1、1课时训练(十五) 二次函数的应用 |夯实基础|1.烟花厂某种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 h=-2t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为 ( )A.3 s B.4 s C.5 s D.10 s2.如图 K15-1所示,河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图 K15-1所示的平面直角坐标系,其函数表达式为 y=- x2,当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时,水面宽度 AB 为 ( )125图 K15-1A.-20 m B.10 mC.20 m D.-10 m3.2017西宁 如图 K15-2 所示,在正方
2、形 ABCD 中, AB=3 cm,动点 M 自 A 点出发沿 AB 方向以每秒 1 cm 的速度运动,同时动点 N 自 D 点出发沿折线 DC-CB 以每秒 2 cm 的速度运动,到达 B 点时两点运动同时停止,设 AMN 的面积为y(cm2),运动时间为 x(s),则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是 ( )2图 K15-2图 K15-34.2018绵阳 如图 K15-4 是抛物线形拱桥,当拱顶离水面 2 m 时,水面宽 4 m,水面下降 2 m,水面宽度增加m. 图 K15-45.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图 K15-5
3、 所示的三处各留 1 m 宽的门 .已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27 m,则能建成的饲养室面积最大为 m2. 图 K15-56.2017潍坊 工人师傅用一块长为 10 dm,宽为 6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计) .(1)在图 K15-6 中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为 12 dm2时,裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 5 倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为 0.5 元,3底面每平方分米的费用为 2 元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低
4、,最低为多少?图 K15-67.2018衡阳 一名在校大学生利用“互联网 +”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价为 10 元 /件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元 /件,市场调查发现,该产品每天的销售量 y(件)与销售价 x(元 /件)之间的函数关系如图 K15-7 所示 .(1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围 .(2)求每天的销售利润 W(元)与销售价 x(元 /件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?4图 K15-78.2018温州 如图 K15-8,抛物线 y=ax
5、2+bx(a0)交 x 轴正半轴于点 A,直线 y=2x 经过抛物线的顶点 M.已知该抛物线的对称轴为直线 x=2,交 x 轴于点 B.(1)求 a,b 的值 .(2)P 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连结 OP,BP.设点 P 的横坐标为 m, OBP 的面积为 S,记 K=,求 K 关于 m 的函数表达式及 K 的范围 .图 K15-85|拓展提升|9.2018烟台 如图 K15-9,抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A(-4,0),B(1,0)两点,过点 B 的直线 y=kx+ 分别与23y 轴及抛物线交于点 C,D.(1)求直线和抛物线的表达式 .(2)动点
6、 P 从点 O 出发,在 x 轴的负半轴上以每秒 1 个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为 t 秒,当 t 为何值时, PDC 为直角三角形?请直接写出所有满足条件的 t 的值 .(3)如图,将直线 BD 沿 y 轴向下平移 4 个单位长度后,与 x 轴, y 轴分别交于 E,F 两点 .在抛物线的对称轴上是否存在点 M,在直线 EF 上是否存在点 N,使 DM+MN 的值最小?若存在,求出其最小值及点 M,N 的坐标;若不存在,请说明理由 .图 K15-967参考答案1.C2.C 解析 根据题意知,点 B 的纵坐标为 -4,把 y=-4 代入 y=- x2,得 x=10,125 A(-
7、10,-4),B(10,-4), AB=20 m.即水面宽度 AB 为 20 m.故选 C.3.A 解析 当 M 在 AB 上移动 ,N 在 DC 上移动时, AMN 的面积为 y= 3x= x(0 x ).当 M 在 AB 上移动, N 在 BC 上12 32 32移动时, y= x(6-2x)=-x2+3x( x3),故选 A.12 324.(4 -4) 解析 建立如题所示的平面直角坐标系,则易知 C 坐标为(0,2), A 点坐标( -2,0),2设抛物线关系式为 y=ax2+2,因为点 A(-2,0)在抛物线上,代入可得 a=-0.5,所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2,当水面下
