1、1专题十 综合性压轴题类型一 函数中点的存在性问题(2018山东东营中考)如图，抛物线 ya(x1)(x3)(a0)与 x 轴交于 A，B 两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使OCAOBC.(1)求线段 OC 的长度；(2)设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的表达式；(3)在(2)的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)令 y0，求出 x 的值，确定出 A 与 B 坐标，根据已知相似三角形得比例，求出 OC 的长即可；(2)
2、根据 C 为 BM 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 OCBC，确定出 C 的坐标，利用待定系数法确定出直线 BC 的表达式，把 C 坐标代入抛物线求出 a 的值，确定出二次函数的表达式即可；(3)过 P 作 x 轴的垂线，交 BM 于点 Q，设出 P 与 Q 的横坐标为 x，分别代入抛物线与直线表达式，表示出纵坐标，相减表示出 PQ，四边形 ACPB 面积最大即为三角形 BCP 面积最大，三角形 BCP 面积等于 PQ 与 B和 C 横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时 P 的坐标即可【自主解答】21(2018湖南衡阳中考)如图，已知直线 y2x
3、4 分别交 x 轴、y 轴于点 A，B，抛物线经过 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D.(1)若抛物线的表达式为 y2x 22x4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N.求点 M，N 的坐标；是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由；(2)当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B，P，D 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由3类型二 图形运动中的函数关系问题如图，在 ABC 中，AB6 cm，AC4 cm，BC2 cm，点 P 以 1 cm
4、/s 的速度从点 B 出发沿2 5边 BAAC 运动到点 C 停止，运动时间为 t s，点 Q 是线段 BP 的中点(1)若 CPAB 时，求 t 的值；(2)若BCQ 是直角三角形时，求 t 的值；(3)设CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的关系式，并写出 t 的取值范围【分析】(1)作 CHAB 于 H.设 BHx，利用勾股定理构建方程求出 x，当点 P 与 H 重合时，CPAB，此时t2；(2)分两种情形求解即可解决问题；(3)分两种情形讨论，求出 QM 即可解决问题【自主解答】2(2018广东中考)已知 RtOAB，OAB90，ABO30，斜边 OB4，将 RtOAB 绕点 O 顺
5、时针旋转 60，如图 1，连结 BC.4(1)填空：OBC ；(2)如图 1，连结 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度；(3)如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动，N 沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x 秒，OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？类型三 点的运动中的计算说理问题(2018山东青岛中考)已知：如图，四边形 ABCD，ABDC，CBAB，AB16 cm，BC6 cm，CD8
6、 cm，动点 P 从点 D 开始沿 DA 边匀速运动，动点 Q 从点 A 开始沿 AB 边匀速运动，它们的运动速度均为 2 cm/s.点 P 和点 Q 同时出发，以 QA，QP 为边作平行四边形 AQPE，设运动的时间为 t(s)，0t5.根据题意解答下列问题：(1)用含 t 的代数式表示 AP；(2)设四边形 CPQB 的面积为 S(cm2)，求 S 与 t 的函数关系式；(3)当 QPBD 时，求 t 的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点 E 在ABD 的平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由5【分析】(1)作 DHAB 于 H，则四边形 DHBC 是矩形，
