1、1难题突破题型(十一) 数学文化【题型解读】数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成和发展 .数学作为一种文化现象,早已是一种生活常识 .在近几年的中考中,以数学文化为载体的数学题越来越多,只要我们平时注意积累和了解这方面的常识,解题时注意审题,实现载体与考点的有效转化,透过现象看本质,问题便可迎刃而解 .类型 1 以数学名著为题材例 1 九章算术中,将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图 Z11-1,主视图中的虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为 ( )图 Z11-1A.2 B.4+2 2C.4+4 D.6+42 2【分层分析】(1)通
2、过阅读,你知道“堑堵”是什么样的图形吗?(2)根据“堑堵”的定义,你能推断出该几何体的底面是什么图形?侧面又是什么图形?针对训练21.2018乐山 九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用 .书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深 1 寸( ED=1 寸),锯道长 1 尺( AB=1尺 =10 寸) .问这块圆形木材的直径是多少?”如图 Z11-2,请根据所学的知识计算:圆形木材的直径 AC 是 ( )图
3、Z11-2A.13 寸 B.20 寸C.26 寸 D.28 寸2.2018邵阳 程大位是我国明朝商人,珠算发明家 .他 60 岁时完成的直指算法统宗是东方古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法 .书中有如下问题:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁 .意思是:有 100 个和尚分 100 个馒头,如果大和尚 1 人分 3 个,小和尚 3 人分 1 个,正好分完,大、小和尚各有多少人 .下列求解结果正确的是 ( )A.大和尚有 25 人,小和尚有 75 人B.大和尚有 75 人,小和尚有 25 人C.大和尚有 50 人,小和尚有 50 人D.大、小和尚各有
4、100 人3.2018长沙 我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为 5 里,12 里,13 里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1 里 =500 米,则该沙田的面积为 ( )3A.7.5 平方千米 B.15 平方千米C.75 平方千米 D.750 平方千米4.2018江西 中国的九章算术是世界现代数学的两大源泉之一,其中有一问题:“今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两 .问牛羊各直金几何?”译文:今有牛 5 头,羊 2
5、 头,共值金 10 两;牛 2 头,羊 5 头,共值金 8 两 .问牛、羊每头各值金多少?设牛、羊每头各值金 x 两、 y 两,依题意,可列出方程组为 . 5.2018枣庄 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式 .即:如果一个三角形的三边长分别为 a,b,c,则该三角形的面积为 S= ,已知 ABC 的三1422-(2+2-22 ) 2边长分别为 ,2,1,则 ABC 的面积为 . 56.2018恩施州 我国古代易经一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数” .如图 Z11-3,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打
6、结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为 个 . 图 Z11-37.2018雅安 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作,其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是:弧田面积 = (弦 矢 +矢 2).弧田(如图 Z11-4 阴影部分),由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“ 矢”12等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为 120,半径等于 4 米的弧田,按照上述公式计算出弧田的面积为 米 2.图 Z11-4 8.2018张家界 列方程解应用题:九章算术中有“盈不足术”的问题,原文如下:“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三 .问人
7、数、羊價各幾何?”题意是:若干人共同出资买羊,每人出 5 元,则差 45 元;每人出 7 元,则差 3 元 .求人数和羊价各是多少 .4类型 2 以数学名人为题材 例 2 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 .如三角形数 1,3,6,10,第 n 个三角形数为= n2+ n.记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式 .(+1)2 12 12三角形数 N(n,3)= n2+ n,12 12正方形数 N(n,4)=n2,5五边形数 N(n,5)= n2- n,32 12六边形数 N(n,6)=2n2-n,可以推测 N(n,k)的
