1、1方法技巧专题(七) 角平分线训练【方法解读】1 .与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质 .(2)角平分线的夹角:三角形两内角的平分线的夹角等于 90与第三角一半的和;三角形两外角的平分线的夹角等于 90与第三角一半的差;三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半 .(3)三角形的内心及其性质 .(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系 .2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形 .(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形 .(3)过角平分线上的点作边的垂线 .1.2018黑龙江 如图 F7-1, B= C=90,M 是 BC 的中点,
2、 DM 平分 ADC,且 ADC=110,则 MAB 的度数是 ( )图 F7-1A.30 B.35C.45 D.602.2018陕西 如图 F7-2,在 ABC 中, AC=8, ABC=60, C=45,AD BC,垂足为 D, ABC 的平分线交 AD 于点 E,则 AE 的长为 ( )2图 F7-2A. B.243 2 2C. D.383 2 23.2018达州 如图 F7-3, ABC 的周长为 19,点 D,E 在边 BC 上, ABC 的平分线垂直于 AE,垂足为 N, ACB 的平分线垂直于 AD,垂足为 M.若 BC=7,则 MN 的长为 ( )图 F7-3A. B.232C
3、. D.3524.如图 F7-4,在直角梯形 ABCD 中, DC AB, DAB=90,AC BC,AC=BC, ABC 的平分线分别交 AD,AC 于点 E,F,则 的值是 ( )图 F7-4A. -1 B.2+2 2C. +1 D.2 25.2017滨州 如图 F7-5,点 P 为定角 AOB 的平分线上的一个定点,且 MPN 与 AOB 互补 .若 MPN 在绕点 P 旋转的过程中,其两边分别与 OA,OB 相交于 M,N 两点,则以下结论:(1) PM=PN 恒成立;(2) OM+ON 的值不变;(3)四边形 PMON 的面3积不变;(4) MN 的长不变 .其中正确的个数为 ( )
4、图 F7-5A.4 B.3 C.2 D.16.2016宁夏 如图 F7-6,在平行四边形 ABCD 中, BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E,且 BE=3,若平行四边形 ABCD 的周长是 16,则 EC 等于 . 图 F7-67.2017十堰 如图 F7-7, ABC 内接于 O, ACB=90, ACB 的平分线交 O 于点 D,若 AC=6,BD=5 ,则 BC 的长为 .2图 F7-78.如图 F7-8,在矩形 ABCD 中, ABC 的平分线 BE 与 AD 交于点 E, BED 的平分线 EF 与 DC 交于点 F,若 AB=9,DF=2FC,则BC= .(结果保留根号)
5、图 F7-849.如图 F7-9,已知 O 的直径 AB=5,AC,AE 为弦,且 AC=4,AC 平分 BAE,求 AE 的长 .图 F7-910.2017盐城 如图 F7-10,矩形 ABCD 中, ABD, CDB 的平分线 BE,DF 分别交边 AD,BC 于点 E,F.(1)求证:四边形 BEDF 为平行四边形 .(2)当 ABE 为多少度时,四边形 BEDF 是菱形?请说明理由 .5图 F7-1011.2017临沂 如图 F7-11, BAC 的平分线交 ABC 的外接圆于点 D, ABC 的平分线交 AD 于点 E.(1)求证: DE=DB;(2)若 BAC=90,BD=4,求
6、ABC 外接圆的半径 .图 F7-1112.如图 F7-12,BD 是 ABC 的角平分线,它的垂直平分线分别交 AB,BD,BC 于点 E,F,G,连结 ED,DG.(1)请判断四边形 EBGD 的形状,并说明理由;(2)若 ABC=30, C=45,ED=2 ,点 H 是 BD 上的一个动点,求 HG+HC 的最小值 .106图 F7-127参考答案1.B 2.C 解析 BE 平分 ABD, ABC=60, ABE= EBD=30. AD BC, BDA=90. DE= BE.12 BAD=90-60=30, BAD= ABE=30, AE=BE=2DE, AE= AD.23在 Rt AC
7、D 中,sin C= , AD=ACsin C=8 =4 ,22 2 AE= 4 = .23 2832故选 C.3.C 解析 ABC 的周长为 19,BC=7, AB+AC=12. ABC 的平分线垂直于 AE,垂足为 N, BA=BE,N 是 AE 的中点 . ACB 的平分线垂直于 AD,垂足为 M, AC=DC,M 是 AD 的中点, DE=AB+AC-BC=5. MN 是 ADE 的中位线, MN= DE= .故选 C.12 524.C 解析 如图,过点 F 作 FG AD 于点 G.依题意可知 ABC 是等腰直角三角形,8 AFG 也是等腰直角三角形 .设 FG=1,则 AG=1,A
