1、1专题八 图形折叠问题类型一 折叠三角形(2018浙江台州中考)如图，等边三角形 ABC 边长是定值，点 O 是它的外心，过点 O 任意作一条直线分别交 AB，BC 于点 D，E.将BDE 沿直线 DE 折叠，得到BDE，若 BD，BE 分别交 AC 于点F，G，连结 OF，OG，则下列判断错误的是( )AADFCGEBBFG 的周长是一个定值C四边形 FOEC 的面积是一个定值D四边形 OGBF 的面积是一个定值【分析】A根据等边三角形 ABC 的外心的性质可知 AO 平分BAC，根据角平分线的定理和逆定理得 FO平分DFG，由外角的性质可证明DOF60，同理可得EOG60，FOG60DOF
2、EOG，再根据三角形全等的性质可得ADFCGE；B根据DOFGOFGOE，得 DFGFGE，所以ADFBGFCGE，可得结论；C根据 S 四边形 FOECS OCF S OCE 判断即可；D将 S 四边形 OGBF S OAC S OFG ，根据 SOFG FGOH，FG 变化，故OFG 的面积变化，从而四边形12OGBF 的面积也变化，可作判断【自主解答】2三角形的折叠问题一般考查轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等，解题的关键是抓住折叠的本质是轴对称，轴对称是全等变换，找出相等的角和线段类型二 折叠平行四边形(2018山东淄博中考)在如图所示的平行四边形 ABCD 中，AB2，AD3，将A
3、CD 沿对角线 AC 折叠，点 D 落在ABC 所在平面内的点 E 处，且 AE 过 BC 的中点 O，则ADE 的周长等于_【分析】要计算周长首先需要证明 E，C，D 共线，DE 可求，问题得解【自主解答】关于平行四边形折叠问题，解答时需要关注：在折叠前后，折痕两边能够完全重合的部分是全等图形，它们的对应线段、对应角相等，与特殊的平行四边形相比，它缺少了特殊的条件1(2018甘肃兰州中考)如图，将ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F.若ABD48，CFD40，则E 为( )3A102 B112 C122 D92类型三 折叠菱形(2018山东烟台中考)对
4、角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示，点 O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使 B，B两点重合，MN 是折痕若 BM1，则 CN 的长为( )A7 B6 C5 D4【分析】连结 AC，BD，利用菱形的性质得 OC AC3，OD BD4，COD90，再利用勾股定理计12 12算出 CD5，接着证明OBMODN 得到 DNBM，然后根据折叠的性质得 BMBM1，从而有 DN1，于是计算 CDDN 即可【自主解答】折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等对于菱形的折叠，还要明确菱形的基本性质，在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析42(2018贵
5、州遵义中考)如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线BD 上的点 G 处(不与 B，D 重合)，折痕为 EF，若 DG2，BG6，则 BE 的长为_3如图，在菱形 ABCD 中， tan A ，M，N 分别在边 AD，BC 上，将四边形 AMNB 沿 MN 翻折，使 AB 的对43应线段 EF 经过顶点 D，当 EFAD 时， 的值为_BNCN类型四 折叠矩形(2018浙江杭州中考)折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；把纸片展开并铺平；把CDG 翻折，
6、点 C 落在线段 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上若 ABAD2，EH1，则 AD_【分析】设 ADx，则 ABx2，利用折叠的性质得 DFAD，EAEF，DFEA90，则可判断四边形 AEFD 为正方形，所以 AEADx，再根据折叠的性质得 DHDCx2，则 AHAEHEx1，然后根据勾股定理得到 x2(x1) 2(x2) 2，再解方程求出 x 即可【自主解答】5此类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等、相似、勾股定理、转换思想、与其他图形(圆)结合等，抓住翻折前后两个图形是全等的，把握翻折前后不变的要素是解决此类问题的关键4(2018湖北宜宾中考