8、表达式,由此计算 N(10,24)= . 针对训练1.2017云南 正如我们小学学过的圆锥体积公式 V= r2h( 表示圆周率, r 表示圆锥的底面半径, h 表示圆锥的高 )一13样,许多几何量的计算都要用到 .祖冲之是世界上第一个把 计算到小数点后 7 位的中国古代科学家,创造了当时世界上的最高水平,差不多过了 1000 年,才有人把 计算得更精确 .在辉煌成就的背后,我们来看看祖冲之付出了多少 .现在的研究表明,仅仅就计算来讲,他至少要对 9 位数字反复进行 130 次以上的各种运算,包括开方在内 .即使今天我们用纸笔来算,也绝不是一件轻松的事情,何况那时候没有现在的纸笔,数学计算不是用
9、现在的阿拉伯数字,而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的,这需要怎样的细心和毅力啊!他这种严谨治学的态度,不怕复杂计算的毅力,值得我们学习 .下面我们就来通过计算解决问题:已知圆锥的侧面展开图是个半圆,若该圆锥的体积等于 9 ,则这个圆锥的高等于( )3A.5 B.5 C.3 D.33 3 3 32.2018德州 我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中,用图 Z11-5 的三角形解释二项式( a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角” .(a+b)01(a+b)11 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5
10、1图 Z11-5根据“杨辉三角”请计算( a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为 ( )6A.84 B.56 C.35 D.283.2018莱芜 如图 Z11-6,若 ABC 内一点 P 满足 PAC= PCB= PBA,则称点 P 为 ABC 的布罗卡尔点 .三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究“三角形几何”的热潮 .已知 ABC 中, CA=CB, ACB=120,P 为 ABC 的布罗卡尔点,若 PA= ,则 PB+PC= . 3图 Z11-64.2017乐山 庄子说:“一
11、尺之棰,日取其半,万世不竭” .这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想,用图形语言表示为图 Z11-7,按此图分割的方法,可得到一个等式(符号语言):1= + + + +.12122123 12图 Z11-7也是一种无限分割:在 ABC 中, ACB=90, B=30,过点 C 作 CC1 AB 于点 C1,再过点 C1作 C1C2 BC 于点 C2,又过点 C2作 C2C3 AB 于点 C3,如此无限继续下去,则可将 ABC 分成 ACC1、 CC1C2、 C1C2C3、C2C3C4、 Cn-2Cn-1Cn、 .假设 AC=2,这些三角形的面积和可以得到一个等式是 . 图 Z11-
12、7类型 3 其他题材 例 3 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体 .图 Z11-8它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖) .其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线 .其实际直观图中四边形不存在,当其主视图和左视图完全相同时,它的主视图和俯视图分别可能是 ( )7图 Z11-8图 Z11-9A.a,b B.a,cC.c,b D.b,d【分层分析】(1)根据题目所给的直观图,你发现“牟合方盖”有哪些特征?(2)“牟合方盖”的主视图和俯视图分别是什么?针对训练1.2018金
13、华 如图 Z11-10,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形 ABCD 内,装饰图中的三角形顶点 E,F 分别在边 AB,BC 上,三角形的边 GD 在边 AD 上,则 的值是 . 图 Z11-102.2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的 .弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图 Z11-11).如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ,那么 cos 的值等于 . 8图 Z11-113.2017江西 中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形
14、状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数 .如图 Z11-12,根据刘徽的这种表示法,观察图,可推算图中所得的数值为 .图 Z11-129参考答案例 1 C 解析 依题意,得该几何体为三棱柱,且底面为等腰直角三角形,两直角边长均为 ,高为 2,所以其侧面积为2S=22+2 2=4+4 .故选 C.2 2赏析 该题以我国古代数学名著九章算术中所描述的特殊几何体“堑堵”为背景,是一道新概念信息的迁移题 .试题以三视图为依托,在考查空间想象能力的同时传播数学文化 .针对训练1.C 解析 本题主要考查圆的相关知识,解决本题的关键是掌握和运用垂径定理和勾股定理 .根据题意可知, ED=1 寸,AB=1