7、利用勾股定理求出 AD 的长即可解决问题；(2)作 PNAB 于 N.连结 PB，根据 SS PQB S BCP ，计算即可；(3)当 PQBD 时，PQNDBA90，QPNPQN90，推出QPNDBA，推出tanQPN ，由此构建方程即可解决问题；QNPB 34(4)存在连结 BE 交 DH 于 K，作 KMBD 于 M.当 BE 平分ABD 时，KBHKBM，推出KHKM，BHBM8，设 KHKMx，在 RtDKM 中，(6x) 22 2x 2，解得 x ，作 EFAB 于 F，则83AEFQPN，推出 EFPN (102t)，AFQN (102t)2t，推出 BF16 (102t)2t，
8、由35 45 45KHEF，可得 ，由此构建方程即可解决问题；KHEF BHBF【自主解答】6解决点动产生的计算说理题，关键是抓住点，由点到线段再到图形此类问题涉及计算与说理，计算时常常用到勾股定理、三角函数、面积计算等相关知识，说理时往往较综合，涉及几何图形的相关性质与判定方法等，有时需要借助函数解决3(2018浙江衢州中考)如图， RtOAB 的直角边 OA 在 x 轴上，顶点 B 的坐标为(6，8)，直线 CD 交 AB于点 D(6，3)，交 x 轴于点 C(12，0)(1)求直线 CD 的函数表达式；(2)动点 P 在 x 轴上从点(10，0)出发，以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正
9、方向运动，过点 P 作直线 l 垂直于 x 轴，设运动时间为 t.点 P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDAB，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；请探索当 t 为何值时，在直线 l 上存在点 M，在直线 CD 上存在点 Q，使得以 OB 为一边，O，B，M，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时 t 的值类型四 图形运动变化过程中的分类讨论问题(2018江苏淮安中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y x4 的图象与 x 轴和 y 轴分237别相交于 A，B 两点动点 P 从点 A 出发，在线段 AO 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 O 作匀速运动，到达点 O
10、停止运动，点 A 关于点 P 的对称点为点 Q，以线段 PQ 为边向上作正方形 PQMN.设运动时间为 t秒(1)当 t 秒时，点 Q 的坐标是 ；13(2)在运动过程中，设正方形 PQMN 与AOB 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数表达式；(3)若正方形 PQMN 对角线的交点为 T，请直接写出在运动过程中 OTPT 的最小值【分析】(1)先确定出点 A 的坐标，进而求出 AP，利用对称性即可得出结论；(2)分三种情况，利用正方形的面积减去三角形的面积，利用矩形的面积减去三角形的面积，利用梯形的面积，即可得出结论；(3)先确定出点 T 的运动轨迹，进而找出 OTPT 最小时的点
11、T 的位置，即可得出结论【自主解答】图形运动中会产生不同的位置、形成不同的图形形状、对应关系也会随着图形的变化而改变，所以在解决此类问题时，要注意分类讨论，分类讨论可以根据点的位置不同、图形的形状、对应关系等为依据，但分类讨论容易遗漏，解题时要特别关注4(2018湖南衡阳中考)如图，在 RtABC 中，C90，ACBC4 cm，动点 P 从点 C 出发以 1 cm/s 的速度沿 CA 匀速运动，同时动点 Q 从点 A 出发以 cm/s 的速度沿 AB 匀速运动，当点 P 到达点 A2时，点 P，Q 同时停止运动，设运动时间为 t(s)(1)当 t 为何值时，点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上
12、？(2)是否存在某一时刻 t，使APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；8(3)以 PC 为边，往 CB 方向作正方形 CPMN，设四边形 QNCP 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式参考答案类型一【例 1】 (1)由题可知当 y0 时，a(x1)(x3)0，解得 x11，x 23，即 A(1，0)，B(3，0)，OA1，OB3.OCAOBC，OCOBOAOC，OC 2OAOB3，则 OC .3(2)C 是 BM 的中点，即 OC 为斜边 BM 的中线，OCBC，点 C 的横坐标为 .32又 OC ，点 C 在 x 轴下方，3C( ， )3
13、2 32设直线 BM 的表达式为 ykxb，把点 B(3，0)，C( ， )代入得32 32 3k b 0，32k b 32， )解得 y x .k 33，b 3， ) 33 3又点 C( ， )在抛物线上，代入抛物线表达式得 a( 1)( 3) ，32 32 32 32 32解得 a ，2 33抛物线表达式为 y x2 x2 .2 33 8 33 39(3)存在，设点 P 坐标为(x， x2 x2 )，2 33 8 33 3如图，过点 P 作 PQx 轴交直线 BM 于点 Q，则 Q(x， x )，33 3PQ x ( x2 x2 ) x23 x3 .33 3 2 33 8 33 3 2 3