7、)如图，在矩形 ABCD 中，AB3，CB2，点 E 为线段 AB 上的动点，将CBE 沿CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)当 E 为线段 AB 中点时，AFCE；当 E 为线段 AB 中点时，AF ；95当 A，F，C 三点共线时，AE ；13 2 133当 A，F，C 三点共线时，CEFAEF.类型五 折叠正方形(2018江苏宿迁中考)如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别在边 AB，CD 上，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上(点 M 不与点 A，D 重合)，点
8、 C 落在点 N处，MN 与 CD 交于点 P，设 BEx.(1)当 AM 时，求 x 的值；13(2)随着点 M 在边 AD 上位置的变化，PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；(3)设四边形 BEFC 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值6【分析】(1)利用勾股定理构建方程，即可解决问题；(2)设 AMy，则 BEEMx，MD1y，在 RtAEM 中，由勾股定理得出 x，y 的关系式，可证 RtAEM RtDMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求DMP 的周长；(3)作 FHAB 于 H.则四边形 BCFH 是矩形连结 BM
9、 交 EF 于 O，交 FH 于 K.根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可【自主解答】正方形的折叠同其他图形一样，要关注勾股定理、全等图形、相似等相关知识，但由于正方形的特点，所以有关正方形的折叠问题有着其他图形没有的特殊性，解题时应关注正方形本身具有的特点5综合与实践7问题背景折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理其中，芳贺折纸第一定理的操作过程
10、及内容如下(如图 1)：操作 1：将正方形 ABCD 对折，使点 A 与点 D 重合，点 B 与点 C 重合再将正方形 ABCD 展开，得到折痕EF；操作 2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点 C 与点 E 重合，边 BC 翻折至 BE 的位置，得到折痕MN，BE 与 AB 交于点 P.则 P 即为 AB 的三等分点，即 APPB21.解决问题(1)在图 1 中，若 EF 与 MN 交于点 Q，连结 CQ.求证：四边形 EQCM 是菱形；(2)请在图 1 中证明 APPB21.发现感悟若 E 为正方形纸片 ABCD 的边 AD 上的任意一点，重复“问题背景”中操作 2 的折纸过程，请你思考
11、并解决如下问题：(3)如图 2.若 2.则 _；DEAE APBP(4)如图 3，若 3，则 _；DEAE APBP(5)根据问题(2)，(3)，(4)给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求证明8类型六 折叠圆(2018湖北武汉中考)如图，在O 中，点 C 在优弧 上，将 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点AB BC D.若O 的半径为 ，AB4，则 BC 的长是( )5A2 B33 2C. D.5 32 652【分析】连结 OD，AC，DC，OB，OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，利用垂径定理、勾股定理、折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质
12、及正方形的性质即可求解【自主解答】96如图，将半径为 4 cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为( )A2 cm B4 cm3 3C. cm D. cm3 2参考答案类型一【例 1】 A如图，连接 OA，OC.点 O 是等边三角形 ABC 的外心，AO 平分BAC，点 O 到 AB，AC 的距离相等由折叠得 DO 平分BDB，点 O 到 AB，DB的距离相等，点 O 到 DB，AC 的距离相等，FO 平分DFG，DFOOFG (FADADF)12由折叠得BDEODF (DAFAFD)，1210OFDODF (FADADFDAFAFD)120，12DOF60.同理可得EOG60，FOG
13、60DOFEOG，DOFGOFGOE，ODOG，OEOF，OGFODFODB，OFGOEGOEB，OADOCG，OAFOCE，ADCG，AFCE，ADFCGE，故选项 A 正确；BDOFGOFGOE，DFGFGE，ADFBGFCGE，BGAD，BFG 的周长FGBFBGFGAFCGAC(定值)，故选项 B 正确；CS 四边形 FOECS OCF S OCE S OCF S OAF S AOC (定值)，故选项 C 正确；13DS 四边形 OGBF S OFG S BGF S OFD S ADFS 四边形 OFADS OAD S OAFS OCG S OAF S OAC S OFG .如图，过
