311在直角坐标系 xOy 中，角 的始边为 x 轴的非负半轴，其终边上的一点 P 的坐标为（其中 ） ，则A B C D54535
3、412函数 的图象大致为- 3 -A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.）13已知 则 _14已知实数 满足 则 的最大值为_15直线 被圆 截得的弦长等于_.16在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，且 ，则 的面积等于_三、解答题（本大题共 6 个小题，17、18、19、20、21 题各 12 分，22 题 10 分，共 70 分） 17已知 an是公差为 1 的等差数列，且 a1， a2， a4成等比数列（1）求 an的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和18已知函数 .（1）当 时，求函数 的取值范围；（2）将 的图象向左平移 个单位得到函数
4、的图象，求 的单调递增区间.- 4 -19 中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线” ， 中华人民共和国道路交通安全法第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：月份 1 2 3 4 5违章驾驶员人数 120 105 100 90 85（1）请利用所给数据求违章人数 与月份 之间的回归直线方程 ；（2）预测该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式： ， .参考数据：
5、 .20已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴的正半轴且焦点到准线的距离为 2（）求抛物线的标准方程；（）若直线 与抛物线相交于 两点，求弦长 .21已知函数 （1）求函数 的单调区间（2）若斜率为 k 的直线与曲线 交于 ， 两点，其中 ，求证：22在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以 为极点，- 5 -轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（）设 为曲线 上的动点，求点 到 上点的距离的最小值，并求此时点 的坐标- 6 -参考答案1B2A3C4C5A6C7B8C9B10C11C12C13【解析】【分析】根
6、据分段函数的解析式，先求解 ，进而求解 的值.【详解】由题意，函数 ，所以 ，所以 .【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值的求解问题，其中解答中正确理解分段函数的分段条件，合理选择相应的解析式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.145【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.- 7 -【详解】画出 表示的可行域，如图，设 ，则 ，当 在 轴上截距最大时， 最大，由 ，得 ，点 ，由图可知，直线 过 时，最值为 ，故答案为 5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行
7、域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15【解析】【分析】先利用圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离最后利用勾股定理求得弦长【详解】圆心 坐标为（2，2）半径为：圆心到直线的距离为 =- 8 -弦长为 2 =故答案为：【点睛】当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用
8、勾股定理解题.16【解析】【分析】由余弦定理，算出 ，从而得到 再利用正弦定理的面积公式，即可算出ABC 的面积【详解】：ABC 中，b 2+c2=a2+bc，a 2=b2+c2-bc，可得 ，结合 A 为三角形内角，可得 ，又 bc=8因此，ABC 的面积 .即答案为 .【点睛】本题给出三角形的边的关系式，求三角形的面积着重考查了余弦定理、三角形面积公式等知识，属于中档题17 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式写出 a1， a2， a4，再由 a1， a2， a4成等比数列建立方程可求a1=1，进而写出 an通项公式；（2）运用错位相减法求数列 的前 n 项和。
9、【详解】（1） a1， a2， a4成等比数列， - 9 - an是公差为 1 的等差数列， ， ， 解得 a1=1，所以等差数列 an的通项公式为 an=n（2）由（1）知，数列 即 ，设数列 的前 n 项和为 Sn，则 Sn= ， 两式相减，得 ， 整理得 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用。在运用错位相减法求和时，比较易出错的地方是两式相减后数列的项数及各项，特别最后一项的符号为“负” ，一定不能出错。18 （1） ；（2） ， .【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换的公式，得出 ，在根据 ，即可求解函数 的取值范围；（2）化简 ，根
10、据三角函数的性质，即可求解 的单调递增区间.试题解析：（1） ， 时， ， .函数 的取值范围为： .（2） ，令 ， ，- 10 -即可解得 的单调递增区间为： ， .考点：三角函数的图象与性质.19 （1） ；（2）49.【解析】【分析】（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得 的值，得到回归直线方程；（2）令 ，代入回归直线的方程，即可得到该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.【详解】（1）由表中数据知， ， ， ，所求回归直线方程为 .（2）令 ，则 人.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得 的值是解
11、答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20 （） （）【解析】【分析】（）根据抛物线定义，得 p，代入即可求得抛物线方程。（）联立直线与抛物线方程，化简为关于 x 的一元二次方程；由抛物线定义或弦长公式即可求得弦长 。【详解】（） 抛物线的方程为： （）直线 过抛物线的焦点 ，设 ，- 11 -联立 ，消 得 ， 或【点睛】本题考查了抛物线的定义及方程求法，弦长公式的用法，属于基础题。21 （1） 的减区间为 ， 的增区间为 ；（2）证明见解析。【解析】【分析】（1）求函数的导函数，令导函数为 0，结合函数定义域即可判断出单调区间。（2）根据直线斜率定义，将 ， 两点代入
12、曲线 ，表示出斜率 k，化简变形；利用换元法分析可知只需证 即可；构造函数 ，根据导函数的符号判断的单调性；构造函数 ，同理也可判断出单调性及取值，进而得证。【详解】（1）解： 的定义域是 ，且 由 得 ， 当 时， ，此时 单调递减；当 时， ，此时 单调递增综上， 的减区间为 ， 的增区间为 （2）证明： ， 要证明 ，即证 ， 等价于 ， 令 （由 ，知 ） ，则只需证 ，由 知 ，故等价于 （*） ，则当 时， ，- 12 -所以 在 内是增函数，当 时， ，所以 ；设 ，则当 时， ，所以 在 内是增函数，所以当 时， ，即 由知（*）成立，所以 （如果考生证明过程与参考答案不安全一
13、致，但思路正确，逻辑严密，命题老师可酌情给分）【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用，用导函数证明不等式恒成立问题，是高考的重点和难点，属于难题。22 （1） ， （2）最小值为 ，此时点 的坐标为 【解析】【分析】（）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式 、 ，把极坐标方程化为直角坐标方程；（）求得椭圆上的点 到直线 的距离为 ，可得 的最小值，以及此时的的值，从而求得点 的坐标.【详解】（）对曲线 ： ， ，曲线 的普通方程为 对曲线 ： ， 曲线 的直角坐标方程为 （）设曲线 上的任意一点为 ， 则点 到曲线 ： 的距离，当 ，即 时， ，此时点 的坐标为- 13 -【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题