14、3 3 3当BCP 面积最大时，四边形 ABPC 的面积最大，SBCP PQ(3x) PQ(x ) PQ x2 x ，12 12 32 34 32 9 34 9 34当 x 时，S BCP 有最大值，四边形 ABPC 的面积最大，此时点 P 的坐标为( ， )b2a 94 94 5 38变式训练1解：(1)如图，y2x 22x42(x )2 ，12 92顶点 M 的坐标为( ， )12 92当 x 时，y2 43，12 12则点 N 的坐标为( ，3)12不存在理由如下：MN 3 .92 32设 P 点坐标为(m，2m4)，则 D(m，2m 22m4)，PD2m 22m4(2m4)2m 24m
15、.10PDMN，当 PDMN 时，四边形 MNPD 为平行四边形，即2m 24m ，解得 m1 (舍去)，m 2 ，32 12 32此时 P 点坐标为( ，1)32PN ，（ 12 32） 2 （ 3 1） 2 5PNMN，平行四边形 MNPD 不为菱形，不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形(2)存在如图，OB4，OA2，则 AB 2 .22 42 5当 x1 时，y2x42，则 P(1，2)，PB .12 （ 2 4） 2 5设抛物线的表达式为 yax 2bx4，把 A(2，0)代入得 4a2b40，解得 b2a2，抛物线的表达式为 yax 22(a1)x4.当 x1 时，yax 22(
16、a1)x4a2a242a，则 D(1，2a)，PD2a2a.DCOB，DPBOBA，当 时，PDBBOA，PDBO PBBA即 ，解得 a2， a4 52 5此时抛物线的表达式为 y2x 22x4；当 时，PDBBAO，PDBA PBBO11即 ， a2 5 54解得 a ，52此时抛物线的表达式为 y x23x4.52综上所述，满足条件的抛物线的表达式为 y2x 22x4 或 y x23x4.52类型二【例 2】 (1)如图 1 中，作 CHAB 于 H.设 BHx.CHAB，CHBCHA90，AC 2AH 2BC 2BH 2，(4 )2(6x) 2(2 )2x 2，2 5解得 x2，当点
17、P 与 H 重合时，CPAB，此时 t2.(2)如图 2 中，当点 Q 与 H 重合时，BP2BQ4，此时 t4.如图 3 中，当 CPCB2 时，CQPB，此时 t6(4 2 )64 2 .5 2 5 2 5(3)如图 4 中，当 0t6 时，S PQCH t4t.12 12 1212如图 5 中，当 6t64 时，作 BGAC 于 G，QMAC 于 M.易知2BGAG3 ，CG .MQ BG ，2 212 3 22S PCQM (64 t) 6 t.12 12 3 22 2 9 22 3 24综上所述，S t（ 0 t 6） ，9 22 6 3 24t（ 6 t 6 4 2） .)变式训练
18、2解：(1)60(2)如图，OB4，ABO30，OA OB2，AB OA2 ，12 3 3S AOC OAAB 22 2 .12 12 3 3BOC 是等边三角形，OBC60，ABCABOOBC90，AC 2 ，AB2 BC2 7OP .2S AOCAC 4 32 7 2 217(3)当 0x 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，如图，过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E.则8313NEONsin 60 x，32S OMN OMNE 1.5x x，12 12 32y x2，3 38x 时，y 有最大值，最大值为 .83 8 33当 x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 O
19、B 上运动83如图，作 MHOB 于 H，则 BM81.5x，MHBMsin 60 (81.5x)，32y ONMH x22 x.83 3 38 3当 x 时，y 取最大值，y ，83 8 33当 4x4.8 时，M，N 都在 BC 上运动，如图，作 OGBC 于 G.MN122.5x，OGAB2 ，3y MNOG12 x，12 3 5 3214当 x4 时，y 有最大值，最大值接近于 2 .3综上所述，y 有最大值，最大值为 .8 33类型三【例 3】 (1)如图，作 DHAB 于 H，则四边形 DHBC 是矩形，CDBH8，DHBC6.AHABBH8，AD 10，DH2 AH2APADDP
20、102t.(2)如图，作 PNAB 于 N，连结 PB.在 RtAPN 中，PA102t，PNPAsinDAH (102t)，35ANPAcosDAH (102t)，45BN16AN16 (102t)，45SS PQB S BCP (162t) (102t) 616 (102t) t2 t72.12 35 12 45 65 545(3)当 PQBD 时，PQNDBA90.QPNPQN90，QPNDBA，tanQPN ，QMPN 34 ，45（ 10 2t） 2t35（ 10 2t） 34解得 t .3527经检验，t 是分式方程的解，3527当 t s 时，PQBD.3527(4)存在理由如下
