1、1方法技巧专题(八) 面积训练【方法解读】1 .面积公式:(1)三角形的面积 = 底 高 = 周长 内切圆的半径;(2)矩形的面积 =长 宽;(3)平行四12 12边形的面积 =底 高;(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半;(5)正方形的面积等于边长的平方;(6)梯形的面积 =(上底 +下底 )高;(7)圆的面积 = R2;(8)扇形的面积 = = lR;(9)弓形的面积 =扇形的面积 三角形的面积;(10)12 236012相似三角形面积的比等于相似比的平方 .2.面积的计算技巧:(1)利用“等底等高等积”进行转化;(2)用两种不同的方法分割同一整体;(3)“割补法”;(4)平移变换;
2、(5)旋转变换等 .1.2018德阳 如图 F8-1,将边长为 的正方形绕点 B 逆时针旋转 30,那么图中阴影部分的面积为 ( )3图 F8-1A.3 B. 3C.3- D.3-3322.2018海南 如图 F8-2,分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH 的对角线 AC,EG 剪开,拼成如图 F8-2 的 KLMN,2若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方形,且 KLMN 的面积为 50,则正方形 EFGH 的面积为 ( )图 F8-2A.24 B.25C.26 D.273.2018威海 如图 F8-3,正方形 ABCD 中, AB=12,点 E 为 BC 的中点,以 CD
3、 为直径作半圆 CFD,点 F 为半圆的中点,连结 AF,EF,图中阴影部分的面积是 ( )图 F8-3A.18+36 B.24+18C.18+18 D.12+184.如图 F8-4,正方形 ABCD 的边长为 2,H 在 CD 的延长线上,四边形 CEFH 也为正方形,则 DBF 的面积为 ( )图 F8-4A.4 B. C.2 D.22 25.2017乌鲁木齐 如图 F8-5,在矩形 ABCD 中,点 F 在 AD 上,点 E 在 BC 上,把这个矩形沿 EF 折叠后,使点 D 恰好落在BC 边上的 G 点处 .若矩形面积为 4 且 AFG=60,GE=2BG,则折痕 EF 的长为 ( )
4、33图 F8-5A.1 B. 3C.2 D.2 36.2018广安 如图 F8-6,已知 O 的半径是 2,点 A,B,C 在 O 上,若四边形 OABC 为菱形,则图中阴影部分的面积为( )图 F8-6A. -2 B. -23 3 23 3C. -2 D. -43 3 43 37.如图 F8-7,点 C 在线段 AB 上,若 CDB 和 ADE 分别是边长为 2 和 3 的等边三角形,则 ABE 的面积是 . 图 F8-78.2018河南 如图 F8-8,在 ABC 中, ACB=90,AC=BC=2,将 ABC 绕 AC 的中点 D 逆时针旋转 90得到 ABC,其中点 B 的运动路径为弧
5、 BB,则图中阴影部分的面积为 . 4图 F8-89.设 ABC 的面积为 1,如图 F8-9,将边 BC,AC 分别 2 等分, BE1,AD1相交于点 O, AOB 的面积记为 S1;如图 F8-9,将边 BC,AC 分别 3 等分, BE1,AD1相交于点 O, AOB 的面积记为 S2;,依此类推,则 Sn可表示为 .(用含 n 的代数式表示,其中 n 为正整数) 图 F8-910.2018扬州 如图 F8-10,在 ABC 中, AB=AC,AO BC 于点 O,OE AB 于点 E,以点 O 为圆心, OE 为半径作半圆,交 AO于点 F.(1)求证: AC 是 O 的切线;(2)
6、若点 F 是 AO 的中点, OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点 P 是 BC 边上的动点,当 PE+PF 取最小值时,直接写出 BP 的长 .图 F8-10511.如图 F8-11,在 ABCD 中, AB=6,BC=4, B=60,点 E 是边 AB 上一点,点 F 是边 CD 上一点,将 ABCD 沿 EF 折叠,得到四边形 EFGH,点 A 的对应点为点 H,点 D 的对应点为点 G.(1)当点 H 与点 C 重合时,填空:点 E 到 CD 的距离是 ; 求证: BCE GCF;求 CEF 的面积 .(2)当点 H 落在射线 BC 上,且 CH=1 时,直线 E
7、H 与直线 CD 交于点 M,请直接写出 MEF 的面积 .温馨提示:学生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答 .图 F8-1167参考答案1.C 解析 由旋转可知1 =4 =30,2 +3 =60. BAM= BCM=90,且 AB=BC,BM=BM,Rt ABMRt CBM,2 =3 =30.在 Rt ABM 中, AB= ,2 =30,则 AM=AB tan 30=1.3 S ABM=S BMC= ,32 S 阴影 =S 正方形 ABCD-(S ABM+S BMC)=3- .故选 C.32.B 解析 设长方形纸片长、宽分别为 x,y,正方形纸片边长为 z.四边形 OPQR 是正方形