15、尺 =10 寸 . OD AB, AD=BD=5 寸,不妨设 O 的半径为 r,在 AOD 中, r2=52+(r-1)2,解得 r=13,圆形木材的直径AC 的长为 26 寸 .故选 C.2.A 解析 设大和尚有 x 人,则小和尚有(100 -x)人,根据相等关系:大和尚吃的馒头个数 +小和尚吃的馒头个数 =100,可列方程为 3x+ =100.解方程可得 x=25.所以大和尚有 25 人,小和尚有 75 人 .故选 A.100-33.A 解析 将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长分别为 2.5 千米、6 千米、6 .5 千米 .因为 2.52+62=6.52,所以这个三角形为直角三角形
16、,直角边长为 2.5 千米和 6 千米,所以 S= 62.5=7.5(平方千米) .故选 A.124.5+2=10,2+5=85.1 解析 把 ,2,1 代入三角形的面积公式得 S= = =1.故填 1.51454-(5+4-12 ) 2 14(20-16)6.1838 解析 由题意可知,因为满六进一,从右到左依次排列的绳子分别代表绳结数乘 6 的 0 次幂,6 的 1 次幂,6 的2 次幂,6 的 3 次幂,6 的 4 次幂 .她一共采集到的野果数量为 1838 个 .7.(4 +2) 解析 由题可知, AOB=120,OB=4,OC AB,“矢”为 CD 的长,则 AD=DB.在 Rt B
17、OD 中, OBD=30,所3以 OD=2,所以 CD=2,BD=2 ,AB=2BD=4 ,即“弦”的长,由公式,得弧田面积 = (弦 矢 +矢 2)= (4 2+22)=4 +2. 3 312 12 3 3108.解:设买羊的有 x 人,则羊价为(5 x+45)元 .根据题意,得 5x+45=7x+3.解得 x=21.521+45=150(元) .答:买羊人数为 21 人,羊价为 150 元 .例 2 1000 解析 由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推测:当 k 为偶数时, N(n,k)= n2- n,于是 N(n,24)=11n2-10n,故 N(10,24)=111
18、02-1010=1000.(2-1) (2-2)针对训练1.D 解析 如图,圆锥的侧面展开图是个半圆,设这个半圆的半径为 R,则 AC=R,这个半圆的弧长为 R.设圆锥底面圆的半径为 r,则 2 r= R,得 R=2r, AC=2r.由圆锥的母线 AC=2r,OC=r 得在 Rt AOC 中, h=AO= r.圆锥的体3积等于 9 , r2 r=9 , r=3,h=AO= r=3 .故选 D.313 3 3 3 32.B3.1+ 解析 如图,由“布罗卡尔点”的定义,如图,设 PAC= PCB= PBA= , PAB=. CA=CB, ACB=120,33 ABC= BAC=30, CBP= P
19、AB=30-= , BCP ABP, = = .而在 ABC 中,如图,作 CD AB 于点D,则 BD= AB.cos B= = , = , = = , PB=1,PC= , PB+PC=1+ .故答案为 1+ .12 32 13 3 13 33 33 334.2 = 1+ + 2+ 3+ n+332 34 34 34 34解析 根据三角形的面积来列出等式 .由 ACB=90, B=30,AC=2,可得三角形的面积为 ACBC= 22 =2 .又12 12 3 311因为三角形的面积可表示为 n 个三角形的面积和,则可得到1 + + + += .12 312 32 3212 34 334 1
20、2 (12) 3 (32) 321+34+(34)2+(34)3+(34)+所以根据面积相等得 2 =3.321+34+(34)2+(34)3+(34)+例 3 A 解析 当主视图和左视图完全相同时,“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方,主视图为一个圆,俯视图为一个正方形,且对角线为两条实线 .故选 A.赏析 “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一 .本题取材于“牟合方盖”,通过添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度 .试题从识“图”到想“图”,再到构“图”,要经历分析、判断的逻辑过程 .另外,我国古代数学中的其他著名几何体,如“阳马” “鳖臑”和“堑
21、堵”等的三视图问题都有可能在中考中考查,值得我们注意 .针对训练1. 解析 设题图中的正方形边长为 2x,则 = = = .故答案为 .2+14 +24 2+14 2+142. 解析 如图,大正方形的面积为 25,小正方形的面积为 1,大正方形边长 AD=5,小正方形的边长 EF=1.设45DE=AF=x,在 Rt ADE 中,由勾股定理,得 AE2+DE2=AD2,( x+1)2+x2=52,解得 x1=-4(舍去), x2=3,即DE=3,AE=3+1=4,cos = cos DAE= = .453.-3 解析 根据题意可知正放表示正数,斜放表示负数,组合在一起表示相加,由正放 2 根,斜放 5 根组合在一起表示( +2)+(5) =-3.