21、：连结 BE 交 DH 于 K，作 KMBD 于 M.当 BE 平分ABD 时，KBHKBM，KHKM，BHBM8，设 KHKMx，在 RtDKM 中，(6x) 22 2x 2，15解得 x .83如图，作 EFAB 于 F，则AEFQPN，EFPN (102t)，35AFQN (102t)2t，45BF16 (102t)2t45KHEF， ，KHEF BHBF ，8335（ 10 2t） 816 45（ 10 2t） 2t解得 t .2518经检验，t 是分式方程的解，2518当 t s 时，点 E 在ABD 的平分线2518变式训练3解：(1)设直线 CD 的表达式为 ykxb，则有 解得
22、12k b 0，6k b 3， ) k 12，b 6， )直线 CD 的表达式为 y x6.12(2)如图 1 中，作 DPOB，则PDAB.图 116DPOB， ，PAAO ADAB ，PA ，PA6 38 94OP6 ，94 154P( ，0)，根据对称性可知，当 APAP时，P( ，0)，154 334满足条件的点 P 坐标为( ，0)或( ，0)154 334如图 2 中，当 OPOB10 时，作 PQOB 交 CD 于 Q.图 2直线 OB 的表达式为 y x，43直线 PQ 的表达式为 y x ，43 403由 解得y 43x 403，y 12x 6， ) x 4，y 8， )Q(
23、4，8)，PQ 10，62 82PQOB.PQOB，四边形 OBQP 是平行四边形OBOP，四边形 OBQP 是菱形，此时点 M 与 P 重合，满足条件，t0.如图 3 中，当 OQOB 时，设 Q(m， m6)，12图 3则有 m2( m6) 210 2，1217解得 m ，124 895点 Q 的横坐标为 或 ，设点 M 的横坐标为 a，12 4 895 12 4 895则有 或 ，a 02 12 4 895 62 a 02 12 4 895 62a 或 .42 4 895 42 4 895又点 P 从点(10，0)开始运动，满足条件的 t 的值为 或 .92 4 895 92 4 895
24、如图 4 中，当点 Q 与 C 重合时，M 点的横坐标为 6，此时 t16，图 4综上所述，满足条件的 t 的值为 0 或 16 或 或 .92 4 895 92 895类型四【例 4】 (1)(4，0)(2)当点 Q 在原点 O 时，AQ6，AP AQ3，t331.12当 0t1 时，如图 1，令 x0，图 1y4，B(0，4)，OB4.A(6，0)，OA6，在 RtAOB 中，tanOAB ，OBOA PD3t 2318由运动知 AP3t，P(63t，0)，Q(66t，0)，PQAP3t.四边形 PQMN 是正方形，MNOA，PNPQ3t，在 RtAPD 中，tanOAB ，PDAP PD
25、3t 23PD2t，DNt.MNOA，DCNOAB，tanDCN ，DNCN tCN 23CN t，32SS 正方形 PQMN SCDN (3t) 2 t t t2.12 32 334当 1t 时，如图 2，同的方法得 DNt，CN t，43 32图 2SS 矩形 OENPS CDN 3t(63t) t t t218t.12 32 394当 t2 时，如图 3，SS 梯形 OBDP (2t4)(63t)3t 212.43 12图 3(3)如图 4，由运动知 P(63t，0)，Q(66t，0)，19图 4M(66t，3t)T 是正方形 PQMN 的对角线交点，T(6 t， t)，92 32点 T
26、 是直线 y x2 上的一段线段，(3x6)13同理，点 N 是直线 AG：yx6 上的一段线段，(0x6)，G(0，6)，OG6.A(6，0)，AB6 .2T 是正方形 PQMN 的对角线的交点，TNTP，OTTPOTTN，点 O，T，N 在同一条直线上，且 ONAG 时，OTTN 最小，即 OTTN 最小S OAG OAOG AGON，12 12ON 3 ，OAOGAG 2即 OTPT 的最小值为 3 .2变式训练4解：(1)如图，连结 BP.在 RtACB 中，ACBC4，C90，AB4 .2点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上，BPBQ.AQ t，CPt，BQ4 t，PB 24 2t
27、2，2 2 2(4 t)216t 2，解得 t84 或 84 (舍去)，2 2 3 3t(84 )s 时，点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上3(2)如图，当 PQQA 时，易知APQ 是等腰直角三角形，AQP90，20则有 PA AQ，4t t，解得 t .2 2 243如图，当 APPQ 时，易知APQ 是等腰直角三角形，APQ90，则有 AQ AP， t (4t)，解得 t2.2 2 2综上所述，t s 或 2 s 时，APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形43(3)如图，连结 QC，作 QEAC 于 E，作 QFBC 于 F.则 QEAE，QFEC，可得 QEQFAEECAC4，SS QNC S PCQ CNQF PCQE t(QEQF)2t(0t4)12 12 12