8、, RQ=RO, x-z=z-y, x=2z-y . KLMN 的面积为 50, xy+z2+(z-y)2=50,把代入,得(2 z-y)y+z2+(z-y)2=50,2 zy-y2+z2+z2-2yz+y2=50.整理,得 2z2=50, z2=25,正方形 EFGH 的面积 =z2=25.故选 B.3.C 解析 如图,过点 F 作 FH BC,交 BC 延长线于点 H,连结 AE.点 E 为 BC 的中点,点 F 为半圆的中点, BE=CE=CH=FH= AB= 12=6,12 12AE= =6 ,62+122 5易得 Rt ABE EHF,8 AEB= EFH,而 EFH+ FEH=90
9、, AEB+ FEH=90, AEF=90,图中阴影部分的面积 =S 正方形 ABCD+S 半圆 -S ABE-S AEF=1212+ 62- 126- 6 6 =18+18 .12 12 12 5 5故选 C.4.D 解析 连结 CF,则由正方形的对角线的性质可知 BD CF, S DBF=S DBC= S 正方形 ABCD= 22=2.故选 D.12 125.C 解析 过点 G 作 GM AD,垂足为 M. GE=2BG,设 BG=x,GE=2x. AFG=60,AD BC, FGE= AFG=60.四边形 FDCE 折叠得到四边形 FGHE, GFE= DFE= =60,DF=FG,18
10、0-2 FGE 是等边三角形, EF=EG=FG=2x,DF=FG=2x.在 Rt FMG 中, GM=GFsin AFG= x,3FM=GFcos AFG=x.易证四边形 ABGM 是矩形, AM=BG=x,AB=GM= x,3 AD=AM+FM+DF=4x.矩形 ABCD 的面积为 4 ,3 ADAB=4x x=4 ,3 39解得 x=1, EF=2x=2.故选 C.6.C 解析 如图 .连结 AC,交 OB 于点 D.四边形 OABC 是菱形, AC OB,AO=AB,AC=2AD,BO=2DO. AO=BO, AO=BO=AB, ABO 是等边三角形,则 AOB=60,同理 BOC=6
11、0, AOC=120.在 Rt ADO 中, AO=2,DO=1, AD= .可知 BO=2,AC=2 ,3 3 S 扇形 AOC= = , S 菱形 OABC= 22 =2 ,则阴影部分的面积 =S 扇形 AOC-S 菱形 OABC= -2 .故选 C.1202236043 12 3 3 43 37.5348. - 解析 如图,连结 BD,BD,BB.54 32 ACB=90,AC=BC=2,将 ABC 绕 AC 的中点 D 逆时针旋转 90得到 ABC, CD=CD=1,BC=BC=2, CDC= C= BDB=90, BD=BD= = ,CD BC,12+22 5BC=AC= AB= ,
12、12 2 S 阴影 =S 扇形 BDB S BDB+S BBC= + 90(5)2360 12 5 512 2 210= - .54 32故答案为 - .54 329. 解析 连结 D1E1.12+1 AE1AC= 1 (n+1), S ABC=1 (n+1),1 = .11+1 = = , = ,111+1 1+12+1 S ABO =(n+1) (2n+1),1 S ABO =(n+1) (2n+1),1+1 S ABO= .故答案为 .12+1 12+110.解:(1)证明:作 OH AC 于点 H,如图 . AB=AC,AO BC 于点 O, AO 平分 BAC. OE AB,OH A
13、C, OH=OE, AC 是 O 的切线 .(2)点 F 是 AO 的中点,11 AO=2OF=6.而 OE=3, AEO=90, OAE=30, AOE=60, AE= OE=3 .3 3图中阴影部分的面积 =S AOE-S 扇形 EOF= 33 - = .12 3603236093-32(3) .提示:作点 F 关于 BC 的对称点 F,连结 EF交 BC 于点 P,如图 .3 PF=PF, PE+PF=PE+PF=EF,此时 EP+FP 最小 . OF=OF=OE, F= OEF,而 AOE= F+ OEF=60, F=30, F= EAF, EF=EA=3 ,即 PE+PF 的最小值为
14、 3 .3 3在 Rt OPF中, OP= OF= .33 3在 Rt ABO 中, OB= OA= 6=2 .33 33 3 BP=2 - = ,即当 PE+PF 取最小值时, BP 的长为 .3 3 3 311.解:(1)2 3证明:四边形 ABCD 是平行四边形, AD=BC, D= B, A= BCD.由折叠可知, AD=CG, D= G, A= ECG,12 BC=GC, B= G, BCD= ECG, BCE= GCF, BCE GCF.如图,过点 E 作 EP BC 于点 P. B=60, EPB=90, BEP=30, BE=2BP.可设 BP=m,则 BE=2m, EP=BEsin 60=2m = m.32 3由折叠可知, AE=CE, AB=6, AE=CE=6-2m. BC=4, PC=4-m.在 Rt ECP 中,由勾股定理,得(4 -m)2+( m)2=(6-2m)2, m= , EC=6-2m=6-2 = .354 5472 BCE GCF, CF=EC= ,S CEF= 2 = .72 12 72 3732(2) 或 4 .124335 3