8、F= .2 BE 平分 ABC, ABE=22.5. AEB=90- ABE=67.5, AFE= CAB+ ABE=67.5. AEB= AFE, AE=AF= , EG= -1.2 2 FG AD, DAB=90, FG AB. = = = +1.故选 C.12-1 25.B 解析 结论(1),如图,过点 P 分别作 OA,OB 的垂线段,由于 PEO= PFO=90,因此 AOB 与 EPF 互补,由已知“ MPN 与 AOB 互补”,可得 MPN= EPF,可得 MPE= NPF.根据“角平分线上一点到角两边距离相等”,可证 PE=PF,即可证得 Rt PMERt PNF,因此对于结论
9、(1),“ PM=PN”由全等即可证得是成立的;结论(2),也可以由全等得到 ME=NF,即可证得 OM+ON=OE+OF,由于 OE+OF 保持不变,因此 OM+ON 的值也保持不变;结论(3),由“Rt PMERt PNF”可得这两个三角形的面积相等,因此四边形 PMON 的面积与四边形 PEOF 的面积始终相等,因此结论(3)是正确的;结论(4),如图,连结 EF,对于 PMN 与 PEF,这两个三角形都是等腰三角形,且顶角相等,但由于腰长不等,因此这两个三角形不可能全等,所以底边 MN 与 EF 不可能相等 .所以 MN 的长是变化的 .故选 B. 6.297.8 解析 连结 DA,因
10、为 ACB=90,所以 AB 为 O 的直径,所以 ADB=90.因为 CD 平分 ACB,所以 BD=AD.在ABD 中, AB= = =10.在 ABC 中, BC= = =8.2+2 (52)2+(52)2 2-2 102-628.6 +3 解析 如图,延长 EF 和 BC,交于点 G.矩形 ABCD 中, ABC 的平分线 BE 与 AD 交于点 E,所以2 ABE= GBE=45,所以在 Rt ABE 中, ABE= AEB=45,所以 AB=AE=9.在 Rt ABE 中,根据勾股定理,得 BE= =9 .又因为 BED 的平分线 EF 与 DC 相交于点 F,所以 BEG= DE
11、F.因为 AD BC,所以 G= DEF,所2+2 92+92 2以 BEG= G,所以 BG=BE=9 .由 G= DEF, EFD= GFC,可得 EFD GFC,所以 = = = .设 CG=x,DE=2x,则2212AD=9+2x=BC.因为 BG=BC+CG,所以 9 =9+2x+x,解得 x=3 -3,所以 BC=9+2x=9+2(3 -3)=6 +3.2 2 2 29.解:如图,连结 BC,BE,OC,OC 交 BE 于点 G.因为 BAE=2 BAC= BOC,且 BAE+ ABE=90,所以 OGB=90,即 OC BE,所以 BG=EG,AE=2OG.设 OG=x,则 CG
12、= -x,BC=3,由勾股定理可得 OB2-OG2=BC2-CG2,即 -x2=9- -x 2,解得 x= ,故 AE=2x= .52 254 52 710 7510.解:(1)证明:四边形 ABCD 是矩形, AB CD,BC AD, ABD= CDB. BE 平分 ABD,DF 平分 CDB, EBD= ABD, FDB= CDB.12 12 EBD= FDB. BE DF.又 BC AD,四边形 BEDF 是平行四边形 .(2)当 ABE=30时,四边形 BEDF 是菱形 .10理由如下: BE 平分 ABD, ABE=30, ABD=60, DBE=30.四边形 ABCD 是矩形, A
13、=90, ADB=90- ABD=90-60=30. DBE= ADB, DE=BE.四边形 BEDF 是平行四边形,四边形 BEDF 是菱形 .11.解:(1)证明: AD 平分 BAC, BAD= CAD.又 CBD= CAD, BAD= CBD. BE 平分 ABC, CBE= ABE, DBE= CBE+ CBD= ABE+ BAD.又 BED= ABE+ BAD, DBE= BED, DE=BD.(2)如图,连结 CD. BAC=90, BC 是直径, BDC=90. AD 平分 BAC,BD=4, BD=CD=4,11 BC= =4 ,2+2 2 ABC 外接圆的半径为 2 .21
14、2.解:(1)四边形 EBGD 是菱形 .理由: EG 垂直平分 BD, EB=ED,GB=GD, EBD= EDB. BD 平分 ABC, EBD= DBC, EDF= GBF.在 EFD 和 GFB 中,=,=,=, EFD GFB, ED=BG, BE=ED=DG=GB,四边形 EBGD 是菱形 .(2)如图,分别过点 E,D 作 EM BC 于点 M,DN BC 于点 N,连结 EC 交 BD 于点 H,此时 HG+HC 最小, 在 Rt EBM 中, EMB=90, EBM=30, EB=ED=2 , EM= BE= .1012 10 DE BC,EM BC,DN BC, EM DN,EM=DN= ,MN=DE=2 .10 10在 Rt DNC 中, DNC=90, DCN=45,12 NDC= NCD=45, DN=NC= , MC=3 .在 Rt EMC 中,10 10 EMC=90,EM= ,MC=3 ,10 10 EC= = =10. 2+ 2 (10)2+(310)2 HG+HC=EH+HC=EC, HG+HC 的最小值为 10.