8、降 2 m,即取 y=-2,把 y=-2 代入抛物线解析式得出: -2=-0.5x2+2,解得 x=2 ,2故水面此时的宽度为 4 m,比原先增加了(4 -4)m.2 25.75 解析 设垂直于现有墙的最左侧墙体长为 x 米,则平行于现有墙的墙体(包括门)长为 27+3-3x=30-3x(米),则饲养室总面积 S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,当 x=5 时,符合要求,故饲养室的最大面积为 75 m2.故答案为 75.6.解:(1)如图所示:8设裁掉的正方形的边长为 x dm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即 x2-8x+12=0,解得 x1=2,x
9、2=6(舍去) .所以当裁掉的正方形的边长为 2 dm 时,长方体底面面积为 12 dm2.(2)因为长不大于宽的 5 倍,所以 10-2x5(6 -2x),所以 0x2 .5.设总费用为 w 元,由题意可知w=0.52x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24.因为图象开口向上,对称轴为直线 x=6,所以当 0x2 .5 时, w 随 x 的增大而减小,所以当 x=2.5 时, wmin=25.所以当裁掉边长为 2.5 dm 的正方形时,总费用最低,最低为 25 元 .7.解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b,把(10,
10、30),(16,24)代入,得10+=30,16+=24,解得 =-1,=40. y 与 x 之间的函数关系式为 y=-x+40(10 x16) .(2)W=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,9对称轴为直线 x=25,在对称轴的左侧, W 随着 x 的增大而增大,10 x16,当 x=16 时, W 最大,最大值为 144.即当每件的销售价为 16 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 144 元 .8.解:(1)将 x=2 代入 y=2x 得 y=4, M(2,4).由题意得 - =2,4a+2b=4,2 a=-1,b=4.(2)如图,过点 P 作
11、 PH x 轴于点 H.点 P 的横坐标为 m,抛物线的函数表达式为 y=-x2+4x, PH=-m2+4m. B(2,0), OB=2, S= OBPH= 2(-m2+4m)=-m2+4m,12 12 K= =-m+4.由题意得 A(4,0), M(2,4),2 m4. K 随着 m 的增大而减小,100 K2.9.解:(1) A(-4,0),B(1,0),设 y=a(x+4)(x-1), y=ax2+3ax-4a,3 a=2, a= ,23抛物线的表达式为 y= x2+2x- .23 83把 B(1,0)的坐标代入 y=kx+ ,可得 k=- ,23 23直线的表达式为 y=- x+ .2
12、3 23(2)t= 或 或 .151296 233 49解析: y=- x+ , C(0, ), OC= .23 23 23 23由=-23+23,=232+2-83,得 x2+2x- =- x+ ,23 83 23 23 x2+4x-5=0,解得 x1=-5,x2=1.当 x=-5 时, y= + =4, D(-5,4).103 23)若 DPC=90,如图,作 DH x 轴于 H.111 +2 =90=3 +2,1 =3,tan1 =tan3 . P(-t,0), PH=5-t,OP=t, = ,3 t2-15t+8=0,5-4 23 t= .151296)过 D 作 P1D CD,如图,
13、过 D 作 MN x 轴,过 P1作 P1M MN,可证1 =2,tan1 =tan2 . = ,1 = , t= .4-235 -54 233)过 C 作 P2C CD,如图,可证1 = P2CO,tan1 =tan P2CO, = , = , t= .2 4-235 23 49综合上述: t= 或 或 .151296 233 49(3)存在 .由题意,得直线 EF 的解析式为 y=- x- .23 10312 E(-5,0),F(0,- ). OE=5,OF= .103 103 EF= = .2+25133 - =- ,抛物线的对称轴为直线 x=- .2223 32 32作点 D(-5,4
14、)关于直线 x=- 对称的点 D, D(2,4).32过 D作 DN EF,垂足为 N,交抛物线对称轴于点 M,连结 DM. DM+MN=DN,根据垂线段最短,此时 DM+MN 的值最小 .过 D作 DG y 轴交 EF 于点 G,设 G(2,n),将其代入 y=- x- 中,得 n=- .23 103 143 G(2,- ). DG= .143 263 EFO= DGN, EOF= DNG=90, EOF DNG. = , DN=2 . 13即 DM+MN 的最小值为 2 .13作 NH DG,垂足为 H. NDH= GDN, NHD= DNG=90, NHD GND. DN2=DHDG, DH=6. H(2,-2).设 N(x,-2),将其代入 y=- x- 中,得 x=-2.23 103 N(-2,-2).13设直线 DN 的解析式为 y=k1x+b, y= x+1.-21+=-2,21+=4. 1=32,=1. 32将 x=- 代入上式 ,得 y=- .32 54 M(- ,- ).32 54