14、O 作 OHAC 于 H，S OFG FGOH，12由于 OH 是定值，FG 变化，故OFG 的面积变化，从而四边形 OGBF 的面积也变化，故选项 D 不一定正确故选 D.类型二【例 2】 四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，CDAB2.由折叠知DACEAC.DACACB，ACBEAC，OAOC.AE 过 BC 的中点 O，11AO BC，12BAC90，ACD90.由折叠知ACE90，E，C，D 共线，则 DE4，ADE 的周长为 33410.故答案为 10.变式训练1B 类型三【例 3】 如图，连结 AC，BD.点 O 为菱形 ABCD 的对角线的交点，CD 5.32 42ABCD
15、，MBONDO.在OBM 和ODN 中， MBO NDO，OB OD， BOM DON， )OBMODN，DNBM.过点 O 折叠菱形，使 B，B两点重合，MN 是折痕，BMBM1，DN1，CNCDDN514.故选 D.变式训练22.8 3.27类型四【例 4】 设 ADx，则 ABx2.把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，DFAD，EAEF，DFEA90，四边形 AEFD 为正方形，12AEADx.把CDG 翻折，点 C 落在线段 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上，DHDCx2.HE1，AHAEHEx1.在 RtADH 中，AD 2AH 2DH 2
16、，x 2(x1) 2(x2) 2，整理得 x26x30，解得 x132 ，x 232 (舍去)，3 3即 AD 的长为 32 .3故答案为 32 .3变式训练4 类型五【例 5】 (1)在 RtAEM 中，AE1x，EMBEx，AM .13AE 2AM 2EM 2，(1x) 2( )2x 2，x .13 59(2)PDM 的周长不变为定值 2.理由如下：设 AMy，则 BEEMx，AE1x.在 RtAEM 中，由勾股定理得 AE2AM 2EM 2，(1x) 2y 2x 2，解得 1y 22x，1y 22(1x)EMP90，AD，RtAEMRtDMP， ，AE EM AMDM MP DP AED
17、M即 ，1 x x yDM MP DP 1 x1 y解得 DMMPDP 2，1 y21 xDMP 的周长为 2.(3)如图，作 FHAB 于 H.则四边形 BCFH 是矩形连结 BM 交 EF 于 O，交 FH 于 K.13在 RtAEM 中，AM .x2 （ 1 x） 2 2x 1B，M 关于 EF 对称，BMEF，KOFKHB.OKFBKH，KFOKBH.ABBCFH，AFHE90，ABMHFE，EHAM ，2x 1CFBHx ，2x 1S (BECF)BC12 (xx )12 2x 1 ( )2 112 2x 1 2x 1 ( )2 .12 2x 1 12 38当 时，S 有最小值为 .
18、2x 112 38变式训练5解：(1)由折叠可得 CMEM，CMQEMQ，四边形 CDEF 是矩形，CDEF，CMQEQM，EQMEMQ，MEEQMC，又MCQE，四边形 EQCM 是平行四边形又CMEM，四边形 EQCM 是菱形(2)如图 1，设正方形 ABCD 的边长为 1，CMx，则 EMx，DM1x.14图 1在 RtDEM 中，由勾股定理可得 EM2ED 2DM 2，即 x2( )2(1x) 2，12解得 x ，CM ，DM .58 58 38PEMD90，AEPDEM90，DEMEMD90，AEPDME.又AD90，AEPDME， ，即 ，解得 AP ，APAE DEDM AP12
19、1238 23PB ，APPB21.13(3)4 (4)6(5)根据问题(2)，(3)，(4)，可得当 n(n 为正整数)时，则 2n.DEAE APBP理由：设正方形 ABCD 的边长为 1，CMx，则 EMx，DM1x.在 RtDEM 中，由勾股定理可得 EM2ED 2DM 2，即 x2( )2(1x) 2，nn 1解得 x ，（ n 1） 2 n22（ n 1） 2DM1CM ，2n 12（ n 1） 2由AEPDME 可得 ，APAE DEDM即 ，解得 AP ，AP1n 1nn 12n 12（ n 1） 2 2n2n 1PB ， 2n.12n 1 APBP15类型六【例 6】 如图，连结 OD，AC，DC，OB，OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F.D 为 AB 的中点，ODAB，ADBD AB2.12在 RtOBD 中，OD 1.（ 5） 2 22将 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D，BC 和 所在的圆为等圆，AC CD ，ACDC，AC CD AEDE1，易得四边形 ODEF 为正方形，OFEF1.在 RtOCF 中，CF 2，（ 5） 2 12CECFEF213，而 BEBDDE213，BC3 .故选 B.2变式训练6B
